СММиФ заоч

ЗАДАНИЯ

1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А:

	2 −1 0						3 −1 1
а)	A = −1 2 0 .					б)	A = 0 2		−1 .
		1	−					−1 2
				1 1			0
	5		−1	−1			2 0 −1
в)	A = 0		4	−1 .		г)	A = 1 1 −1 .
		0	−1	4			−1	0	2

5.Ортогональные полиномы

I.Тригонометрическая система

Рассмотрим гильбертово пространство L2[−π, π], т.е. простран-

ство функций с интегрируемым квадратом. Тригонометрическая система функций

		1		cos x		sin x		cos 2x		sin 2x
			,		,		,		,		, ...
		2π		π		π		π		π

образует полную ортонормированную систему, т.е. ортонормированный базис, в пространстве функций L2[−π, π]. Соответствующий ряд

Фурье имеет вид:

a0

∞

+ ∑ an cos nx + bn sin nx ,

2

где

n=1

1

π

1

π

1

π

a =

f (x)dx,

a =

f (x)cos nxdx,

b =

f (x)sin nxdx

∫

∫

∫

0

π

n

π

n

π

−π

−π

−π

и сходится по норме пространстваL2[−π, π] к функции f (x).

II. Системы многочленов

Рассмотрим совокупность одночленов {1, x, x2 ,..., xn ,...}, опреде-

ляющую систему всех многочленов. Эта система линейно независима и полная на отрезке [− 1;1]. Однако, она не ортонормированная, а значит, не образует ортонормированный базис.

21

Систему многочленов можно ортонормировать по отношению к

скалярному произведению пространства L2 (a,b) с весовой функцией w(x):

( f , g) = b∫ f (x)g(x)w(x)dx .

a

Тогда условие ортонормированности многочленов {ϕn } в пространстве L2 (a,b) имеет вид:

b

∫ϕn (x)ϕm (x)w(x)dx = δnm .

a

Выбирая соответствующую весовую функцию w(x) и проводя процедуру ортогонализации системы одночленов {1, x, x2 ,...}, мы приходим к следующим системам многочленов:

Многочлены

Весовая

Пространство

L0 (x) =1,

L1(x) =1− x,

Лагерра

e−x

L2 [0, ∞)

1

2

L

(x)

функция

функций

L2

Многочлены

w(x)

L2 (a,b)

(x) =1

−2x +

2 x

,

n

низших степеней

L

(x) =1

−3x +

3

x2

−

1

x3 ,

Лежандра

1

L2[−1,1]

P3

(x) =

1,

P (x)

= x,

0

1

2

6

Pn (x)

3

2

1

3

1

4

LP

(x))==1

−

x4x −+

3x,

+

x

, ...

2

4

2

2

24

P

(x) =

5

x3 −

3

x,

3

2

2

P

(x) =

35

x4 −

15

x2 +

3

, ...

4

8

4

8

Чебышева T

(x)

1

T (x) = 1,

T (x) = x,

T (x)n

L2[−1,1]

0

2

1

T2 (x) = 2x

T*(x) =

0

,

1 − x

2

−1,

0

π

T (x) = 4x3 −3x,

2

3

T*(x) =

T

(x)

T4 (x) = 4x

4

−

8x

2

+1, ...

n

π

n

Эрмита

e

−x2

L

(−∞,+∞)

H0 (x) = 1,

H1 (x) = 2x,

Hn (x)

2

H2

(x) = 4x2 − 2,

H3 (x) =8x3 −12x,

H4 (x) =16x4 − 48x2 +12, ...

22

Многочлены

Основные формулы

Лежандра

Формула Родрига: P (x)

=

1

d n

(x2

−1)n ;

n

Pn (x)

n

n!2

dx

n

1

∞

(x) -

=

∑ρn Pn

производящая функция.

1 +ρ2

− 2ρx

n=0

Чебышева

Tn (x) = cos(n arccos x);

Tn+1(x) = 2xTn (x)−Tn−1(x);

Tn (x)

{T * (x),T * (x)}=

T0 (x)

;

2

T

(x),

(n ≥ 1) - ортонормиро-

0

n

π

π

n

ванная система многочленов Чебышева первого рода.

