СММиФ заоч

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y(x) = C ex + C

e−x .

1

2

Определим константы C1 и C2

исходя из граничных условий:

y(1) = C e + C

e−1,

1

2

2

−2

= C1e

+ C2e

= 0.

y(2)

Следовательно,

1e−2

1e2

C = −

;

C

2

= −

.

1

2 sh1

2 sh1

Тогда

1

(−e−2+x

+ e2−x )=

sh(2 − x)

y(x) =

– единственная экстремаль.

2 sh1

sh1

sh(2 − x)

Ответ: y(x) =

. ▲

sh1

Пример 2. Найти все экстремали функционала J[ y] , удовлетво-

ряющие указанным граничным условиям:

π/ 2

π

J[ y] = ∫(( y' )

2

+ 2 y sin x)dx ;

y(0) = 0

; y

= 2.

0

2

Решение.

Экстремали функционала J[ y] являются интегральными кри-

выми уравнения Эйлера. Находим производные:

Fy

= 2 sin x ,

Fy′ = 2 y' ,

d

Fy′ = 2 y' '.

dx

Уравнение Эйлера имеет вид

2sin x −2 y''= 0,

y' ' = sin x,

y' = −cos x + C1,

y = −sin x + C1x + C2.

Используя граничные условия, находим:

C

2

= 0,

π

1 + C1

= 2.

−

2

41

Откуда C1 = 6 / π. Следовательно, экстремали данного функционала имеют вид: y = −sin x + π6 x .

Ответ: y = −sin x + π6 x . ▲

Пример 3. Найти экстремали функционала

e

J ( y) = ∫ (xy′2 + yy′)dx , y(1) = 0 , y(e) = 1.

1

Решение.

F (x, y, y′) = xy′2 + yy′.

Найдем частные производные функции F (x, y, y′) :

Fy = y′, Fy′ = 2xy′+ y .

Уравнение Эйлера примет вид

d

y′−

(2xy′+ y) = 0 ,

dx

y′− 2 y′− 2xy′′− y′ = 0 или xy′′+ y′ = 0.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка, не со-

держащее y и допускающее понижение порядка.

Сделаем замену:

y′ = p,

y′′ = p′.

Тогда уравнение примет вид:

xp′+ p = 0.

Откуда

x

dp

= −p,

dp

= −

dx

,

ln | p |= −ln | x | +ln | C

|, p =

C1

.

dx

∫

p

∫ x

1

x

∫

x

Тогда y =

C1

dx +C

2

= C ln x

+C

2

.

1

Определим константы C1 и C2 исходя из граничных условий:

y(1) = C1 ln1 + C2 = C2 = 0,y(e) = C1 ln e + 0 =1, C1 =1.

42

Следовательно, y = ln x - единственная экстремаль.

Ответ: y(x) = ln x . ▲

ЗАДАНИЯ

Найти все экстремали функционала J[ y] , удовлетворяющие указанным граничным условиям:

		2π		y(2π) = 1.
1.	J[ y] = ∫ ( y′2 − y2 )dx;		y(0) = 1;
		0
		π / 8
2.	J[ y] =	∫ ( y2 + 2 yy′−16 y2 )dx ; y(0) = 0 ; y(π / 8) = 1.
		0
		1		y(1) = 2.
3.	J[ y] = ∫ (xy′+ y′2 )dx ;		y(0) = 0 ;
		0
		1
4.	J[ y] = ∫ (12xy − y′2 )dx ; y(0) = 0 ; y(1) = 1.
		0
		π		y(0) = 0 ; y(π) = 2 .
5.	J[ y] = ∫ ( y2 − y′2 −12 y sin 4x)dx ;
		0
		1
6.	J[ y] =	∫ ( y2 − y′2 − ye2 x )dx ; y(0) = 0 ; y(1) = 1.
		0

43

ТИПОВЫЕ ТЕСТЫ

ТЕСТ Вариант 1

1.

Является ли метрикой на множестве действительных чисел R следую-

щая функция: а) ρ(x, y) = x3 − y3 ;

б) ρ(x, y) =| 4x − 4 y

| .

