Электронные пучки
.pdfАлександров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
0 |
Источник |
|
|
|
+ электронов |
Конденсорная линза
А0 В0 Объект
Объектив
В1 |
А1 Промежуточное изображение |
Проекционная линза
А2 |
В2 Изображение |
Рис. 12.1
Ход лучей в электронном микроскопе
51
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
линзы могут быть сделаны весьма короткофокусными - возможностей здесь больше, чем в оптике световых лучей. В электронной микроскопии используют пучки электронов с энергиями порядка 100кэВ. Для фокусировки электронов таких энергий требуются большие разности потенциалов в малой области пространства – порядка фокусного расстояния, что может быть не просто с технической точки зрения. Поэтому в электронных микроскопах чаще используются магнитостатические линзы.
Выдающимся достоинством электронного микроскопа является его исключительно высокая разрешающая способность, определяемая, как минимальное расстояние между точками объекта, которые еще можно различить
δ = |
aλ |
2) |
. |
(12.1) |
|
sin(θ |
|
|
Здесь a ~ 12 , λ - длина волны, а θ2 - апертурный угол (Рис. 12.2). Чем меньше расстояние
δ , тем выше разрешающая способность. Причиной, ограничивающей разрешающую способность микроскопа, является дифракция волн.
o
Примем, что в случае оптического микроскопа λ = 5000 А . Если заменить sin(θ2) на единицу (у современных оптических микроскопов апертурный угол достигает почти π2 ), то
o
получим δ ≈ 2500 А, что и определяет предел разрешающей способности оптического мик-
роскопа. Длина волны де-Бройля электрона λ = hmv , где h - постоянная Планка. При энер-
o
гии электрона 100кэВ и выше λ < 5 10 − 2 А . Из-за значительных оптических ошибок (например, сферической аберрации) в электронных микроскопах используются пучки с очень небольшой апертурой θ2 ~ 10−2 рад. Поэтому для разрешающей способности элек-
o
тронного микроскопа по формуле (12.1) находим δ ≈ 2.5 А , что на три порядка выше разрешения лучшего оптического микроскопа.
52
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
θ
Рис. 12.2
Апертура линзы с диафрагмой
53
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
Глава III. Эмиссия электронов с поверхности проводников
§ 13. Электроны в проводниках
Основные методы получения электронных пучков основаны на испускании, или вырывании электронов с поверхности твердого тела с последующим их ускорением и фокусировкой внешним электромагнитным полем. Процесс испускания электронов называется электронной эмиссией. В данной главе будут рассмотрены наиболее важные механизмы электронной эмиссии с поверхности металлов, хотя в целом наше рассмотрение справедливо и при эмиссии электронов из других проводящих конденсированных сред. Предварительно сформулируем некоторые необходимые результаты теории электронного газа в металлах.
Высокая электропроводность металла указывает на то, что электроны в металле движутся относительно свободно. С другой стороны для выхода электрона из металла требуется затрата определенной энергии Aвых , называемой работой выхода. Если не вдаваться в несу-
щественные детали, то по отношению к электронам металл можно рассматривать как прямоугольную потенциальную яму со следующим пространственным распределением потенциальной энергии электрона:
0, |
в металле, |
(13.1) |
U (x, y, z) = |
, внеметалла, |
|
U0 |
|
причем при низких температурах должно быть
Aвых =U0 −εmax , (13.2)
где εmax - характерная максимальная кинетическая энергия электрона в металле (см. ниже).
Одна из причин возникновения работы выхода следующая. Электроны, совершая тепловое движение могут пресекать поверхность металла и уходить от нее на некоторое расстояние. Над поверхностью металла возникает электронная атмосфера, а в металле у самой поверхности остается избыток положительно заряженных ионов. В результате образуется двойной слой, действующий подобно конденсатору. Для преодоления тормозящего электроны поля двойного слоя требуется энергия. Вклад в работу выхода вносит и взаимодействие между электроном, покидающим металл, и его электростатическим изображением в металле.