1

n

x2 d n

−x2

Эрмита

Hn (x)

=

(−

1)

e

e

;

n!2n

Hn (x)

π

dxn

Hn* (x) = (−1)n ex 2

d n

(e−x 2 );

dxn

*

∞

e2 xt −t 2

= ∑

Hn (x)

tn -

производящая функция.

n=0

n!

Лагерра

Ln (x) = (−1)n ex

d n

(xne−x );

dxn

Ln (x)

n!

(n +1)Ln+1 (x) + (x − 2n −1)Ln (x) + nLn−1(x) = 0;

xt

et −1

∞

= ∑ Ln (x) tn -

производящая функция.

1 −t

n=0

Пусть {ϕn (x)} – некоторая ортонормированная система много-

членов в пространствеL2 (a,b) .

Тогда

ряд Фурье для функции f (x)

имеет вид

∞

f (x) = ∑anϕn ,

n=0

где числа an называются коэффициентами Фурье в пространствеL2 (a,b) и вычисляются по формуле:

23

an = ( f (x), ϕn ) = b∫ f (x)ϕn (x)w(x)dx.

a

Весовая

Простран-

Ряд Фурье для функции

Многочлены

функция

f (x) и его коэффициенты

ство L (a,b)

w(x)

2

в L2 (a,b)

Лежандра

f

(x) = ∑a P (x),

Pn (x)

∞

1

L2[−1,1]

n=0 n n

a

n

=

2n + 1

1∫ f

(x)P

(x)dx.

2 −1

n

Чебышева

f (x) = ∑a T *

(x),

Tn (x)

1

∞

L2[−1,1]

0

n n

1 − x2

dx

1

an = ∫ f (x)Tn* (x)

.

1 − x2

−1

Эрмита

f

(x) = ∑a H

(x),

L2 (−∞,+∞)

∞

Hn (x)

e−x2

n=0 n n

an

= +∞∫ f (t)Hn (t)e−t2 dt.

−∞

Лагерра

f

(x) = ∑a L (x),

L2 [0, ∞)

∞

L (x)

e−x

n=0 n n

n

an = +∞∫ f (t)Ln (t)e−t dt.

0

ЗАДАНИЯ

1. Разложить в пространстве L2 [−π, π] функцию y = x + π

в три-

гонометрический ряд Фурье.

2. Разложить в пространстве L2 [−π, π] функцию y = 2 − x

в три-

гонометрический ряд Фурье.

3.Получить несколько первых многочленов Лежандра, используя формулу Родрига.

4.Найти несколько первых членов ряда Фурье относительно системы многочленов Лежандра для функции f (x) =| x | на [−1,1].

24

5.	Найти	шесть первых многочленов Чебышева, используя ре-
куррентную		формулу	Tn+1(x) = 2xTn (x) −Tn−1(x),		где
Tn (x) = cos[narccos x].					T2 (x) и
6.	Доказать ортогональность многочленов Чебышева
T3 (x).
7.	Для функции f (x) = 0,		−1 < x < 0,	найти несколько первых
		1,	0 < x < 1
членов ряда Фурье относительно системы многочленов Чебышева.
8.	Для функции f (x) = −1,		−1 < x < 0,	найти несколько первых
		x,	0 < x <1

членов ряда Фурье относительно системы многочленов Чебышева.

9.Получить четыре первых многочлена Эрмита, используя формулу Родрига для многочленов Эрмита.

10.Найти несколько первых членов ряда Фурье относительно сис-

темы многочленов Эрмита для функции f (x) = e−5x2 при x R.

11.Получить четыре первых многочлена Лагерра, используя формулу Родрига для многочленов Лагерра.

12.Получить четыре первых многочлена Лагерра, используя производящую функцию многочленов Лагерра.

13.Найти несколько первых членов ряда Фурье относительно сис-

темы многочленов Эрмита для функции f (x) = e−7 x при x > 0 .

6. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Если f (x) – абсолютно интегрируемая на всей числовой оси

функция, т.е. функция, удовлетворяющая условию

+∞

∫| f (x) | dx < +∞ ,

−∞

то ее интеграл Фурье имеет вид

+∞
∫[a(λ) cos λx +b(λ) sin λx]dλ ,	(1)
0
25

где введены обозначения

			1	+∞			1	+∞
	a(λ) =			∫ f (t) cos λtdt ,	b(λ) =			∫ f (t) sin λtdt .	(2)
		π				π
				−∞				−∞

Интеграл Фурье (1) равен f (x) в каждой точке непрерывности функции f (x) .

В случае, когда функция f (x) четная, коэффициенты (2) имеют

вид

		2		+∞
	a(λ) =			∫ f (t) cos λtdt,						b(λ) = 0 .	(3)
		π
				0
	В случае нечетной функции f (x) :
								2	+∞
	a(λ) = 0,			b(λ) =					∫ f (t) sin λtdt.		(4)
							π
									0
	Преобразованием Фурье функции									f (x) будем называть функ-
	цию g(λ) = F[ f (x)], определенную формулой
									+∞
	g(λ) = F[ f (x)] = ∫ f (x)e−iλxdx .										(5)
									−∞
	Обратное преобразование Фурье имеет вид:
					1	+∞
	f (x) =					∫ g(λ)eiλxdλ .
					2π
						−∞

В зависимости от того, является ли f (x) четной или нечетной, ее преобразование Фурье записывается в различной форме.

1) f (x) – четная, тогда

+∞ +∞

g(λ) = ∫ f (x)(cos λx + i sin λx)dx = 2 ∫ f (x) cos λxdx .

−∞

0

Этот интеграл известен как косинус-преобразование Фурье. 2) f (x) – нечетная, тогда

+∞

g(λ) = 2i ∫ f (x) sin λxdx – синус-преобразование Фурье.

0

26

Свойства преобразования Фурье

I.Преобразование Фурье F[ f (x)] абсолютно интегрируемой функции f (x) есть ограниченная непрерывная функция, которая стремится к нулю при | λ |→ ∞ .

II. Если f (k −1) (x) непрерывна на каждом конечном интервале и

f ,..., f (k ) L (−∞; ∞) , то
1
F[ f (k ) (x)] = (iλ)k F[ f (x)].	(6)

III. Если функции f (x) , xf (x) ,…, xk f (x) абсолютно интегрируемы,

	d	k
то			F[ f (x)] = F[(−ix)k f (x)].	(7)
		k
	dλ

Решение типовых задач

Пример 1. Представить интегралом Фурье следующую функ-

цию:

2 −| x |, | x |≤ 2,

f (x) =

0,

| x |> 2.

Решение.

Так как функция

f (x) – четная, то

2

+∞

2

2

b(λ) = 0 ,

a(λ) =

∫ f (t) cos λtdt =

∫ (2 −t) cos λtdt .

π

π

0

0

Интегрируя по частям, находим:

2

2 −t

2

1

2

− 2

2

a(λ) =

sin λt

+

∫sin λtdt

=

cos λt

0

=

π

λ

λ

πλ2

0

0

= −

2

(cos 2λ −1)

=

2(1 −cos 2λ)

.

2

2

πλ

πλ

+∞ 2(1 −cos 2λ)

Интеграл Фурье примет вид:

f (x) = ∫

cos λxdλ.

2

0

πλ

27

		2		2	1 −cos 2λ
Ответ:	f (x) =			∫		cos λxdλ. ▲
		π			2
				0	λ

Пример 2. Найти преобразование Фурье функции

f (x) = 2 + 1 + . x 2x 2

Решение. Преобразование Фурье функции f (x) имеет вид

∞			1
g(λ) = ∫				e−iλxdx .
		2	+ 2x + 2
−∞ x

При вычислении интеграла нам понадобится лемма Жордана:

Если f (z) в верхней полуплоскости и на вещественной оси удовлетворяет условию: f (z) → 0 при z → ∞ и m > 0, то при R → +∞ ∫ f (z)eimz dz → 0 , где CR есть полуокружность с центром в

CR

начале координат и радиусом R, находящаяся в верхней полуплоскости.

