Chumakin

					∞	1
				∑						(7.2)
						n ln 2n
				n=2
	1
	Так как функция f (x)=			в промежутке					[2,+∞) удовлетворяет условиям
		x ln 2x
	интегрального признака Коши и					1	= f (n)		(n = 2,3,4,...), то исследование
					n ln 2n
									+∞	dx
	сходимости ряда (7.2) сводится к исследованию сходимости интеграла ∫										.
										x ln 2x
									2

	Но интеграл	+ ∞	dx	=		b d ln 2x		=
		∫			lim	∫
			x ln 2x				ln 2x
		2			b → +∞ 2

(7.2) расходится.

lim	ln		ln 2x		b	= +∞ , следовательно, ряд
b → +∞					2

Теперь найдем предел отношения соответствующих членов рядов (7.1) и

3n

3n2 ln 2n

1

(7.2): lim

:

=

lim

= 3

, значит, ряд (7.1) также

2

2

n ln 2n

−

n → ∞

n

− 2 ln 2n

n → ∞ n

2 ln 2n

расходится.

2.8. Указания к задаче 8

Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся рядом. Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают и n-ый член стремится к нулю при n → ∞ , то этот ряд сходится, а его сумма имеет знак первого члена и не превосходит этого члена по абсолютной величине (признак Лейбница).

Пример 8.1. Исследовать на сходимость ряд

∞

sin nα

∑

(8.1)

n

n=1

(ln 4)

sin nα

1

∞

1

Решение. Так как

≤

, а

ряд

∑

является сходящимся

(ln 4)n

(ln 4)n

n=1 (ln 4)n

геометрическим рядом со

знаменателем q

=

1

,

то ряд (8.1) сходится

ln 4

абсолютно.

Пример 8.2. Исследовать на сходимость ряд

∞

n

3

∑(−1)n

(8.2)

(n +1)!

n=1

Решение. Ряд из абсолютных величин членов ряда (8.2) сходится, так как

11

3

n

3

3

lim

(n + 1)

:

=

lim

(n + 1)

= 0 < 1.

(n

+ 2)!

(n + 1)!

n → ∞

n ← ∞ n3 (n + 2)

Следовательно, ряд (8.2) сходится абсолютно.

Пример 8.3. Исследовать на сходимость ряд

∞

(−1)n+1

1

∑

(8.3)

n=1

2n

Решение.

Члены

данного знакочередующегося

ряда

(8.3) по

абсолютной

величине монотонно убывают

1

1

1

>

и lim

= 0 ,

следовательно, ряд

2n

2(n +1)

2n

(8.3 ) сходится.

n → ∞

Ряд

∞

1

,

составленный

из

абсолютных

величин

членов

ряда (8.3),

∑

2n

n = 1

∞

получается из гармонического

ряда

1

в результате умножения всех его

∑

n = 1 n

членов на 12 . Гармонический ряд расходится, значит, указанный ряд также

расходится.

Таким образом, ряд (8.3) сходится условно (неабсолютно).

2.9. Указания к задаче 9 Остаток ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, также

удовлетворяет условиям этого признака. Поэтому сумма остатка такого ряда имеет знак первого члена остатка и не превосходит его по абсолютной величине. Отсюда следует, что если при вычислении суммы ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, мы ее приближенно заменяем частичной суммой, то допущенная ошибка имеет знак первого отброшенного члена и не превосходит его по абсолютной величине.

Пример 9.1 Вычислить сумму ряда

∞		(−1)n n			(9.1)
∑
				2
n = 1			3
	1+ n

с точностью α = 0,001.

Решение. Если в качестве суммы ряда (9.1) взять сумму первых n-1 членов, то

	ошибка по абсолютной величине не превосходит числа an =																					n			. Так как
																							3	2
																					1	+ n
					4				4						3				3
	a	4	=					=		< 0,001,	a	3	=					=		> 0,001, то с точностью до 0,001
					+ 4	3	2		4225						+ 3	3	2		784
				1										1

имеем

12

∞	(− 1)	n	n	3	(− 1)	n	n		1		2			3		14551
∑				≈ ∑				= −		+			−		= −		.
			2				2		4		81			784		63504
n=1	(1 + n3 )			n=1	(1 + n3 )

Однако при записи простых дробей в десятичной форме с определенным числом знаков после запятой мы допускаем ошибки. Следовательно, общая ошибка может оказаться больше требуемой точности. Поэтому с целью улучшения точности в качестве суммы ряда (9.1) возьмем сумму первых четырех членов с четырьмя знаками после запятой (округление отбрасыванием):

∞

(−1)n n

4

(−1)n n

1

2

3

4

∑

≈ ∑

= −

+

−

+

≈ −0,2500 + 0,0246 − 0,0038 +

2

2

4

81

784

4225

n = 1

3

n = 1

3

1+ n

1+ n

+ 0,0009 = −0,2283 ≈ −0,228.

