- •Заповеди для студента
- •ВАРИАНТ I
- •ВАРИАНТ II
- •ВАРИАНТ III
- •ВАРИАНТ IV
- •ВАРИАНТ V
- •ВАРИАНТ VI
- •ВАРИАНТ VII
- •ВАРИАНТ VIII
- •ВАРИАНТ IX
- •ВАРИАНТ X
- •ВАРИАНТ XI
- •ВАРИАНТ XII
- •ВАРИАНТ XIII
- •ВАРИАНТ XIV
- •ВАРИАНТ XV
- •ВАРИАНТ XVI
- •ВАРИАНТ XVII
- •ВАРИАНТ XVIII
- •ВАРИАНТ XIX
- •ВАРИАНТ XX
- •ВАРИАНТ XXI
- •ВАРИАНТ XXII
- •ВАРИАНТ XXIII
- •ВАРИАНТ XXIV
- •ВАРИАНТ XXV
- •ВАРИАНТ XXVI
- •ВАРИАНТ XXVII
- •ВАРИАНТ XXVIII
- •ВАРИАНТ XXIX
- •ВАРИАНТ XXX
ВАРИАНТ XVII
1. Найти предел последовательности:
q,2q2 ,3q3 ,..., nqn ,... , q <1.
9. Найти предел последовательности, которая составляется следующим образом: x1 = a, x2 = b,где a,b– любые числа. Далее:
x |
= |
x1 + x2 |
, x |
4 |
= |
x2 + x3 |
,..., x |
n+1 |
= |
xn−1 + xn |
,... |
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
3 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти область определения функции:
y= cos(x2 ) .
4.Найти следующие пределы:
1)lim |
ln(1+ x + x2 )+ ln(1− x + x2 ) |
; |
|
x sin x |
|||
x→0 |
|
x3
2)xlim→+∞ ex ;
3)lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an )− x].
x→+∞
5. Найти производные следующих функций:
1) y = − |
|
ln x |
− arcsin |
1 |
; |
|||
|
|
|
|
x |
||||
x2 −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
(2 + x2 ) |
|
|
x3 |
|
2) y = |
1− x2 |
+ |
arcsin x. |
||
9 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить её график:
y = |
sin x |
|
|
; |
|
|
π |
|
|
|
sin x + |
4 |
|
|
|
|
|
|
1. Через данную точку, лежащую внутри угла, провести прямую, отсекающую от сторон угла треугольник наименьшей площади
8. Найти производную n-го порядка от функции:
y = x21−1.
ВАРИАНТ XVIII
1.Известно, что некоторая числовая последовательность не имеет предела.
Будет ли эта последовательность ограниченной? Будет ли эта последовательность неограниченной?
2. Последовательность составляется следующим образом:
x1-любое число, |
………………….. |
|
x2 |
= sin x1, |
xn+1 = sin xn , |
x3 |
= sin x2 , |
..…………………. |
Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти этот предел.
3. Найти следующие пределы:
1) lim (sin 1+ x −sin x);
x→+∞
2)lim1− cos x2cos 2x ;
x→0 x
3) lim tgxtg 2x .
x→π4
4. Найти область определения функции:
y = 1− x − x − 13 .
5. Найти производные следующих функций:
1) y = ln |
1− |
|
1 |
− x2 |
|
− arcsin x; |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) y = − |
|
|
|
ln( |
|
|
cos x + |
|
). |
||||||
|
|
|
|
2 |
cos 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Груз Р должен быть сдвинут по горизонтальной плоскости силой, приложенной под углом ϕ к горизонтали. При каком ϕ сила F будет наименьшей? Коэффициент трения равен µ (трение пропорционально силе, прижимающей тело к плоскости).
7.Исследовать функцию и построить её график:
2
y= x3e−x .
8.Доказать, что если в некотором интервале (a,b) функция f(x) имеет производную f’(x)>=0 и эта производная, причём знак равенства имеет место лишь в конечном числе точек интервала (a,b), то функция f(x) в интервале возрастает.
ВАРИАНТ XIX
1.Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что
lim 1 = 0,
x→∞ n!
т.е., считая заданным ε>0, найти такое N, что при всех n>N будет выполняться неравенство:
1
n!<ε.
2.Составить пример последовательности, которая была бы ограничена и сверху и снизу, но не имела бы предела.
3.Найти область определения следующей элементарной функции:
y = arcsin |
x2 |
|
|
. |
|
x + |
1 |
||||
|
|
4. Найти следующие пределы:
1)lim |
tgx −sin x |
|
; |
|
|||
|
|
||||||
x→0 |
1 |
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2)lim |
|
|
− |
|
|
|
; |
|
sin2 |
|
|||||
x→0 |
x2 |
|
x |
x
3)lim .
x→0 x + sin x
5. Найти производные от следующих функций:
1) y = 41a3 {ln xx +− aa − 2arctg ax};
2) y = xxa + xax .
6. Исследовать функцию
y= x2 ln x
7.Завод А отстоит на а км от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В. Под каким углом к железной дороге следует привести шоссе от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была наиболее экономной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по шоссе р рублей, по железной дороге q рублей (p>q) и город В расположен на b км севернее завода А?
8.Построить пример функции непрерывной в точке, но не имеющей в этой точке производной.
ВАРИАНТ XX
1.Каким основным свойством множество всех действительных чисел отличается от множества всех рациональных чисел?
2.Найти предел последовательности, которая составляется
следующим образом: x1 = a, |
x2 = b,где a,b– любые |
числа. |
Далее: |
x |
= |
x1 + x2 |
, x |
4 |
= |
x2 + x3 |
,..., x |
n+1 |
= |
xn−1 + xn |
,... |
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
3 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти область определения функции:
y= lg(sin x + cos 2x −1).
4.Найти следующие пределы:
1)lim |
|
|
ln(1+ x) |
+ x2 |
; |
|
|
||||||
|
(1+ x)10 − |
1+ x2 |
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|||||||||
2)lim |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
; |
|
|
||
|
1 |
− x ln 1 |
x |
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)lim |
tgx −1+ cos3x |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
ex − e−x |
|
|
|
|
|
|
|||
5. Найти производные следующих функций: |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
ln 6 + cos x + |
|
|
|||||||
1) y = |
|
|
12(3 + cos x) |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
cos x |
|
2) y = 12 x2arctg(x2 ) − ln 41+ x4 .
6. Исследовать функцию и построить её график:
y= sin x + 13 sin 3x.
7.Доказать, что если все корни многочлена
a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an
с действительными коэффициентами действительны и различны, то все корни производной
na0 xn−1 + a1(n −1)xn−2 +... + an−1
также действительны и различны.
8. Найти производную n-го порядка от функции:
y = x21−1.