Тогда λ = − | λ | – должно быть отрицательным и

∞				ei|λ| z
g(λ) = ∫ + ∫	=∫				dz ,
		z	2
−∞ CR →0	C			+ 2z + 2

где С – замкнутый контур в верхней полуплоскости.

1

Функция f (z) =

имеет в верхней полуплоскости по-

z2 + 2z + 2

люс первого порядка z0 = −1 −i . Тогда

e

i|λ| z

= 2πi

e

i|λ| z

g(λ) = 2πi res

=

2 +

2z + 2

z =z z

2z + z

z =−1+i

= 2πi

ei|λ|(−1+i)

= πe−i|λ|−|λ| = πe−|λ|(1+i) .

− 2 + 2i + 2

28

Ответ: πe−|λ|(1+i) . ▲

Пример 3. Найти преобразование Фурье функции

2x

,

| x |≤1,

f (x) = e

0,

| x | >1.

Решение.

∞

1

1

g(λ) = ∫ f (x)e−iλxdx = ∫ e2 xe−iλxdx = ∫ e(2−iλ) xdx =

−∞

−1

−1

=

1

e(2−iλ) x

1

=

1

(e2−iλ

−e−(2−iλ) )=

2 sh(2 −iλ)

.

2

−iλ

−1

2 −iλ

2 −iλ

Ответ:

2 sh(2 − iλ)

. ▲

2 − iλ

Пример 4. Найти преобразование Фурье функции

d

1

.

dx x2 + 2x + 2

Решение.

Используем свойство II и результат Примера 2:

d

1

1

−|λ|(1+i)

F

= iλF

= iλπe

.

2

+ 2x

+ 2

2

+ 2x +

dx

x

x

2

Ответ: iλπe−|λ|(1+i) . ▲

ЗАДАНИЯ

1. Представить функцию f (x) интегралом Фурье:

a)	f (x) = 2x, − 2 ≤ x ≤ 0,
	0,	x < −2, x > 0.
b)	f (x) = 1−| x |, | x |≤ 3,
	0,	| x |> 3.

c)	f (x) = sin x, | x |≤ π / 2,
	0,	| x |> π / 2.
d)		2	, | x |≤1,
	f (x) = 1 + x
	0,	| x |>1.

29

e)	f	(x) = cos 2x, | x |≤ π,	f)	f (x) = 3x2 ,
		0, | x |> π.		0,
	2. Найти преобразование Фурье функции f (x):

| x |≤ 1/ 2, | x |> 1/ 2.

a)	f (x) = e−3x ,							| x |≤ 2,
		0,				1		| x |> 2.
b)	f (x) =									.
				x2 + 4x + 5
c)	f (x) = e4 x ,							| x |≤ 4,
		0,						| x |> 4.
	f (x) =			d				1
d)									.
				dx				+ 4
						x2

e)f (x)

f)f (x)

g)f (x)

h)f (x)

=	x +1,				| x |≤ 1,
					| x |> 1.
	0,		1
=						.
		x2 + 3x + 4
=			−x	,	| x |≤ 3,
	xe
	0,				| x |> 3.

= x . x2 + 9

7. Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование

Пусть f (t) – комплекснозначная функция действительного аргумента f, определенного для t ≥ 0 .

Определение. Дискретным преобразованием Лапласа (изображением) решетчатой функции fn называется функция D{fn} ком-

плексного переменного p, которая определяется как

∞
D{fn }= ∑ e−np fn .	(1)
n=0
Выполним замену z = e p . Тогда ряд (1) примет вид
∞
F* (z) = ∑ fn z−n ≡ z{fn }.	(2)
n=0

Такой переход от функции fn к функции F* (z) по формуле (2) называется z-преобразованием и обозначается

fn F* (z). (3) z -преобразование будем обозначать как fn F* (z)

Таблица соответствия для z -преобразований

30