марго

12

Пример 5. Исследуйте сходимость знакопеременного ряда. Определите, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно сходящимся или расходящимся:

( 1)

n

1) ( 1)n an

;

2) an

cosn

.

3n

n 1

n 1

1

n 1

n 1 5n

Решение.

1. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолют-

ному значению,

стремясь

к

нулю:

an an 1

и lim an

lim

1

0 .

n

n 3n 1

Поэтому согласно признаку Лейбница данный ряд сходится. Чтобы

установить,

сходится ли

он абсолютно

или

неабсолютно (условно),

исследуем ряд с положительными членами

( 1)n a

n

1

, составленный

3n 1

из абсолютных значений членов данного ряда.

Применим интегральный признак Коши:

dx

1

d (3x 1)

1

1

lim ln(3 1) ln 4 .

lim

lim ln(3x 1)

3x 1

3x 1

1

3

1

3

1

3

Поскольку несобственный интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши расходится и ряд с положительными членами.

Следовательно, данный ряд является условно сходящимся.

2. Заменим члены данного знакопеременного ряда их абсолютными

значениями и исследуем полученный ряд

an

cosn

с положительными

5n

членами. Сравним

его с геометрической бесконечно убывающей

1

1

прогрессией

n 1

,

которая представляет собой сходящийся ряд

1 .

5n

5

Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена

геометрической прогрессии:		cosn			1	. Значит, согласно признаку
		5n			5n

сравнения, ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 6. Установите соответствие между знакопеременными рядами:

		( 1)n			( 1)n
A) ( 1)n 5n ;	Б)		;	В)
					(n 2)!
n 1	n 1	n 3		n 1

и видами сходимости:
1) абсолютно сходится;	2) условно сходится;	3) расходится.

13

Решение. Для ряда А не выполняется необходимый признак схо-

димости: lim a

lim ( 1)n 5n

0 .

Вследствие этого

данный ряд рас-

n

n

n

ходится.

Члены знакочередующегося ряда Б убывают по абсолютному

значению, стремясь к нулю:

1

1

1

... и

lim

1

0 . Следователь-

4

5

6

n n

3

но, согласно признаку Лейбница данный ряд сходится. Для того чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно, исследуем ряд

		1
	с положительными членами			, составленный из абсолютных зна-
		n 3
	n 1

чений членов данного ряда. Общий член ряда – дробно-рациональная функция (см. предельный признак сравнения, с. 6), m = 1, k = 0, m – k = 1 ≤ 1, ряд расходится.

Следовательно, ряд Б сходится условно.

Заменим члены знакочередующегося ряда В их абсолютными

1

значениями и исследуем полученный ряд

с положительными

(n 2)!

n 1

членами.

По известному члену ряда an, заменяя в нем n на n + 1, находим

следующий за ним член an+1:

an

1

;

an 1

1

1

.

(n

(n 2)!

1)!

(n 1)!(n 2)

Согласно признаку Даламбера

lim

an 1

lim

(n 1)!

lim

1

0,

1,

n

a

n

n (n 1)!(n

2)

n n

2

поэтому данный ряд сходится, а ряд В сходится абсолютно.

Ответ: A – 3; Б – 2; В – 1.

14

§ 3. Функциональные ряды

Жизнь – не те дни, что прошли, а те, что запомнились.

П.А. Павленко

Определение 8. Функциональным рядом называется выражение

a1 (x) a2 (x) ... an (x) ... an (x) ,	(7.3)

n 1

члены которого являются функциями от переменной x.

При различных значениях x из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Совокупность значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Суммой

функционального ряда называется функция S(x) lim Sn (x) , а разность

n

Rn (x) S(x) Sn (x) – остатком ряда.

Определение 9. Ряд (7.3) называется равномерно сходящимся на отрезке [a; b], если для любого > 0 найдется такой номер N, что при n > N и любом x [a; b] будет выполнено неравенство Rn(x) < .

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а те значения x, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Определение 10. Степенным рядом называется функциональный

ряд

a0 a1x a2 x2 ... an xn ... an xn ,	(7.4)
n 0

где a0 , a1, a2 , ...,an , ... – постоянные числа, называемые коэффициентами

ряда.

Определение 11. Интервалом сходимости степенного ряда (7.4) называется такой интервал от –R до +R, что для всякой точки x, лежащей внутри него, ряд сходится (причем абсолютно), а для точек x, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости R степенного ряда можно определить по признаку Даламбера, согласно которому

	1		lim	an 1						,
		R		a
			n
							n
	либо по признаку Коши:
	1
			lim n				an			.
		R
			n

15

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении x0 , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x,

для которого

x

x0

.

