- •Оглавление
- •Введение
- •Лекция 1 Закон зеркального отражения. Принцип кратчайшего пути.
- •Закон Снелла. Принцип наименьшего времени
- •Правило знаков, используемое в геометрической оптике.
- •Параксиальное приближение
- •Лекция 2 Формулы, описывающие сферическую поверхность
- •Формула тонкой линзы
- •Cводка формул, описывающих прохождение луча через сферическую поверхность раздела двух сред.
- •Лекция 3 Понятие оптического изображения.
- •Гомоцентрические и негомоцентрические пучки лучей
- •Краткое описание аберраций
- •Связь положений предмета и изображения
- •Лекция 4 Построение хода лучей в геометрической оптике
- •Построение хода произвольного луча через отрицательную линзу
- •Классификация оптических систем
- •Построение изображения предмета
Параксиальное приближение
Это приближение сводится к предположению, что
лучи наклонены под небольшим углом к оптической оси. В этом случае абсолютные значения компонентов ортов лучей вдоль оси 0x значительно меньше единицы:.
нормаль к поверхности также имеет небольшой наклон к оптической оси. Как и в случае ортов лучей имеем соотношение .
в параксиальном приближении используются не точные, а приближенные значения компонент ортов лучей и нормалей к поверхностям. Эти приближенные значения получают разложением в ряд по степеням поперечных компонент соответствующих ортов с точностью до первых степеней исоответственно.
В теории рядов доказывается, что функции можно представить их степенным рядом. Например, ипредставимы рядами(см. worksheet 1 с использованием series).
Здесь самая высокая степень в разложении - x7, а порядок остаточного члена разложения равен 9. Ошибка разложения, таким образом, имеет порядок О(x9).
Получим выражение для компоненты орта преломлённого луча в параксиальном приближении. Если ограничиться приближенными выражениями для компонентов ортов с точностью до первых степеней исоответственно, то компоненты ортов вдоль оси 0z будут равны и, аналогично,.
Таким образом, в параксиальном приближении выражения для ортов лучей и нормали к поверхности раздела сред принимают вид:
Результат вычисления компоненты , полученный в MathCAD, имеет вид: .
Проверим правильность полученного результата «ручным» вычислением с использованием классической записи закона Снелла.
Воспользуемся тем фактом, что в параксиальном приближении в соответствии с разложением в ряд функции имеем:
|
Тогда в силу закона Снелла
Второе решение, полученное в MathCAD, очевидно, является лишним.
Лекция 2 Формулы, описывающие сферическую поверхность
Описание сферы с положительным радиусом и кривизной . Стрелка прогиба.
Уравнение для сферы (окружности) c центром в начале системы координат имеет вид:. Если перейти в систему координат, то уравнение окружности примет вид:. Поскольку, приходим к уравнению |
В результате приходим к точному уравнению для сечения сферы плоскостью :.
Полученная формула хороша тем, что она применима для описания не только выпуклой, но и вогнутой сферической поверхности. Более того, это выражение представляет и плоскую поверхность: когда , для любого значенияполучаем.
Легко проверить, что как в случае с , так и ссправедливо выражение для нормалик сферической поверхности в точке падения луча на эту поверхность
.
Условие малых углов наклона нормалей к сферической поверхности, соответствующее параксиальному приближению, обеспечивается при столь малых величинах стрелки прогиба , что выражение для орта нормали приобретает вид:
.
Действительно, если расстояние луча до оптической оси столь мало, что , то имеем , что приводит к приведённому выражению для орта нормали в параксиальном приближении.
Наконец, рассмотрим выражения для координат точки пересечения луча со сферической поверхностью в параксиальном приближении.
Пусть - поперечная координата луча в плоскости, касательной к сфере, а- поперечная координата луча в точке пересечения со сферой. Тогда точные выражения для исвязаны с-поперечной координатой луча в плоскости, касательной к сфере и кривизной сферысоотношениями:
|
Если пытаться получить точное описание траектории луча, то следует пользоваться именно этими выражениями. Однако, возникает вопрос: можем ли мы пренебречь поперечным смещением луча при его распространении от касательной плоскости к сфере, то есть вместо координаты пользоваться координатой . Какова получаемая величина относительной ошибки. Ясно, что для пучка, идущего вдоль оптической оси () ошибка вообще исчезает. В противном случае
. Поскольку и , то относительная ошибка оказывается величиной второго порядка малости и ею в параксиальном приближении можно пренебречь.
Выражения для нормали к поверхности изменят своё значение и, следовательно, луч преломится под другим углом. В параксиальном приближении, как отмечалось раньше, компоненты ортов вдоль оптической оси полагаем равными единице.
Поэтому .