Из квантовой механики известно, что в трехмерной потенциальной яме с размерами
Lx , Ly , Lz составляющие импульса электрона определяются формулами
px = |
2πhn |
x |
, py = |
2πhny |
, pz = |
2πhn |
z |
. |
(13.3) |
Lx |
|
Ly |
Lz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь nx , ny , nz - целые числа, характеризующие дискретные энергетические уровни электро-
на
54
|
|
|
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков |
|
|||
|
px2 |
+ py2 |
+ pz2 |
p2 |
|
|
|
εi = |
|
|
|
= |
i |
, |
(13.4) |
|
2m |
|
2m |
||||
|
|
|
|
|
|
где i - совокупность чисел nx , ny , nz . Являясь фермионами, электроны подчиняются стати-
стике Ферми-Дирака, согласно которой число частиц на каждом энергетическом уровне εi
равно
Ni = |
gi |
|
. |
(13.5) |
|
exp((εi − µ) κ T )+1 |
|||||
|
|
|
|||
Здесь gi - кратность вырождения уровня, |
κ - постоянная Больцмана, T - абсолютная темпе- |
ратура, а µ - химический потенциал. Для частиц со спином ½ имеем gi = 2 .
Поскольку плотность электронов в металле огромна, а на каждом энергетическом
уровне находится не более двух частиц, то числа nx , ny , nz принимают большие значения.
Это позволяет от дискретного распределения (13.5) перейти к непрерывному распределению.
Полагая в (13.3) ∆nx = ∆ny = ∆nz =1 , для минимального объема элемента фазового простран-
ства получим
a = ∆p |
∆p |
∆p V = (2πh)3 |
, |
(13.6) |
x |
y |
z |
|
|
где V = Lx Ly Lz - объем металла. В фазовом объеме (13.6) могут находиться не более двух электронов с противоположными направлениями спинов. Производя в (13.5) замену
ε |
|
→ ε( p |
2 |
) = |
p2 |
, g |
|
→ g |
|
dpx dpy dpzV |
= |
2 |
dp |
dp |
|
dp V , |
(13.7) |
||
|
|
2m |
|
|
a |
(2πh)3 |
|
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
x |
|
y |
z |
|
|||||
получим окончательно следующее распределение электронов в металле по импульсам: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn( p) = (2πh)3 |
exp(( p2 |
2m − µ) κ T )+1 |
dpxdpy dpz . |
|
|
|
(13.8) |
||||||||||||
Здесь dn( p) = dN( p) V - концентрация электронов металла с импульсами |
px , py , pz в объеме |
||||||||||||||||||
dpx dpy dpz пространства импульсов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Формула (13.8) |
позволяет определить неизвестный пока химический потенциал µ . |
Действительно, вычисляя интеграл по импульсам найдем концентрацию электронов в метал-
ле n0 , которая является известной величиной. С другой стороны в правой части (13.8) после интегрирования получиться некоторая функция φ(µ) . Из уравнения n0 = φ(µ) можно найти химический потенциал. Проделаем описанную процедуру для случая нулевой абсолютной температуры. При T = 0 распределение (13.8) принимает вид
|
2 |
|
p |
2 |
< 2mµ, |
|
|
dn( p) = f0 ( p)4πp2dp, f0 ( p) = |
1, |
|
(13.9) |
||||
(2πh)3 |
p2 > 2mµ. |
||||||
|
0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
55
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
При написании (13.9) была использована цилиндрическая система в пространстве импуль-
сов. Приводя в (13.9) интегрирование по p от нуля до 2mµ , получим следующие соотно-
шения:
p |
max |
= h(3π 2n )1 3 |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
≡ ε |
|
= |
p2 |
|
h2 |
(3π 2n )2 3 |
, |
(13.10) |
max |
F |
max = |
|
||||||||
|
|
|
2m |
|
2m |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ = µ0 = εF .