Если ряд расходится при некотором значении x0 ,

то он расходится

при всяком x, для которого

x

x0

.

Степенной ряд в своем интервале сходимости

по отношению

к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя так же, как многочлен с конечным числом членов.

Определение 12. Рядом Тéйора для функции f(x) в окрестности точки a называется степенной ряд относительно двучлена x – a:

f

f

f

(n)

(a)

f (a)

(a)

(x a)

(a)

(x a)2

...

(x a)n ...

(7.5)

1!

2!

n!

При a = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной x (ряд Мáклóрена):

f (0)

f (0)

x

f (0)

x 2

...

f (n) (0)

x n ...

1!

2!

n!

Примеры разложения функции в ряды:

sin x x

x3

x5

x7

... ( 1)n 1

x2n 1

...,

x R;

(2n 1)!

3!

5!

7!

cos x 1

x2

x4

x6

... ( 1)n

x2n

...,

x R;

2!

4!

6!

(2n)!

e x 1

x

x2

x3

...

xn

...,

x R;

1!

2!

3!

n!

(1 x)m 1

m

x

m(m 1)

x2

...

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

xn ..., –1 < x < 1;

1!

2!

n!

ln(1 x) x

x2

x3

x4

... ( 1)n 1

xn

...,

–1 < x 1;

2

3

4

n

arctg x x

x3

x5

x7

... ( 1)n

x2n 1

...,

–1 x 1.

2n 1

3

5

7

Пример 7. Найдите область сходимости степенного ряда an xn :

n 1

1) a

n2

;

2) a

2n

.

n

n

n!

n(n 1)

Решение.

1. Определим радиус сходимости R степенного ряда:

a

n2 (n 1)!

1 2

n!(n 1)

R lim

n

lim

lim 1

,

(n

1)2 n!

n

an 1

n

n

n

n!

следовательно, x R.

16

2. Определим радиус сходимости R степенного ряда:

	a		n		2n (n 1) (n 2)		2n (n 2) 1
R lim				lim		lim				0,5.
	a				n (n 1) 2n 1		n 2n 2		2
n		n 1		n		n
Радиус сходимости R = 0,5. Следовательно, интервалом сходимости
данного степенного ряда является интервал 0,5 x 0,5 .

Согласно признаку Даламбера при любых значениях x из найденного интервала ряд абсолютно сходится, а при x 0,5 – расходится. Граничные

точки x = 0,5 исследуем особо.

	( 1)	n
При x = – 0,5 получим числовой знакочередующийся ряд			,
n 1	n(n 1)

который сходится согласно признаку Лейбница (члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю).

При x = 0,5 получим числовой ряд с положительными членами

		1
				, который	сходится, что следует из сравнения		его со	схо-
		n(n	1)
	n 1
					1
	дящимся		рядом			(каждый член исследуемого ряда	меньше	со-
					2
				n 1	n
	ответствующего члена сравниваемого ряда).
		Следовательно, областью сходимости ряда является отрезок [–0,5;						0,5].
		Ответ: 1) x R;				2) x [–0,5; 0,5].

xn

Пример 8. Найдите область сходимости степенного ряда

n 1 3n

Решение. По известному члену ряда un, заменяя в нем n на находим следующий за ним член un+1:

xn

xn 1

xn x

un

;

un 1

.

3n

3

n 1

3

n

3

Используя признак Даламбера, найдем предел:

un 1

xn x 3n

x

x

lim

lim

lim

.

3n 3 xn

3

n

u

n

n

n

3

.

n + 1,

Определим, при каких значениях x этот предел будет меньше

	единицы, т. е. решим неравенство		x		1;		x		3;	3 x 3 .
			3

Согласно признаку Даламбера при любом значении x из найденного интервала ряд сходится. Граничные точки x 3 интервала исследуем особо.

При x = –3 получим знакочередующийся ряд		( 1)n , у которого
		n 1
необходимый признак сходимости lim an 0	не	выполняется, значит,
n

ряд расходится. Аналогично при x = 3.

17

Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда

является интервал 3 x 3		или x (–0,5;	0,5).
Ответ: x (–0,5; 0,5).
Пример 9.	Радиус сходимости степенного			ряда	an xn	равен			6.
					n 0
Тогда интервал сходимости имеет вид:
1) (0; 6);	2) (–6; 0);	3) (–6; 6);	4) (–3;	3).
Решение. Интервалом сходимости степенного ряда					an xn	является
					n 0
интервал (–R; R), где R – радиус сходимости данного ряда.
Если радиус сходимости степенного ряда равен 6, то интервал
сходимости имеет вид (–6; 6).
Ответ: 3) (–6; 6).
							1		n
Пример 10. Найдите интервал сходимости степенного ряда								x 1 .
					n 1 n

Решение. Интервал сходимости степенного ряда an (x x0 )n имеет

n 1

вид (x0 R; x0 R) , а радиус сходимости может быть найден по формуле

R lim

an

. Для нашего примера здесь x

1;

a

1

; a

1

, тогда

0

n

n

a

n

n 1

n 1

n 1

1/ n

n 1

n

1

1

R lim

lim

lim

lim 1

1.

1/(n 1)

n

n

n

n n

n

n

n

Интервал сходимости (1 1;

1 1) (0; 2) .

Ответ: (0; 2).

Пример 11.

Найдите

разложение

в ряд

по

степеням x функции

y xex2 .

Решение. Заменив в ряду Маклорена для e x

x на x2, получим:

ex2

1

x2

x4

x6

...

x2n

...,

x R.

1!

2!

3!

n!

Умножим полученный ряд на x:

xex2

x

x3

x5

x7

...

x2n 1

..., x R.

1!

2!

3!

n!

2n 1

Ответ: xe x2

x

, x R.

n!

n 0

Пример 12. Найдите первый отличный от нуля коэффициент раз-

ложения функции

y 4xe 2 x в ряд Маклорена.

18

Решение. Коэффициенты ряда Маклорена вычисляются по формуле

a

f ( n ) (0)

; a f (0) .

n

n!

0

Найдем значение функции y f (x) 4xe 2 x

и ее производной при x = 0:

f (0) 0;

2 x

4x( 2e

2 x

) ,

f (x) 4e

f (0) 4 .

Подставив в формулу

вычисления

коэффициентов ряда Маклорена

n = 1, получим:

(1)

a

f

(0)

f

(0)

4 .

1

1!

1!

Ответ: 4.

Пример 13. Найдите три первых члена ряда Тейлора для функции

1 x 1

при a = 2.

Решение. Вычислим значения функции и ее производных при x = a = 2:

1				1				1								2				1
y(x)			(x 1)		,	y(2)					;	y (x) (x 1)					,	y (2)			;
	x 1							3												32
											3		y (2)	2
			y (x) 2(x					1)				,		27 .

Подставив эти значения в ряд Тейлора (7.5), получим:

f (x)

an

1			1				1	(x 2)							2		(x 2)2		...		1			1		(x 2)	1	(x 2)2	...
															332!
x 1 3 32																			3 9							27
Ответ:							1				1		1		(x 2)			1		(x 2)2			...
						x 1
										3		9					27
Пример							14.			Найдите							коэффициент						a4			в разложении			функции
x3		5x в ряд Тейлора по степеням (x – 1).
Решение.							Коэффициенты ряда													Тейлора						вычисляются по			формуле
f (n) (x )				.
n!		0
Продифференцируем функцию																				f (x) x3 5x четыре раза:

2

5 ;

6 ;

f

IV

(x) f

(4)

(x) 0 .

f (x) 3x

f (x) 6x ;

f (x)

Подставив

в

формулу

вычисления

коэффициентов

ряда Тейлора

n = 4 и x0 1, получим:

a

f (4) (1)

0.

4

4!

Ответ: 0.

19

§ 4. Применение рядов к приближенным вычислениям

Улыбка не стоит ничего, а сколько она дает? Она притягивает счастье в дом и увеличивает количество друзей.

Дейл Карнеги

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Рассмотрим это на примерах.

b

Пример 15. Вычислите определенный интеграл f (x) с точностью

0

до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем

проинтегрировав его почленно.

1) f(x) = sin x3, b = 1; 2) f(x) = xe2x, b = 0,25.

Решение.

1. Пользуясь рядом Маклорена для sin x (см. § 3), заменяя в нем x на x3, имеем:

x9 x15

sin x3 x3 3! 5! ...(x R).

Интегрируя в пределах от 0 до 1, получим знакочередующийся ряд:

		1					1						x	9					x	15
J1 sin x				3		dx			3
								x					3!					5!					... dx
		0					0
x4			x10				x16					1		1				1						1
								...																		...,
			3! 10				5! 16
4												0		4				60						1920

удовлетворяющий признаку Лейбница: члены его убывают по абсолютному значению, и общий член ряда стремится к нулю. Поскольку третий член этого ряда меньше 0,001, то для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму двух первых членов ряда:

J1 14 601 0,233 .

2. Пользуясь рядом Маклорена для ex (см. § 3), заменяя в нем x на 2x, имеем:

	e2 x 1	2x		4x2		8x3	...(x R).
		1!		2!		3!