Так как значение первого члена ряда точное и

a5 =

5

=

5

< 0,0004,

3

2

15876

1+ 5

то вся ошибка по абсолютной величине меньше, чем

0,0003+3 0,0001+0,0004=0,001.

Таким образом, с точностью α = 0,001

∞

(−1)

n

n

∑

≈ − 0,228.

2

n=1

(1+ n3 )

Отметим, что с целью уменьшения ошибки вычислений можно было округлять по правилам округления, а не отбрасыванием.

2.10. Указания к задаче 10

В задаче 10 следует доказать равенство вида lim an = 0.

n → ∞

∞

С этой целью можно рассматривать ряд ∑ a . Если этот ряд сходится, то

n = 1 n

lim an = 0.

Пример 10.1. Доказать справедливость равенства

				n lim→ ∞		n2 + 1				(10.1)
						(2n)!!
Доказательство. Рассмотрим ряд					n2 +1
				∞						(10.2)
				∑
					(2n)!!
		n2 +1		n = 1
с общим членом	an =			. Вычислим предел
		(2n)!!

13

2

(2n)!!

a

(n +1)

+1

n2

+ 2n + 2

lim

n

+1

=

lim

=

lim

= 0 < 1.

a

2

2

n → ∞

n → ∞

+1

n → ∞

n

+1

n

(2(n +1))!! n

2(n +1)

Следовательно,

по

признаку

Даламбера

ряд

(10.2) сходится, значит,

lim

an = 0 , т.е. имеет место равенство (10.1).

n → ∞

3.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

3.1. Указания к задаче 11

Пусть функции U n (x),

n N , определены в области D. Выражение

U1(x)+U 2

(x)+ ... +U n (x)+ ... =

∞

(x),

x D

(11.1)

∑ U n

называется функциональным рядом.

n = 1

∞

(x0 )

Если

для

x0 D

числовой

ряд

сходится, то

говорят, что

∑ U n

n = 1

функциональный ряд (11.1) сходится в точке x0 .

x E D , то

Если функциональный ряд (11.1) сходится в каждой точке

этот ряд называется сходящимся на множестве Е.

∞

Если на множестве E D сходится ряд

∑

U n (x)

, то ряд (11.1) называется

n=1

абсолютно сходящимся на множестве E .

Для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Если

	lim		U n +1(x)					= l(x)
	n → ∞		U n		(x)
	или
	lim		n U	n		(x)	= l(x),
	n → ∞

то для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует решить функциональное неравенство l(x)< 1, а для определения области расходимости

─ неравенствоl(x)> 1. Для выяснения сходимости ряда в точках, в которых l(x)= 1, требуется дополнительное исследование.

Пример 11.1. Найти область сходимости функционального ряда

			∞		x	2n	.	(11.2)
			∑
						2n +1
		n = 11+ x
Решение. Члены	U n (x)=	x	2n			ряда (11.2) не определены при		x = −1.
		1+ x	2n +1

Предположим x ≠ −1 и найдем предел

14

(x)

U

x

2 n + 1

x2n

x2 + x

2n + 3

l(x)

= lim

n

+ 1

= lim

:

= lim

=

U

+ 1

2n

+ 1

2n + 3

n → ∞

n

(x)

n → ∞

2 n + 1

1 + x

n → ∞

1 + x

1

+ x

x

2

при

x

< 1,

=

x = 1

x

> 1.

при

или

1

Следовательно, области абсолютной сходимости ряда (11.2) будут принадлежать значения x , удовлетворяющие системе

x < 1,x 2 < 1,

значит, −1 < x < 1, а при x = 1 или x > 1 требуется дополнительное исследование. Так как

1

при

x = 1,

(x)=

x 2

lim U

2

n

lim

=

n → ∞

n → ∞ 1

+ x 2n+1

1

при

x

> 1,

x

x

> 1

x = 1 ряд (11.2)

или

отличен от нуля, то при любом фиксированном

расходится.

Таким образом, ряд (11.2) абсолютно сходится в точках интервала (-1,1), а во всех остальных точках расходится.

Пример 11.2. Найти область сходимости функционального ряда

∞

n

x

n

∑

.

(11.3)

n +1

2x +1

n=1

Решение.

Члены U n

(x)=

n

x

n

1

ряда (11.3) определены для всех x ≠ −

. Так

n +

2x +1

2

как

1

lim

n U

(x) = lim

n

x

n

=

x

, то ряд (11.3) сходится абсолютно

n

n

n + 1

2x + 1

2x + 1

n → ∞

n → ∞

при

x

<1.

2x +1

Решениями последнего неравенства являются решения системы неравенств

x

< 1,

2x +1

x

2x +1 > −1.

Решая эту систему, получаем, что ряд (11.3) сходится абсолютно при x < −1 или

x > −

1

.