Величина εF , называемая энергией Ферми, определяет максимальную кинетическую энер-
гию электрона в металле при нулевой температуре. Эта же величина совпадает при нулевой температуре и с химическим потенциалом µ0 . Именно энергия εmax из (13.10) входит в фор-
мулу (13.2).
Электронный газ с распределением (13.9) называется вырожденным. Как видно из (13.8) условие вырождения сводится не просто к T = 0 , а записывается в виде неравенства µ0 >> κ T , или
κ T << |
h2 |
(3π 2n )2 3 . |
(13.11) |
|
2m |
0 |
|
|
|
|
Формулы (13.10) имеют место в нулевом приближении по малому параметру κTµ0 . Можно показать, что в следующем приближении по параметру κTµ0 химический потенциал дается выражением
µ = µ |
|
|
− |
π |
2 |
|
κ T |
2 |
|
(13.12) |
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||
|
0 |
|
|
12 |
|
µ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если выполнено неравенство противоположное (13.11), то распределение (13.8) переходит в классическое распределение Максвелла. Установим степень вырожденности электронного газа в металлах.
В качестве примера возьмем серебро. Подставляя в (13.10) n0 = 5,8 1022 см-3 для энер-
гии Ферми получим εF = 8,5 10−12 эрг = 5,3 эВ. Из равенства εF = κT находим, что энергии Ферми для серебра соответствует температура T = TF =61480 oK . Учитывая, что температура плавления серебра составляет 1235 oK , заключаем, что при всех разумных температурах, когда еще имеет смысл говорить о металле, как материале для эмиттера электронов, электронный газ в серебре является сильно вырожденным. Это имеет место и для других металлов, вплоть до самых тугоплавких. На Рис. 13.1 изображена функция распределения Ферми-
Дирака f (x) = [exp(α(x −1))+1]−1 , где x = εεF при α = 50 , что соответствует серебру при температуре плавления. Таким образом, рассматривая явления эмиссии электронов из метал56
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
1.5 |
f (x ) |
|
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
Рис. 13.1
Функция распределения электронов серебра при температуре плавления
57
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
лов, электронный газ в металлах можно считать вырожденным и пользоваться либо ступенчатым распределением (13.9), либо точным распределением (13.8) при выполнении сильного неравенства (13.11).
§ 14. Термоэлектронная эмиссия
При нулевой температуре энергия электронов не превосходит энергию Ферми и эмиссионный ток с поверхности твердого тела равен нулю. При повышении температуры увеличивается кинетическая энергия теплового движения электронов вблизи энергии Ферми. По-
являются электроны с энергией ε > εF + Aвых =U0 , которые могут преодолевать потенциаль-
ный барьер на поверхности металла и выходить наружу. Если в окружающем пространстве существует электрическое поле, направленное к поверхности, то оно будет увлекать вышедшие электроны, и возникнет электрический ток, называемый термоэлектронным. Само явление называется термоэлектронной эмиссией.
Для наблюдения термоэлектронной эмиссии можно использовать вакуумный диод с накаливаемым катодом и анодом. На анод подается напряжение V , предназначенное для отвода электронов с катода на анод. Если при постоянной температуре катода менять напряжение V , то термоэлектронный ток сначала будет возрастать, а затем достигнет предельного значения, называемого током насыщения. Величина тока насыщение определяется количеством электронов, которое может эмитировать катод в единицу времени. Если напряжение V настолько велико, что электрическое поле отводит от катода все эмитированные электроны, то дальнейшее увеличение V уже не может привести к увеличению термоэлектронного тока.
