Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
нирс2_1.docx
Скачиваний:
54
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
871.47 Кб
Скачать

Параксиальное приближение

Это приближение сводится к предположению, что

  1. лучи наклонены под небольшим углом к оптической оси. В этом случае абсолютные значения компонентов ортов лучей вдоль оси 0x значительно меньше единицы:.

  2. нормаль к поверхности также имеет небольшой наклон к оптической оси. Как и в случае ортов лучей имеем соотношение .

  3. в параксиальном приближении используются не точные, а приближенные значения компонент ортов лучей и нормалей к поверхностям. Эти приближенные значения получают разложением в ряд по степеням поперечных компонент соответствующих ортов с точностью до первых степеней исоответственно.

В теории рядов доказывается, что функции можно представить их степенным рядом. Например, ипредставимы рядами(см. worksheet 1 с использованием series).

Здесь самая высокая степень в разложении - x7, а порядок остаточного члена разложения равен 9. Ошибка разложения, таким образом, имеет порядок О(x9).

Получим выражение для компоненты орта преломлённого луча в параксиальном приближении. Если ограничиться приближенными выражениями для компонентов ортов с точностью до первых степеней исоответственно, то компоненты ортов вдоль оси 0z будут равны и, аналогично,.

Таким образом, в параксиальном приближении выражения для ортов лучей и нормали к поверхности раздела сред принимают вид:

Результат вычисления компоненты , полученный в MathCAD, имеет вид: .

Проверим правильность полученного результата «ручным» вычислением с использованием классической записи закона Снелла.

Воспользуемся тем фактом, что в параксиальном приближении в соответствии с разложением в ряд функции имеем:

Тогда в силу закона Снелла

Второе решение, полученное в MathCAD, очевидно, является лишним.

Лекция 2 Формулы, описывающие сферическую поверхность

Описание сферы с положительным радиусом и кривизной . Стрелка прогиба.

Уравнение для сферы (окружности) c центром в начале системы координат имеет вид:. Если перейти в систему координат, то уравнение окружности примет вид:. Поскольку, приходим к уравнению

В результате приходим к точному уравнению для сечения сферы плоскостью :.

Полученная формула хороша тем, что она применима для описания не только выпуклой, но и вогнутой сферической поверхности. Более того, это выражение представляет и плоскую поверхность: когда , для любого значенияполучаем.

Легко проверить, что как в случае с , так и ссправедливо выражение для нормалик сферической поверхности в точке падения луча на эту поверхность

.

Условие малых углов наклона нормалей к сферической поверхности, соответствующее параксиальному приближению, обеспечивается при столь малых величинах стрелки прогиба , что выражение для орта нормали приобретает вид:

.

Действительно, если расстояние луча до оптической оси столь мало, что , то имеем , что приводит к приведённому выражению для орта нормали в параксиальном приближении.

Наконец, рассмотрим выражения для координат точки пересечения луча со сферической поверхностью в параксиальном приближении.

Пусть - поперечная координата луча в плоскости, касательной к сфере, а- поперечная координата луча в точке пересечения со сферой.

Тогда точные выражения для исвязаны с-поперечной координатой луча в плоскости, касательной к сфере и кривизной сферысоотношениями:

Если пытаться получить точное описание траектории луча, то следует пользоваться именно этими выражениями. Однако, возникает вопрос: можем ли мы пренебречь поперечным смещением луча при его распространении от касательной плоскости к сфере, то есть вместо координаты пользоваться координатой . Какова получаемая величина относительной ошибки. Ясно, что для пучка, идущего вдоль оптической оси () ошибка вообще исчезает. В противном случае

. Поскольку и , то относительная ошибка оказывается величиной второго порядка малости и ею в параксиальном приближении можно пренебречь.

Выражения для нормали к поверхности изменят своё значение и, следовательно, луч преломится под другим углом. В параксиальном приближении, как отмечалось раньше, компоненты ортов вдоль оптической оси полагаем равными единице.

Поэтому .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]