Умножив полученный ряд на x, интегрируя в пределах от получим:

2

0,25

0,25

2x2

2n 1 xn

x2

2x3

2n 1 xn 1

J

xe2 x dx

x

1!

...

(n 1)!

... dx

2

1! 3

...

(n 1)!(n 1)

0

0

0 до 0,25,

		0,25
...
		0

20

x2			2 2x3		2n 1 n xn 1			0,25		1				2						n
				...		...											...					....
											4			5					n 3
	2		3!		(n 1)!					2 2		2			3!			2		(n 1)!
								0

Исследуем Даламбера:

lim an 1

x an

сходимость		полученного		числового		ряда		по признаку
	(n 1)	(n 1)!2n 3			n 1
lim				lim			0	, < 1.
	(n
x		2)!2n 4 n		x 2n(n		2)

Согласно признаку Даламбера полученный числовой ряд сходится, причем абсолютно, поэтому можно представить an-й член в виде

		an						n							n 1					1		.
						(n 1)!2n 3							(n 1)!2n 3							(n 1)!2n 3
Тогда J			1				1		1			1			1				1		....
	2
		16			32				64		192				384		1 536

Шестой член этого знакочередующегося ряда меньше 0,001, поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму пяти первых членов ряда:

J			1		1		1			1		1	0,044.
	2
		16		32			64		192			384
Ответ: 1) J1 0,233 ;				2)		J2 0,044 .

Пример 16. Найдите три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения

y = f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0: 1) y = x + y2, y(0) = 1; 2) y = xy, y(0) = 2.

Решение.

1. Пусть искомая функция y(x) разложена в ряд Маклорена:

						y	(n)	(0)
y(x) y(0)	y (0)	x	y (0)	x2	...				xn ...,
1!		2!					n!

где y(0), y (0), y (0)… – значения функции y(x) и ее производных при x = 0. Согласно начальному условию первый коэффициент y(0) = 1. Второй

получим при подстановке известных величин в данное уравнение: y (0) = 1. Третий коэффициент найдем путем дифференцирования данного уравнения: y = 1 + 2yy . Отсюда при x = 0 получим: y (0) = 3.

Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена:

y= 1 + x + 1,5x2 + …

2.Применив тот же способ, что и в решении предыдущей задачи, получим:

y (0) = 2; y (0) = 0; y = y + xy ;			y (0) = 2;	y = 2y + xy ;
y (0) = 0;	yIV = 3y + xy ; yIV = 6.
Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена:
y = 2 + x2 +		0,25x4 + …
Ответ: 1) y = 1 + x + 1,5x2 + …;		2) y = 2 + x2 + 0,25x4 + …

21

§ 5. Тригонометрические ряды

								Кто хочет работать – ищет
								средства, кто не хочет – причины.
									С. Королев
Определение 13. Функциональный ряд вида
	a0	a cosx b sin x a						cos2x b sin 2x ...
							2
2			1		1			2
				a0
					an cosnx bn sin nx				(7.6)
			2		n 1
называется тригонометрическим						рядом. Постоянные числа			a0, an и bn
(n = 1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд (7.6) сходится, то его сумма есть периодическая функция
f(x) с периодом 2 ,			f(x + 2 ) = f(x).
Определение			14.		Рядом Фурье			для функции f(x) на	промежут-

ке [– ;

] называется тригонометрический ряд (7.6), если его коэф-

фициенты an и bn вычислены по формулам Фурье:

a

1

π

f (x)cosnxdx ;

b

1

π f (x)sin nxdx .

n

π

n

π

π

π

Для четной функции f(x) = f(–x) ряд Фурье не содержит синусов:

a0

2

f (x)

an cosnx ;

an

f (x) cosnxdx ,

(7.7)

2

n 1

0

а для нечетной функции f(x) = – f(–x) ряд Фурье содержит только синусы:

				2
	f (x) bn sin nx ,	bn			f (x) sin nxdx .	(7.8)
	n 1				0

Для периодической функции f(x) с периодом 2l на промежутке [–l; l] ряд Фурье имеет вид

a

n

n

f (x)

0

an cos

x bn sin

x ,

2

l

l

n 1

где a

1 l

f (x)dx , a

1 l

f (x) cos

n x

dx ,

b

1 l

f (x) sin

n x

dx . (7.9)

l l

l l

l l

0

n

l

n

l

При разложении функции f(x) в ряд Фурье на промежутке [0; 2l] пределы интегралов в формулах (7) будут 0 и 2l, а в случае произвольного промежутка [a; b] длины 2l эти пределы будут a и a + 2l.