Для вычисление плотности тока насыщения js исходим из распределения Ферми-
Дирака (13.8). Используя неравенство (13.11) и полагая ε > εF , запишем (13.8) в виде
|
2 |
|
|
εF |
|
|
|
dn( p) = |
|
|
− |
||||
(2πh) |
3 |
exp |
|
exp |
|||
|
|
|
κT |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
px |
+ py |
+ pz |
dp |
dp |
y |
dp |
z |
. |
(14.1) |
|
|
|
|
||||||||
|
2mκT |
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направим координатную ось z из металла в вакуум перпендикулярно границе металла. В соответствии с (13.2) эмитированы катодом могут быть только те электроны, кинетическая энергия которых, обусловленная движением в направлении эмиссии, превосходит U0 , т.е.
pz > |
|
2m(εF + Aвых ) . |
|
|
|
(14.2) |
||||
Умножая (14.1) на pz m и осуществляя элементарное интегрирование по px и py |
от − ∞ до |
|||||||||
+ ∞ и по pz |
от величины (14.2) до + ∞ , для плотности тока насыщения получим выражение, |
|||||||||
|
|
em |
|
+∞ |
|
A |
|
|
||
js = |
|
3 (κT )2 |
∫exp(−x)dx = BT 2 |
(14.3) |
||||||
2π |
2 |
h |
exp − |
вых , |
||||||
|
|
|
Aвых κT |
|
κT |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
известное как формула Ричардсона – Дешмана. Величина B , входящая в (14.3), определяется
выражением |
|
|
||
B = |
emκ2 |
=120A(см град)−2 , |
(14.4) |
|
2π 2h3 |
||||
|
|
|
т.е. одинакова для всех металлов. Индивидуальные свойства эмиттера входят в выражение (14.3) только через работу выхода. Для металлов работа выхода составляет единицы элек-
трон-вольт. Например, для серебра Aвых = 3,7эВ.
Ток термоэлектронной эмиссии весьма не велик. Множитель перед экспонентой в формуле (14.3) при T =1000oK равен 1,2 108 A см−2 . Однако, поскольку Aвых >>κ T , экспоненциальный множитель в (14.3) очень мал: например, для серебра при температуре плавления имеем exp(− Aвых κ T )≈ 6 10−16 , т.е. js ≈10−7 A см−2 . Только применение тугоплавких катодов со специальными покрытиями позволяет достичь термоэлектронных токов с плотностями до нескольких ампер с квадратного сантиметра.
§ 15. Автоэлектронная эмиссия
Существенно большее значение для многочисленных приложений имеет автоэлектронная эмиссия. Она практически не зависит от температуры катода и имеет место даже при T = 0 . Поэтому автоэлектронную эмиссию называют также холодной эмиссией (другие используемые названия - туннельная эмиссия и полевая эмиссия). Автоэлектронная эмиссия состоит в вырывании электронов из металла под действием внешнего электрического поля. В основе явления лежит известный из квантовой механики эффект туннельного прохождения электрона через потенциальный барьер.
Пусть металл занимает область z < 0 , а при z > 0 имеется нормальное к поверхности z = 0 постоянное электрическое поле E , причем eE > 0 . Внутри металла электрическое поле, как известно, равно нулю. Потенциальная энергия электрона при наличии поля и с учетом потенциального барьера на границе металла имеет вид (Рис. 15.1)
0, |
|
z < 0, |
(15.1) |
U (z) = |
− eEz, |
z > 0. |
|
U0 |
|
Пренебрегая для простоты тепловым движением электронов, для диапазона изменения кине-
тической энергии электрона в металле имеем 0 < ε < εF <U0 . Внешнее электрическое поле,
как видно из формулы (15.1) и Рис. 15.1, приводит к тому, что ширина потенциального барьера, отделяющего электроны в металле от свободного пространства, становится конечной. Это и делает возможным туннелирование электронов из металла.
Прежде чем провести соответствующее квантовомеханическое рассмотрение заметим, 59
Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
U =U0
Aвых
U = εF
U = ε
z
z = 0 |
z = z(ε) |
Рис. 15.1
Потенциальная энергия электрона в металле при наличии внешнего электрического поля
60