марго

42

Пример 4. Измените порядок интегрирования в		двукратном	ин-
2	x 2
теграле J = dx	f (x, y)dy .
1	x 2
Решение.	Область интегрирования S ограничена	кривыми y =	x2,

y = x + 2 и x = –1, x = 2 (рис. 11). Отсюда, изменив роли осей координат, получим границы интегрирования внешнего интеграла: y = 0, y = 1,

y = 4 и внутреннего интеграла: x y,

y

y = x2

x y 2 .

x y,

Тогда

1

y

4

y

J dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx .

y 2

0

y

1

y = x + 2

x

Рис. 11

1

y

4

y

Ответ: J dy

f (x, y)dx dy

f (x, y)dx .

0

y

1 y 2

Пример 5. Вычислите двойной интеграл

1

dx dy , где S –

(x

2

y

2

)

2

S

область, ограниченная линиями x2 y 2

2x , x2

y 2

4x ,

y 2x , y

1

x.

2

Решение. Представим область S

графически (рис. 12). В результате

преобразования

первого

уравнения: x2 y 2

2x ,

x2 y2 2x 0,

x2 2x 1 y2 1 получим уравнение окружности с центром в точке (1; 0) , радиуса 1:

(x 1)2 y2 1.

Аналогично получим, что второе уравнение определяет окружность с центром в точке (2, 0) , радиуса 2.

y 2x и y 12 x – линейные уравнения, определяющие на плоскости прямые, которые проходят через начало координат.

43

Рис. 12

В записи как уравнений линий, так и подынтегральной функции, ограничивающих область S, встречается выражение x2 y2 , поэтому при вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным коорди-

натам и :

x cos ,

y sin .

Запишем в полярных координатах уравнение подынтегральной

функции.

Так как

x2 y2

( cos )2 ( sin )2 2 (cos2 sin 2 ) 2 ,

то

1

1

1

.

(x2 y2 )2

( 2 )2

4

Преобразуем уравнения линий, ограничивающих область S, к по-

лярным

координатам:

2 2 cos

или

2cos ;

2 4 cos

или 4cos ;

sin 2 cos

или

tg 2 , откуда

arctg2 ;

sin

1

cos или

tg

1

, откуда arctg

1

.

2

2

2

Из рисунка видно, что угол

меняется в постоянных пределах

от arctg

1

до arctg2 .

Луч,

выходящий из полюса, при входе в область S

2

2cos ,

4cos .

пересекает окружность

при выходе – окружность

Поэтому

2cos ,

4cos –

нижняя и верхняя границы интегри-

рования соответственно. По формуле (9.4)

44

			1					arctg2				4 cos	1
I							dx dy				d			d .
	(x	2	y	2	)	2							4
S								1				2 cos
								arctg
									2

Вычислим данный интеграл:

arctg2

4 cos

1

arctg2

4 cos

arctg2

2

4 cos

I

d

d

d

3 d

d

3

2

1

2 cos

1

2 cos

1

arctg

2

arctg

2

arctg

2

2 cos

	arctg2								1					4 cos							1 arctg2																1							1
																	d																																	d
												2																											2										2
																					2										(4 cos )											(2 cos )
				1 2																						1
	arctg													2 cos								arctg
		2																								2
		1										1																		1													1					arctg2					1						arctg2
					arctg2															arctg2
																		d																				d							tg												tg
		2									16 cos				2										4 cos							2											32										8
					arctg					1													1																									arctg			1								arctg	1
																				arctg
									2												2																													2									2
		1							tg arctg2								1									1							1			tg arctg2								1									1
																			tg arctg																												tg arctg
		32															32									2							8											8									2

321 2 321 12 18 2 18 12 161 641 14 161 649 .

Ответ: 649 .

