Актуальность
Актуальность данной рассматриваемой темы очень хорошо просматривается, т. к. канторовская теория применима в большом спектре научных областей: информатике, химии и др.
Теория Георга Кантора
Основные понятия теории частично упорядоченных множеств:
Определение и примеры
Предпорядки
Частично упорядоченное множество P=‹P,› -основные понятия
Особые элементы
Ранжирование частично упорядоченных множеств.
Порядковые гомоморфизмы
Идеалы и фильтры
Конусы
Точные грани
Определение и примеры
Определение: Пару, где- непустое множество, а- рефлексивное, антисимметричное и транзитивное бинарное отношение на нем, часто называютчастично упорядоченным множеством( сокращенно ч.у. множеством)
Рефлексивность (R) :;
Антисимметричность: (AS):
Транзитивность(T):
Примеры:
- классический пример ч. у. множества( упорядочивание множеств по включению,
и- два упорядочивания одного множества
Предпорядки
Рассмотрим данную тему сразу на примере:
Пример: Пусть - множество людей,- рост, а– вес человека. Определим на отношениена:Является лиотношением частичного порядка на
Ответ: Нет. т.к. – рефлексивно и транзитивно, но не является антисимметричным отношением:(могут найтись два человека с одинаковым ростом и весом)
Отношения со свойствами (иназываются предпорядками..
Частично упорядоченное множество P= (P,- основные понятия:
Если , тоисравнимыиначе они несравнимы
Полный (линейный) порядок, если
Если в нет ни одной пары различных сравнимых элементов, то это тривиально упорядоченное множество
непосредственно предшествуетнепосредственно следует заесли
- интервал
- цепь, а совокупность попарно несравнимых элементов – антицепь в.
епь максимально( насыщенная), если при добавлении к ней любого элемента она перестает быть цепью
- двойственный кпорядок:
Частично упорядоченные множества: особые элементы
Определение: элемент ч. у. множестваназывают:
Максимальным, если
Минимальным, если
Наибольшим, если
Наименьшим, если
Для любых
Элемент наибольший, если все другие элементы содержатся в нем, и он минимальный, если нет элементов , содержащих его ( аналогично для наименьшего и минимального элементов.
1
2
Наибольший(1) и наименьший(0) –граничные элементы. В конечном частично упорядоченном множестве имеется как минимум по одному максимальному и минимальному элементу
Ранжирование частично упорядоченных множеств
Цепное условие Жордана - Дедекинда: Все максимальные цепи между двумя данными элементами локально конечного ч.у. множества имеют одинаковую длину.
Если ч. у. множество удовлетворяет условию Жордана – Дедекинда и имеет наименьший элемент 0 , то оно ранжируемо, т. е. на нем можно определить функцию ранга
и такое множество имеет слои
-----
-
-
-
Если множество ранжируемо, то любой его слой( ноне только) является антицепью.
Порядковые гомоморфизмы
Определение: Отображение носителей ч. у. множеств называется соответственно
Изотонным( монотонным, порядковым гомоморфизмом) если
Обратно изотонным, если
Антиизотонным, если
Если изотонно, обратно изотонно и инъективно, то это вложение или (порядковый) мономорфизм ( символически)
Cюръективный мономорфизм - ( порядковый) изоморфизм ( символически)
Изоморфизм ч.у. множества в себя - (порядковый) автоморфизм
Идеалы и фильтры частично упорядоченных множеств
Определение: Подмножество элементов ч.у. множестваназывается его ( порядковым) идеалом, если
Подмножество элементовназывается его (порядковым) фильтром, если
∅ и все множество – порядковые идеалы. Важное свойство: объединение и пересечение порядковых идеалов есть порядковый идеал.
Обозначение: - множество всех порядковых идеалов частично упорядоченного множества.
Конусы
Определение: Пусть - ч.у. множество и. Множества.
И
Называют верхними и нижними конусами множества , а их элементы – верхними и нижними гранями множествасоответственно. Для одноэлементного множества
Понятно, что если идеал, а- фильтр– такие идеалы и фильтры называют главными
Конечнопорожденный идеал:
Точные грани
Определение: Пусть - ч. у. множество и.
Наименьший элемент в называется точной верхней границей гранью множества
Наибольший элемент в называется точной нижней гранью множества
Пример: (sup Aи/или inf A могут и не существовать)
,но множество не имеет инфимума⇒ sup отсутствует.
отсутствует inf [2]
c d
a b
Применение частично упорядоченных множеств на практике
Частично упорядоченное множество - один из типов бинарного отношения. Отношение частичного порядка является одним из фундаментальных общематематических понятий и широко используется в теоретической математике, в системах логического вывода и во многих других приложениях. Оно является обобщением таких широко известных бинарных отношений как "меньше или равно" (Ј) для чисел и "включено или равно" (Н) для множеств. Обозначение "Ј" часто используется не только для обозначения отношения "меньше или равно" на множестве чисел, упорядоченных по величине, но и для обозначения произвольного отношения частичного порядка[3]. А так же для создания графов, решения задач с помощью ч.у. множеств и многое другое. Как мы видим, спектр применения частично упорядоченных множеств довольно широк.