2.

Проверить, какие из векторов

= (1,−2,1),

= (2,1,0),

= (3,2,1)

e1

e2

e3

ортогональны, если скалярное произведение задано:

= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

. Найти нормy векторa

.

x

y

e1

1

3.

В пространстве функций, непрерывных на [−1,1]: ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt.

−1

Проверить ортогональность функций

f

= t и f

2

= t2 −3t.

Найти норму | f1 |.

1

4.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного

2

−1

0

оператора, заданного матрицей А:

2

A = −1

0 .

−

4

5

3

5.

Получить несколько первых многочленов Лежандра, используя

формулу Родрига.

6.

Найти изображение F (z)

для функции 4 3n −5.

7.

C помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное раз-

ностное уравнение:

x

n+1

− 4x

n

= 3n ,

x

=1.

0

8.

Найти экстремали функционала:

1

J[ y] = ∫ ( y′2 + 9 y2 + 4 yy' )dx;

y(0) = 0,

y(1) =1.

0

9.

Представить функцию

f (x)

интегралом Фурье:

2,

если

0 ≤ x ≤ 4,

−1 ≤ x ≤ 0,

f (x) = −3, если

если

x < −1, x > 4.

0,

44

ТЕСТ Вариант 2

1.

Является ли метрикой на множестве действительных чисел R следую-

щая функция: а) ρ(x, y) =| 3x −3y | ;

б) ρ(x, y) =| 2sin x − 2sin y | .

2.

Проверить, какие из векторов

= (4,−1,3),

= (−1,2,2),

= (0,1,−1)

e1

e2

e3

ортогональны, если скалярное произведение задано:

= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . Найти нормy векторa

.

x

y

e2

1

3.

В пространстве функций, непрерывных на [−1,1]: ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt.

−1

Проверить ортогональность функций

f = t −4 и

f

2

= t2 .

Найти норму | f2 | .

1

4.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного

1

0

0

оператора, заданного матрицей А:

2

A = −1

0 .

−

3

6

4

5.	Найти изображение F (z)						для функции 2n −(−1)n .
6.	C помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное раз-
ностное уравнение:			x	n+1	+ 2x	n	= 5n , x	= −1.
							0
7.	Найти экстремали функционала:
	π
J[ y] = ∫ ( y′2 −9 y2 + 6 yy')dx;							y(0) = 0,	y(π) =1.
	0
8.	Представить функцию				f (x)		интегралом Фурье:
	1,	если	0 ≤ x ≤ 2,
			−1 ≤ x ≤ 0,
f (x) = −1, если
		если	x < −1, x > 2.
	0,
9. Для функции			f (x) = 0,				−1 < x < 0,	найти несколько первых чле-
					1,		0 < x < 1

нов ряда Фурье относительно системы многочленов Чебышева.

45

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ТЕСТА

Вариант 3

1. Является ли метрикой на множестве действительных чисел R сле-

дующая функция: а) ρ(x, y) =| cos(x2 − y2 ) |;	б) ρ(x, y) = | x3 − y3 | ?
Решение.	Пусть ρ(x, y) = 0 , т.е.
а) Проверим выполнение аксиомы 1.
ρ(x, y) =| cos(x2 − y2 ) |= 0 x2 − y2 = π + 2πk, k Z .
Из этого равенства не следует, что x = y	( x = ± y2 +π +2πk , k Z ).

Следовательно, аксиома 1 не выполняется и ρ(x, y) не является метрикой.

б) Проверим выполнение аксиомы 1.		Пусть ρ(x, y) = 0 , т.е.
| x3 − y3 | = 0 x3 − y3 = 0 x = y .
Пусть x = y , ρ(x, y) =	| x3 − x3 | = 0 . Аксиома выполняется.
Аксиома 2: ρ(x, y) =	| x3 − y3 | , ρ( y, x) = | y3 − x3 | , при этом
| x3 − y3 | = | y3 − x3 | для x, y R .		ρ(x, y) = ρ( y, x) . Аксиома

симметрии выполняется.

