Параметрические критерии проверки статистических гипотез

Наиболее распространенным параметрическим критерием является критерий t-Стъюдента. Его используют для проверки гипотезы о равенстве двух генеральных средних. Как видно из рисунка 18, две выборки могут быть извлечены из одной генеральной совокупности и в этом случае у выборочных средних одна общая генеральная средняя, или же эти выборки принадлежат разным совокупностям и, следовательно, генеральные средние отличаются.

Рисунок 18. Гипотезы о равенстве

Критерий Стъюдента можно использовать при условии, если

• признаки количественные и имеют нормальное распределение

• генеральные дисперсии сравниваемых совокупностей равны

Несоблюдение этих условий может привести к некорректным результатам.

СЛУЧАЙ 1. Выборки независимые.

В этом случае нулевая гипотеза Н(0) звучит так:

• две генеральные средние равны

• или - две выборки извлечены из одной генеральной совокупности

• или - две совокупности имеют одинаковое распределение

В медицинских задачах гипотеза может быть сформулирована, например, таким образом: содержание гемоглобина у городских и сельских жителей одинаково (подразумевая, что одинаково его распределение).

Проверяемый t-критерий вычисляется по формуле

(11)

где – выборочные средние

m₁, m₂ - стандартные ошибки средних значений сравниваемых выборок.

Находим по таблице t_крит для заданного α и числа степеней свободы

f =n₁ + n₂ – 2 (12)

Если │t_выч │< t_крит то принимается Н(0) (нет аргументов, чтобы ее отвергнуть)

Если │ t_выч│≥ t_крит то принимается Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями на соответствующем уровне значимости.

Условие равенства двух генеральных дисперсий проверяется по критерию Фишера, который равен отношению большей выборочной дисперсии к меньшей:

(13)

F_крит находится по таблице (Приложение 7) для заданного α и числа степеней свободы

f₁=n₁-1 и f₂=n₂-1 (14)

Если F_выч≥ F_крит , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отвергается

Если F_выч< F_крит , то принимается нулевая гипотеза о равенстве.

Пример. По данным из таблицы 14 определить, отличается ли при себорее содержание связанного холестерина крови (мг%) от нормы, если известно, что концентрация холестерина имеет нормальное распределение, а дисперсии в двух совокупностях одинаковы.

Таблица 14. Данные к примеру

норма	58,9	53,1	64,1	59,3	69	62	53,3	61,1	58,3
себорея	105,3	83,7	122,2	110,6	101,1	96,8	114,5	113

Решение:

Вычислим средние значения для двух выборок:

Несмотря на то, что две выборочные средние отличаются, не исключена возможность, что генеральные средние равны. Поэтому выдвинем гипотезы:

Н(0): среднее значение связанного холестерина в крови при себорее не отличается от нормы

Н(1): среднее значение связанного холестерина в крови при себорее отличается от нормы

Гипотезы будем проверять на уровне значимости α=0,05.

Результаты вычислений представлены в таблице 15.

Таблица15. Итоги проверки гипотезы

группа	n	(мг%)	s(мг%^2)	m (мг%)	вычисленный t-критерий	F-критерий
норма	9	59,9	5,0	1,67	-20,8	1,08
себорея	8	109,5	4,8	2,81

Определим F_крит по таблице (Приложение 7) для f₁=8 и f₂=7

F_крит=3,73

Т.к. F_выч< F_крит (1,08<3,73) принимаем гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

Определим t_крит для α=0,05 и числа степеней свободы в двух группах

f=n₁+n₂-2=9+8-2=15

Из таблицы (Приложение 2) получаем двусторонний t_крит=2,13

т.к.│t_выч│> t_крит (20,8>2,13) – то принимается альтернативная гипотеза.

Вывод: Содержание связанного холестерина в крови при себорреи статистически значимо отличается от нормы с вероятностью не менее 95%.

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимые

Для сравнения двух зависимых выборок или выборок с попарно связанными вариантами проверяют гипотезу о равенстве нулю среднего значения их попарных разностей. Такая задача возникает, когда имеются данные об изменении интересующего признака у каждого пациента. Например, если группа пациентов получала изучаемый метод лечения, и у каждого пациента измерялось значение признака до и после лечения. В данном случае предстоит проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю изменений этого признака в результате получения терапии.

При подобных исследованиях все наблюдения можно представить в виде n-пар измерений (например, до и после)

Для каждой пары вычисляется разность d_i, где i=1, n

Для полученного ряда вычисляется среднее и среднеквадратичное отклонение

Далее вычисляется значение критерия Стъюдента

(15)

Проверка гипотезы производится по таблицам распределения Стьюдента (Приложение 2) для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f= п-1.

Если │t_выч │< t_крит то принимается Н(0)

Если │ t_выч│≥ t_крит то принимается Н(1) и делается заключение о наличии статистически значимых различий между генеральными средними значениями «до» и «после».

Пример. В группе из 6 человек изучалось влияние пробежки на ЧСС (уд/мин). В результате опыта получилось 2 ряда ЧСС: первый – до пробежки, второй – после пробежки:

Таблица 16. ЧСС до и после пробежки

До пробежки, уд/мин.	65	75	68	80	75	62
После пробежки, уд/мин.	77	82	65	90	85	75

Изменяется ли ЧСС после пробежки? Необходимо оценить статистическую значимость полученных результаты, если известно, что ЧСС имеет нормальное распределение.

Для наглядности представим данные в следующей таблице 17:

Таблица 17. Изменения ЧСС

x_1i (до пробежки)

х_2i(после пробежки)

d_i(разница ЧСС)

65

77

12

75

82

7

68

65

3

80

90

10

75

85

10

62

75

13

Ср. знач.=70,8

Ср. знач.=79

Ср. знач.= 8,2

Несмотря на то, что средние значения ЧСС до и после пробежки отличаются, не исключена возможность, что в генеральной совокупности пробежка не повлияет на ЧСС.

Поэтому выдвигаем гипотезы:

Н(0): после пробежки ЧСС в среднем не меняется

Н(1): после пробежки ЧСС в среднем меняется

Гипотезы будем проверять на уровне значимости α=0,05.

Результаты вычислений представлены в таблице 18.

Таблица 18. Результаты проверки гипотезы

группа	n	(уд/мин)	(уд/мин)	sd(уд/мин^2)	вычисленный t-критерий
до пробежки	6	70,8	8,2	5,3	3,75
после пробежки		79

Определим по таблице Стьюдента (Приложение 2) для α=0,05 и числа степеней свободы f=n-1=5 двусторонний t_крит = 2,57.

│t_выч │> t_крит – следовательно принимается Н(1).

Вывод: изменение ЧСС после пробежки статистически значимо с вероятностью не менее 95%.

Контрольное задание 5:

1. На каком уровне значимости можно утверждать, что содержание сахара в крови лиц основной и контрольной групп одинаково

Таблица 19. Данные к заданию

Сахар в крови, г/л		t0,05	t0,01	tвыч
	Основная группа	2,262	3,25	3,11
	Контрольная группа

2. По данным из таблицы 20 сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Какая из гипотез будет принята.

Таблица 20. Данные к заданию

Аплитуда ЭЭГ	фон	альфа	р
	гипервентилляция	0,05	7,5%