19.Координаты вектора линейного пространства. Преобразование вектора при изменении базиса

В линейном л-мерном пространствеФиксируем два базиса

(9.8)

(9.9)

Матрицей перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) называется матрица системы векторов (9.9) в базисе (9.8). Каждый вектор системы (9.9) можно разложить по базису (9.8). Пусть

(9.10) Тогда матрица перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) имеет вид

(9.11) Матрица перехода от одного базиса к другому невырожденная (так как базисные векторы линейно независимы). Всякую невырожденную матрицу n го порядка можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса n мерного линейного пространства к другому базису этого пространства. Очевидно, матрицаобратная матрице (9.11), является матрицей перехода от базиса (9.9) к базису (9.8).

20.Ранг системы векторов линейного пространства

  Рассмотрим систему векторов (1.1), где .Максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (1.1) называется любой набор векторов последней, удовлетворяющий следующим условиям: векторы этого набора линейно независимы; всякий вектор из системы (1.1) линейно выражается через векторы этого набора. В общем, система векторов (1.1) может иметь несколько разных максимальных линейно независимых подсистем.

Теорема 1.6. Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы векторов (1.1) называется рангом последней. Системы векторов (1.1) и (1.2) называются эквивалентными, если векторы системы (1.1) линейно выражаются через систему векторов (1.2) и наоборот.

Теорема 1.7. Ранги эквивалентных систем векторов равны.

Операции, переводящие систему векторов (1.1) в систему, ей эквивалентную, следующие:

1)       изменение нумерации векторов в системе;

2)       удаление нулевого вектора;

3)       удаление вектора, являющегося линейной комбинацией остальных векторов системы;

4)       умножение произвольного вектора системы на любое, не равное нулю число;

5)       прибавление к одному из векторов системы линейной комбинации остальных векторов системы.

21. Евклидово пространство

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементовэтого пространства поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

В скалярном произведении вектор— первый, а вектор— второй сомножители. Скалярное произведениевекторана себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата.

Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.

1. В нулевом линейном пространстве скалярное произведение можно определить единственным способом, положив. Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.

2. В пространствах векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение:. Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространстваявляются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что. Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).

3. В пространстве скалярное произведение столбцовиможно задать формулой: