- •1.Свойства графически заданной функции
- •2. Свойства линейной функции и
- •3. Анализ свойств конкретных линейных функций
- •8. Определение числа решений системы
- •9. Свойства линейной функции
- •10. Функция и её свойства
- •11. Задача
- •Степенная функция с четным показателем степени её свойства и график
- •3. Изучение свойств функции
- •4. Решение задач
- •Исследование функций на четность
- •Свойства квадратичной функции
- •Задачи на степенные функции
3. Изучение свойств функции
Рассмотрим функцию Например,
Это четная функция. Графики всех таких функций проходят через три фиксированные точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1).
Кривая касается осиx в точке (0; 0) и похожа на кривую но круче при
Рассмотрим взаимное расположение кривых
0 |
2 | ||
0 |
4 | ||
|
0 |
|
6 |
4. Решение задач
Рассмотрим примеры.
1. Что больше: Ответ:
Что больше: Ответ:
Что больше: Ответ:
2. Построить графики функций и найти :
a.
b.
Решение:
a. Чтобы получить график функции необходимо построить график функциии сдвинуть его на 2 вправо вдоль осиx (Рис. 4).
b. Чтобы получить график функции необходимо построить график функциии сдвинуть его на 1 вверх вдоль осиy (Рис. 5).
3. Найти построить график функции
Решение: Чтобы получить график функции , кривуюнеобходимо сдвинуть на 1 вправо и на 0,5 вверх (Рис. 6).
В следующей задаче мы используем данные предыдущей задачи.
4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Рассмотрим построенный график функции (Рис. 6) и пересечем его семейством прямых.
Если нет решений.
Если 1 решение.
Если 2 решения.
Фактически, множеством значений параметра, при которых уравнение имеет решение, является множество значений функции
Ответ:
5. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет:
a. два корня разных знаков;
b. два положительных корня.
Решение:
Методика та же, что и в предыдущей задаче – рассмотреть график функции и пересечь его семейством прямых(Рис. 6).
Ответ:
a.
b.
Определить число решений системы
Решение:
Построим графики функций ив одной системе координат (Рис. 7).
На промежутке функцияубывает, а функциявозрастает, имеется одна точка пересечения. На промежуткефункциявозрастает, а функцияубывает, имеется одна точка пересечения. Итого, имеется два решения данной системы.
Ответ: Два решения.
Исследование функций на четность
В этой лекции напомним определения и свойства четных и нечетных функций, сформулируем алгоритм исследования функций на четность, и рассмотрим пример использования алгоритма для решения конкретных задач.
Напоминание:
Функция называется четной, если для любого
График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.
Функция называется нечетной, если для любого
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.
Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.
1.(Рис).
2.(Рис. 2).
Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.
Алгоритм исследования функции на четность
Из приведенных определений и свойств вытекает
Алгоритм исследования функции на четность.
1. Исследовать на симметричность относительно нуляЕслине симметрична относительно нуля, это функция общего вида.
2. Найти
3. Сравнить
- если то функция четная;
- если то функция нечетная;
- если хотя бы для одного
то это функция общего вида.
Решение примеров
Рассмотрим конкретные примеры.
Исследовать функцию на четность:
1.
Решение:
(Рис. 3).
Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.
Ответ: Функция четная.
2. .
Решение:
(Рис. 4).
несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.
Ответ: Функция общего вида.
3.
Решение:
область определения симметрична относительно нуля.
Ответ: Функция нечетная.
4.
Решение: (Рис. 5).
Область определения симметрична относительно нуля.
Ответ: Функция нечетная.
5.
Решение:
Область определения симметрична относительно нуля (Рис. 5).
Ответ: Функция четная.
6.
Решение: Область определения симметрична относительно нуля.
Мы видим, что для :
Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида
Ответ: Функция общего вида.
7..
Решение: (Рис. 6).
Область определения несимметрична относительно нуля.
Ответ: Функция общего вида.
8.
Решение:
Построим график функции (Рис. 7).
График симметричен относительно оси y, функция четная.
Эту же функцию можно задать как
Ответ: Функция четная.
9. Постройте график функции и прочитайте его, если
Решение: Построим график функции (Рис. 8).
График симметричен относительно оси y, функция четная.
Функция возрастает при
Функция убывает при