Пример 6. Найдите массу пластины,																						занимающей область S , с по-
верхностной					плотностью						ex2 y2 .					S				–		часть		кольца 1 x2								y 2 4 ,
расположенная в первой четверти (рис. 13).
Решение. Масса пластины с																заданной							плотностью								находится
по формуле					(9.5),			поэтому				m ex2 y2 dx dy . При вычислении																				данного
													S
интеграла			воспользуемся							переходом					к			полярным						координатам								и :
x cos ,				y sin . Так как x2 y2													2					(см. пример 5),							то область S
определяется неравенствами: 0															,			1 2 .
														2
Тогда
																															2
									2			2					1		2			2				1	2
m e x2 y2 dx dy d												e 2 d							d e				2 d 2				e		2		d
																	2								2
			S						0			1							0			1					0
																															1
	1		2		4	1			1		4		2		1					4										4
			(e			e	) d			(e		e)						(e			e)			0				(e			e).
	2		0						2				0		2							2					4

45

Примечание. В декарто-

вых координатах этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях. Его можно найти, только используя методы численного интегрирования.

Ответ: m 4 (e4 e).

Рис. 13

Пример 7. Найдите площадь поверхности f (x, y) 8 x2

y2

, где

область S

ограничена линиями y

x 2

и y 2 .

2

Решение. Площадь поверхности по формуле (9.6)

ST

1 f x 2 (x, y) f y 2 (x, y) dxdy .

S

Изобразим область S

на плоскости xOy (рис. 14). Найдем пределы

интегрирования, считая область S

правильной относительно

оси

O y .

Абсциссы точек пересечения линий, ограничивающих область S , опреде-

лим из системы уравнений:

x2

x 2,

y

,

2

2

y 2.

y

Рис. 14

46

Следовательно,	область интегрирования
				x2
S	(x, y) R2	: 2 x 2,			y 2			.
				2
Найдем частные производные			функции			f (x, y) 8			x2 y2 :

f									2x																					x								,					f												2 y																		y										.
	x																																											y
					2 x2						y 2																x2 y 2																					2 x2 y 2																							x2 y 2
					Отсюда
																																																													2																			2
																																																		x																						y																				2	y			2
	1 f x 2 (x, y)																			f y 2 (x, y)																				1																																															1					x
																																																																																												2				2
																																																2									2															2				2
																																															x			y																			x				y																			x y
			1 1								2.
					Искомая площадь поверхности
									2				2																						2					2														2								x			2																2									x	2
				S dx																2dy													2			y							dx 2													2										dx 2 2																				2						dx
																																									x2
									2				x2																						2																	2										2																				0					2
																																				2
													2
																1						x			3				2																				1						2		3															1		0	3																			4
		2 2								2x																																	2	2																					0																			2 2								4
																2							3							2 2																														2																																	3
																													0																			2 3																								2 3
													4										16							2
		2 2
										4																							.
													3														3
					Примечание.																						При интегрировании																																		четной												функции																	f (x) 2									x2
																																																			2																																													2
в			симметричных																								пределах																	от																до					2							использована																				формула
a											a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a											0
					Ответ: S																			16						2		.
																											3

47

§ 2. Тройные интегралы

2.1. Понятие тройного интеграла. Основные свойства

Живи и жить давай другим.

И.В. Гете

Пусть в ограниченной замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция f (x, y, z) . Разобьем область V произвольным образом поверхностями на n ячеек Vi , объемы которых обозначим

Vi (i =	1, 2, …,	n). Возьмем произвольные точки		Mi (xi , yi , zi ) Vi
			n
(рис. 15).	Составим	сумму Pn	f (M i ) Vi , которая	называется ин-
			i 1
тегральной суммой для функции			f (x, y, z) в области V. Обозначим через d

наибольший из диаметров ячеек Vi.

			Рис. 15
Тройным	интегралом	f (x, y, z) dV		от функции f(x,	y,	z), рас-
		V
пространенным	на область	V,	называется	предел интегральной		суммы
n	) Vi , если этот предел существует и не зависит от формы
lim f (xi , yi , zi
d 0 i 1
ячеек Vi и выбора точек Mi(xi; yi; zi) в них. При этом f (x, y, z)					называется
подынтегральной функцией;		V	– областью интегрирования;		х, у и z –
переменными интегрирования;			dV – элементом объема. В прямоугольных
координатах элемент объема dV = dxdydz.
Тройной интеграл представляет собой непосредственное обобщение
двойного интеграла на случай,			когда областью интегрирования является

48

пространственная область. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла, перечисленным в § 1 (см. п. 1.1): интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла; область интегрирования можно разбить на части, найти интеграл на каждой из частей и сложить полученные результаты.

