3. Математическое обоснование

3.1.Математическая обработка эскиза

Целью математической обработки эскиза является определение прямоугольных координат узловых точек сетки и величин искажений. Необходимые для этого исходные данные получают с помощью построенного эскиза. Математический аппарат для обработки эскиза был разработан H. А. Урмаевым.

3.2.Вычисление прямоугольных координат

Сначала находят окончательные значения координат небольшого числа исходных узловых точек, а затем интерполированием и экстраполированием-координаты остальных узловых точек сетки.

Вычисления производятся в следующей последовательности:

вычисляют исправленные значения координат исходных узловых точек крайнего меридиана X= 180° (рис. 52); интерполируют и экстраполируют полученные величины для определения координат остальных узловых точек этого меридиана вычисляют координаты точек на основных промежуточных меридианах; интерполируют и экстраполируют полученные данные для определения координат остальных узловых точек сетки.

1-исходные узловые точки крайнего меридиана;

2-узловые точки промежуточных меридианов.

Рис. 2. Схема вычисления X и Y в поликонической проекции ЦНИИГАиК:

При вычислении исправленных значений координат исходных узловых точек меридиана X= 180° в качестве исходных узловых точек принимают точки равноразделенных осевого меридиана и экватора, координаты которых находят по чертежу. При симметричной относительно экватора сетке, равноразделенных параллелях и осевом меридиане координаты точек крайнего меридиана, отстоящего от осевого на 180°. При выборе числа исходных узловых точек на крайнем меридиане учитывают, что при небольшом числе таких точек окончательное очертание меридиана отклонится от эскизного. Но чем меньше точек взято за исходные, тем проще получить исправленные координаты остальных узловых точек, так как порядок степенного многочлена, которым могут быть представлены координаты точек этого меридиана, будет ниже. Удобно принять за исходные точки крайнего меридиана с широтами 0°, 20°, 40°, 60° и 80°. Тогда уравнение абсцисс симметричного относительно экватора меридиана, проходящего через пять заданных точек, можно выразить нечетным многочленом 7-й степени, а уравнение ординат — четным многочленом 8-й степени:

(1)

(2)

.

Полученные по эскизу приближенные значения абсцисс и ординат исходных точек исправляются по методу квадратических приближений. Применяя этот метод, стремятся снизить степени многочленов, которыми выражаются координаты, т. е. сгладить небольшую волнистость меридиана. Если поставить условие, чтобы абсциссы выражались многочленом 5-й степени, а ординаты — 6-й, тогда должны быть равны нулю шестые (для абсцисс) и седьмые (для ординат) разности.

Рассмотрим получение ординат исходных точек крайнего меридиана. Разность седьмого порядка:

(3)

где — значения ординат.

Приравнивая это выражение к нулю, получим единственное условное уравнение:

(4)

где коэффициенты

(5)

Если в это уравнение подставить измеренные значения ординат f=Уизм, то левая часть не обратится в нуль и тогда [af] =W. Поправки и. . . к измеренным значениям ординат находят под условием

min (6)

Следовательно, уравнения поправок, выраженные через коррелату k, будут:

(7)

Значение неопределенного множителя — коррелаты находят из

нормального уравнения

(8)

Таблица №1. Вычисление исправленных значений ординат

Ф, градус	f, мм=Yизм	а	af	aa	v=ak	av	У,мм=Уизм+v
0 20 40 60 80	266.5 256.2 228.2 187.9 136.1	+35 -56 +28 -8 +1	+9327.5 -14347.2 +6389.6 -1503.2 +136.1	1225 3136 784 64 1	-0.02 +0.03 +0.01 0 0	-0.70 -1.68 -0.42 0 0	266.48 256.23 228.18 187.90 136.10

Зная k, легко найти поправкиvи исправленные значения ординат (табл. 1).

Контроль:

(9)

Аналогично получают и исправленные значения абсцисс, причем приравнивается к нулю разность шестого порядка:

(10)

После уравнивания шестые разности для ординат и пятые — для абсцисс будут постоянными величинами, что свидетельствует о правильности уравнивания (табл. 2). При интерполировании экстраполировании для получения координат остальных точек крайнего меридиана полученные значения абсцисс и ординат точек крайнего меридиана принимают за окончательные, определяют координаты промежуточных точек крайнего меридиана, расположенных через 10° по широте. При этом удобно применять интерполяционные формулы Стерлинга. Находят новые начальные разности Ψ, соответствующие промежуткам по широте в 10°, по начальным разностямfсоответствующим промежуткам в 20°.

Для четной функции (ординаты) при доле интервала π= 10/20° = 0,5:

(11)

Для нечетной функции (абсциссы) при n=0,5:

(12)

Рассмотрим получение ординат точек крайнего меридиана через 10° по широте. Сначала находят начальные разности ординат соответствующие промежуткам в 20° по широте (табл. 2).

Таблица 2. Разности ординат точек крайнего меридиана через 20° по широте

Ф, градус	У, мм
0	266,480		-20,500		+5,410		-5,120
		-10,250		+2,705		-2,560
20	256,230		-17,795		+2,850		-5,120
		-28,045		+5,555		-7,680
40	228,185		-12,240		-4,830
		-40,285		+0,725
60	187,900		-11,515
		-51,800
80	136,100

Новые начальные разности:

По свойству четных функций:

Так как шестые разности постоянны, последовательным суммированием (табл. 3) от правых столбцов к левым получают разности пятого, четвертого, третьего и т. д. порядков и, наконец, искомые значения ординат. Значение ординаты Y90°находят экстраполированием (числа в скобках).

Таблица 3. Вычисление ординат точек крайнего меридиана через 10° по широте

Ф, градус	Y, мм
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90	266,48 263,87 256,23 244,09 228,18 209,29 187,90 163,89 133,09 (101,73)	-2,6098 -7,6403 -12,1437 -15,9019 -18,8968 -21,3903 -24,0043 -27,8007 (-34,3614)	-5,2195 -5,0305 -4,5034 -3,7582 -2,9949 -2,4935 -2,6140 -3,7964 (-6,5607)	+0,1890 +0,5271 +0,7452 +0,7633 +0,5014 -0,1205 -0,1824 (-2,7643)	+0,3781 +0,3381 +0,2181 +0,0181 -0,2619 -0,6219 -1,0619 (-1,5819)	-0,0400 -0,1200 -0,2000 -0,2800 -0,3600 -0,4400 (-0,5200)	-0.8800

Вычисление координат узловых точек на основных промежуточных меридианах выполняют следующим образом. Зная на каждой параллели прямоугольные координаты точек, лежащих на осевом (λ = 0) и крайнем (λ = 180°) меридианах, по формулам тригонометрии находят координаты точек на двух основных промежуточных меридианах (λ - 60°иλ - 120°).

Рис. 3. Схема определения Х и У точек основных промежуточных меридианов (λ - 60° и λ - 120°).

Так как параллели — равноразделенные дуги окружностей, легко получить полярные координаты основных узловых точек параллелей. Для точек меридианаλ= 180° (рис. 3) значенияможно найти по формулам:

(13)

(14)

Значение ρ для каждой параллели постоянно, δ для точек основных промежуточных меридианов можно получить как:

,

А прямоугольные координаты - по формулам:

(15)

При интерполировании и экстраполировании для получения координат всех остальных узловых точек необходимо вставить пять точек между четырьмя твердыми точками каждой параллели. Для этого также используют интерполяционные формулы Стерлинга для четных (абсциссы) и нечетных (ординаты) функций долготы при n= 10°/60° = 1/6. Для абсцисс:

(16)

Для ординат:

(17)