Проверим выполнение аксиомы 3. Пусть z – любое число. Тогда

ρ(x, y) = | x3 − y3 | = | x3 − z3 + z3 − y3 | ≤ | x3 − z3 | +

+ | z3 − y3 | = ρ(x, z) + ρ(z, y) .

Аксиома выполняется.

Ответ: а) ρ(x, y) =| cos(x2 − y2 ) |не является метрикой. ▲ б) ρ(x, y) = | x3 − y3 | является метрикой. ▲

2. Проверить, какие из векторов e1 = (1,−2,1), e2 = (2,1,0), e3 = (3,2,1) ортогональны, если скалярное произведение задано: x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . Найти нормy векторa e1 .

Решение. Проверка ортогональности векторов:

(e1, e2 ) =1 2 − 2 1 +1 0 = 0 e1 e2 ,

(e1 , e3 ) = 1 3 − 2 1 + 1 0 = 0 e1 e2 ,

46

(e1, e2 ) =1 2 − 2 1 +1 0 = 0 e1 e2 , (e1, e1) =1 1 − 2 (−2) +1 1 = 6 e1 = 6.

			Ответ: Векторы																					e1	,						e2		,			e3				попарно ортогональны.
																														Норма векторa																	:																=				6 . ▲
																																														e1											e1
3. В пространстве функций, непрерывных на																																[−1,1] задано скалярное про-
			1
изведение:			( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt.								Проверить																									ортогональность																											функций
			−1
f	= t и f	2	= t2 −3. Найти норму															f				.
1																		1
									Решение.
Найдем скалярное произведение:																													1														1
	1				1																		t4																	t2				1				1											3								3
( f1, f2 ) = ∫t (t2 −3)dt = ∫(t3 −3t)dt =																																−3											=		−								−											+					= 0.
	−1				−1																			4					−1									2					−1	4 4															2 2
Следовательно, функции f1 и f2 ортогональны.
	1		1			t3			1		1															1								2																																			2
( f1, f1) = ∫t t dt = ∫t				2	dt =																											=						. Тогда норма																									f1			=						.
										=								−					−
						3					3															3								3																																			3
	−1		−1						−1
																																																								f													2
		Ответ: Функции f								и f								2		ортогональны. Норма																																												=						. ▲
							1																																																	1													3
4.	Найти собственные значения и собственные векторы линейного
																							2										−1										0
оператора, заданного матрицей										A =																								2
																				−1																							0 .
																							5									− 4											2

Решение.

Найдем собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение det( A − λI ) = 0 имеет вид

2 −λ	−1	0		или (2 −λ)(λ2 − 4λ +3) = 0 .
−1	2 −λ	0
5	− 4	2 − λ
			47

Корнями этого уравнения являются λ1 = 2 , λ2 = 3, λ3 =1. Обозначим через (α1,α2 ,α3 ) координаты собственного вектора u1 с собственным

значением

λ1 = 2 . Найдем решения системы:

2 − 2

−1

0

α1

0

0α −α

+ 0α

= 0,

0

2 − 2

0

α

= 0

или

1

2

3

2

5α1 − 4α2 + 0α3 = 0.

5

− 4

α

2 − 2 3

0

Решив эту систему, получим α3 = c , c R , α1 = 0 , α2 = 0 . Таким образом, собственный вектор u1 = (0,0, c) , c R , c ≠ 0 .

Аналогично находим собственные векторы u2 = (t,−t,9t) , t R ,

t ≠ 0 и u3 = (l, l,−l) , l R матрицы А с собственными значениями соответственно λ2 = 3 и λ3 =1.

Ответ: Множество собственных векторов: u1 = (0,0, c) , u2 = (t,−t,9t) , u3 = (l, l,−l) , c, t, l R . ▲

5. Получить несколько первых многочленов Лежандра, используя формулу Родрига.

Решение.

По формуле Родрига P (x)

=

1

d n

(x2 −1)n находим:

n

n

n! 2

dx

n

P

(x) =

1

=1,

P (x) =

1

d

(x2 −1)1 =

1

2x = x,

0

0

0! 2

1

1

2

1! 2 dx

P

(x) =

1

d 2

(x2

−1)2

=

1

(x4 − 2x2

+1)″ =

1

(4x3 − 4x)′ =

3

x2 −

1

.