2.2. Вычисление тройного интеграла

Пусть пространственная область V ограничена замкнутой поверхностью G и обладает следующими свойствами:

любая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность G не более чем в двух точках;

область V проецируется на плоскость Oxy в правильную либо относительно оси O y , либо относительно оси Ox двумерную об-

ласть S .

Область V при наличии указанных свойств называют правильной пространственной областью (например, параллелепипед, пирамида параболоид).

А. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных определенных интегралов. Рассмотрим два наиболее типичных случая.

1. Тройной интеграл по прямоугольному параллелепипеду V : a x b , c y d , p z q вычисляется по формуле

b

d

q

f (x, y, z) dV dx dy

V

a

c

p

b d q

f (x, y, z)dz

a c p

		(9.7)
f (x, y, z)dz dy dx .

Пределы интегрирования постоянны во всех трех интегралах, поэтому интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования при этом будут сохраняться.

2. Область V ограничена снизу поверхностью z z1 (x, y) , сверху –

поверхностью z z2 (x, y) , т. е. z1 (x, y) z2 (x, y) ; с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz . Функции z1 (x, y)

и z2 (x, y) непрерывны в замкнутой области S , являющейся проекцией V

на плоскость Oxy .	Если, кроме того, область S ограничена непрерывными
кривыми y y1 (x)	и	y y2 (x) ,	a x b ,	y1 (x) y2 (x) , то для любой
непрерывной функции		f (x, y, z)	тройной	интеграл вычисляется по

формуле

	b	y2 ( x )	z2	( x, y )	b	y2 ( x)
	f (x, y, z) dV dx	dy		f (x, y, z)dz
V	a	y1 ( x )	z1 ( x, y )		a		y1 ( x )

z2 ( x, y )

f

z1 ( x, y )

(x, y, z)dz dy dx .		(9.8)

49

В результате интегрирования по z ( x и y рассматриваются как

постоянные) и подстановки пределов в фигурных скобках получится функция от x и y. Интегрируя далее эту функцию по области S , получим значение тройного интеграла.

Примечания.

1. Если область V более сложная, чем рассмотренные выше, то ее разбивают на конечное число областей V1 , V2 , …, Vk указанных видов

и к каждой из них применяют соответствующую формулу – либо (9.7), либо (9.8). Интеграл по всей области в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по каждой из областей Vi .

2. Порядок интегрирования может быть иным.

Б. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты. Переход тройного интеграла в прямоугольных координатах в тройной интеграл в цилиндрических координатах осуществляется по формулам: x cos , y sin , z = z;

элемент объема dV d d dz . При этом уравнения поверхностей,

ограничивающих область интегрирования, также необходимо преобразовать к цилиндрическим координатам:

f (x, y, z)dxdydz f ( cos ,		r sin ,	z) d d dz .	(9.9)
V	V
Вычисление	тройного интеграла	в цилиндрических координатах

проводится на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат.

К цилиндрическим координатам удобно переходить, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, а также если подынтегральная функция имеет вид f (x2 y2 , z) .

В. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Переход тройного интеграла в прямоугольных координатах в тройной интеграл в сферических координатах осуществляется по формулам: x sin cos , y sin sin , z cos , элемент объема

dV 2 sin d d d . Уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, также преобразуются к сферическим координатам. Формула преобразования тройного интеграла от декартовых координат к сферическим имеет вид

f (x, y, z)dxdydz

V			(9.10)
		cos ) 2 sin d
f ( sin cos ,	sin sin ,		d d .
V

Применение сферических координат особенно удобно, если область интегрирования V – шар с центром в начале координат (уравнение его

50

границы x2 y2 z2 R2 в сферических координатах имеет простой видR ) или шаровое кольцо, а также если подынтегральная функция имеет вид f (x2 y2 z2 ).

Примечание. Применение той или иной системы координат, как уже отмечалось, зависит и от области интегрирования и от вида подынтегральной функции. Иногда следует написать интеграл в разных системах координат и решить, в какой из них вычисление будет наиболее простым.

2.3. Приложения тройного интеграла

Объем тела

Объем пространственной области G вычисляется по формуле

V dx dy dz .

(9.11)

G

Применение тройного интеграла к решению задач физики и механики

Масса m тела, занимающего область V, с объемной переменной плотностью (x, y, z) , статические моменты myz , mxz и mxy , ко-

ординаты центра тяжести C( xc ; yc ;

zc ), моменты инерции относительно

осей Ox,

Oy и Oz ( I x , I y и I z ) и начала координат I0 определяются

по формулам:

m (x, y, z) dxdydz ;

myz

x (x, y, z) dxdydz ;

V

V

mxz

y (x, y, z) dxdydz ;

mxy

z (x, y, z) dxdydz ;

V

V

x

myz

;

yc

mxz

;

z

mxy

;

c

c

m

m

m

I x ( y2 z 2 ) (x, y, z) dxdydz ;

I y

(x2 z 2 ) (x, y, z) dxdydz

V

V

соответственно.

Примечание. Функцию (x, y, z) будем считать непрерывной.

Пример 8.

Вычислите тройной интеграл x3 y sin( xyz)dx dydz , где

V

область V – куб: 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1.

Решение. По формуле (9.7) вычислим последовательно три обыкновенных (однократных) определенных интеграла, интегрируя вначале по z , затем по y и, наконец, по x :

51

												1	1	1													1	1			cos(xyz)				1
x3 y sin( xyz)dx dydz dx dy x3 y sin( xyz)dz dx x3 y																																			dy
V												0	0	0													0	0			xy				0
	1			1		2								1	2	sin( xy)														1
dx x							(cos(xy 1) cos0)dy x
																											1 y			dx
	0			0										0						x										0
	1			sin( x 1)								sin( x 0)						1					2 sin x
x			2													x
									1					0 dx														1 dx
	0						x					x						0									x
	1																			x	3				1						3
		(xsin x x2 )dx x cos x sin x																									1 cos1 sin1					1
																		3													3
	0																								0
cos1 sin1									1		.
									3
	На последнем шаге мы воспользовались методом интегрирования
по частям:
		xsin x dx									u x		dv sin x dx						x cos x ( cos x)dx
										du dx			v cos x

x cos x cos xdx x cos x sin x C.

Ответ: cos1 sin 1 13.

Пример 9. Вычислите тройной интеграл V				dxdydz
					, где об-
				(3 x y z)3
ласть V ограничена поверхностями:	x y z 2 ,		x 0, y 0 , z 0 .
Решение. Данная область V	правильная.	Уравнение x y z 2

опре-деляет плоскость, отсекающую на осях координат отрезки, равные 2; x 0, y 0 , z 0 – координатные плоскости. Построим данные плоскости.

Ограниченная ими область V – пирамида (рис. 16а). Любая прямая, проходящая внутри этой пирамиды параллельно оси Oz , пересекает границу указанной области в двух точках. Проекцией пирамиды на плоскость Oxy является треугольник ( S ), ограниченный прямыми:

x y 2, x 0, y 0 (рис. 16б). Найдем пределы интегрирования по каждой из переменных. Пределы внешнего интеграла находим как наи-

меньшее и наибольшее значения					x во всей области		S : x [0; 2] .		Для
каждого значения x [0; 2]				переменная y		принимает значения от 0 до
2 x . Для	переменной		z	нижним пределом будет			z 0, а	верхним –
значение	z ,	полученное		из уравнения		плоскости	x y z 2 ,		т. е.
z 2 x y .		Запишем	данный		тройной	интеграл	через	повторные
и последовательно вычислим интегралы, начиная с внутреннего.