2

2! 2

2

2

8

8

2

2

dx

Ответ: P

(x) =1, P

(x) = x, P (x) =

3

x2

−

1

.▲

0

1

2

2

2

6.

Найти изображение F (z)

для функции 4 3n −5.

Решение.

Из таблиц: 1

z

,

3n

z

. По свойству линейности:

z −1

z − 3

11z − z2

4 3n −5 1

4

z

−5

z

=

.

▲

z

−3

z

−1

(z −3)(z −1)

48

7. C помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное раз-

ностное уравнение: xn+1 − 4xn

= 3n ,

x0 =1.

Решение.

z

Пусть x

X * (z)

, x

n+1

z(X * (z)− x

0

)= zX * (z)− z ,

3n

.

n

z −3

Подставляем в уравнение:

z

zX * (z) − z − 4X * (z) =

,

z −3

(z − 4)X * (z) =

z

+ z X *

(z) =

z2 − 2z

.

z −3

(z

−3)(z −

4)

Разложим функцию X * (z) на слагаемые следующим образом

z2 − 2z

z − 2

−1

2

− z

2z

= z

= z

+

=

+

.

(z −3)(z − 4)

(z

−3)(z − 4)

z

− 4

z −3

z −

4

z −3

Из таблиц находим оригинал: xn = −3n + 2 4n.

				Ответ: xn = −3n + 2 4n. ▲
8. Найти экстремали функционала:
1
J[ y] = ∫( y′2 + 9 y2 + 4 yy' )dx;			y(0) = 0, y(1) =1.
0
Решение.
′	′2	+ 9 y	2	+ 4 yy'.
F (x, y, y ) = y

Найдем частные производные функции F (x, y, y′) :

Fy =18 y + 4 y′, Fy′ = 2 y′+ 4 y .

Уравнение Эйлера примет вид 18 y + 4 y′− dxd (2 y′+ 4 y) = 0 ,

4 y′+18 y − 2 y′′− 4 y′ = 0 или y′′−9 y = 0 .

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y(x) = C1e3x +C2e−3x .

Определим константы C1 и C2 исходя из граничных условий:

49

y(0) = C1 + C2 = 0,

y(1) = C1e3 +C2e−3 =1.

C =

1

; C

2

= −

1

.

1

2 sh 3

2 sh 3

Тогда y(x)

=

1

(e3x − e−3x )=

sh 3x

– единственная экстремаль. ▲

2 sh 3

sh 3

9. Представить функцию

f (x) интегралом Фурье:

2,

если

0 ≤ x ≤ 4,

f (x) =

−1 ≤ x ≤ 0,

−3, если

если x < −1, x > 4.

0,

Найдем коэффициенты:

Решение.

∞

−1

0

4

a(λ) = ∫0 cos λtdt + ∫(−3) cos λtdt + ∫ 2 cos λtdt + ∫0 cos λtdt =

−∞

0

−1

4

0

4

= −

3

sin λt

+

2

sin λt

=

3

sin(−λ) +

2

sin 4λ =

2 sin 4λ −3sin λ

.

λ

−1

λ

0

λ

λ

∞

λ

−1

0

4

b(λ) = ∫0 sin λtdt + ∫(−3) sin λtdt + ∫ 2 sin λtdt + ∫0 sin λtdt =

−∞

0

−1

4

0

4

3

cos λt

2

cos λt

3

3

2

2

=

−

=

−

cos(−λ) −

cos 4λ

+

=

λ

−1

λ

0

λ

λ

λ

λ

=

5 − 2 cos 4λ −3cos λ

.

λ

+∞

Интеграл Фурье примет вид:

∫[a(λ) cos λx +b(λ) sin λx]dλ =

+∞

= ∫

0

			0
	2 sin 4λ −3sin λ			5 − 2 cos 4λ −3cos λ
		cos λx +			sin λx dλ .	▲
	λ			λ

50