3

1

∞

n

При

x = −1 и

x = −

соответственно получаем числовые ряды

∑

и

3

n +1

n

n=1

∞

n

∑

(−1)

, которые расходятся.

n +1

n=1

15

	Итак, ряд (11.3) сходится при	x (− ∞,−1)			1		, притом абсолютно.
				−		,∞
					3
		U

Пример 11.3. Найти область сходимости функционального ряда

∞

∑	x			(11.4)
	n + x	2
n=1

Решение. Члены ряда (11.4) определены для всех x R. При x = 0 ряд (11.4)

сходится. Покажем, что при любом

x ≠ 0 он расходится. Действительно, ряд

∞

1

1

1

∑

расходится, так как

lim

:

= 1.

n + x

2

2

n =1

n→∞

n + x

n

Следовательно, данный ряд

∞

x

∞

1

∑

= x∑

n + x

2

n + x

2

n=1

n=1

также расходится при x ≠ 0 .

3.2. Указания к задаче 12

Задача 12 решается аналогично задаче 11.

Пример 12.1. Найти область сходимости функционального ряда

∞

3

2n

(12.1)

∑

x2n sin(x − nπ ) .

n=1

4 2n

Решение. Учитывая справедливость равенства

sin(x − nπ )= (−1)n sin x,

n N ,

общий член ряда (12.1) можно переписать в виде

U n (x)= (−1)n 32n

x2n sin x .

Так как

4

2n

(x)

U

(−1)

n +1

2 n +

1

(−1)

n

2n

3

3

n +1

2 n +1

2n sin x = 9x

2 ,

lim

= lim

4 2(n +1)

x

sin x :

4 2n

x

n → ∞

U n

(x)

n → ∞

то ряд (12.1)

абсолютно сходится при 9x2

< 1,

т.е.

при

x

<

1

.

При

x =

1

получаем знакочередующийся числовой ряд

3

3

1

∞ (−1)n +1

sin

∑

4 2n

,

(12.2)

3 n = 1

который, по теореме Лейбница, сходится. Но ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (12.2), расходится, значит, ряд (12.2) сходится условно.

		1			∞		n+1
	При x = −		получаем ряд	sin	1 ∑	(−1)		,		который также сходится условно.
		3				4 2n
					3 n=1
	Итак, ряд (12.1) сходится при							1		1						1		1
						x	−		,				, притом абсолютно при	x	−		,		.
								3		3						3		3

16

Пример 12.2. Найти область сходимости функционального ряда

∞

n

4 3 2

tg n 2x .

(12.3)

∑

Решение. Члены ряда (12.3)

n=1

n

U n (x)= 4 3n 2

tg n 2x

π

n

определены для

x ≠

(2k +1),

k Z . При этих значениях x имеем

4

lim

n U

n

(x)

=

lim

n 4 3n 2

tg n 2x =

lim

4

1n3

12

tg2x =

3 tg2x ,

n → ∞

n → ∞

n

n → ∞

1

2n

n

так как

lim

n

12n = 1

(см. решение примера 6.1). Следовательно,

ряд (12.3)

n → ∞

1 < tg2x < 1

сходится

абсолютно,

если

3 tg2x < 1

,

т.е.

−

,

значит,

π

+ π k < x <

π

+ π k,

π

π k, k Z ,

3

3

−

k Z .

При

x =

+

получаем

расходящийся

12

12

12

2

2

2

∞

1

π

+ π k,

числовой ряд

4∑

, а при

x = −

k Z ─ условно сходящийся ряд

1

4∑

(−11 )

.

n=1

n

2

12

2

∞

n

n=1

n 2

π

π

Таким

образом,

ряд

(12.3)

сходится

при

x

(6k −1),

(6k

+

1) , k Z

12

12

π

π

причем, при x

(6k −1),

(6k +

1) ,

k Z

, абсолютно.

12

12

Пример 12.3. Найти область сходимости функционального ряда

∞

n

−n4 arcsin

3

∑

(−1)

3

n2

x

.

(12.4)

x +

n=1

2

Решение. Все члены ряда (12.4)

(−1)n

3−n

4

3

U n (x)=

arcsin

(n =1,2,3...)

n2

x

определены при x [3,+∞).

x + 2

Для всех x ≠ 0

arcsin

3

~

3

при

n → ∞ ,

значит,

n2

x

n

2

x

17

(−1)n

3−

3n2

lim

n U

n

(x) =

lim

n

x

= lim

1

x + 2

3n

n → ∞

n → ∞

n → ∞

x

(x + 2)

1

2n

3

всех x [3,+∞).

Следовательно, областью сходимости ряда (12.4) является [3,+∞), притом сходимость всюду абсолютная.

3.3. Указания к задаче 13

= 0 < 1 при

промежуток

Задача 13 решается аналогично задачам 11 и 12.

Пример. 13.1. Найти область сходимости функционального ряда

∞

1

n

−

n2

∑

3

+

4

x .

(13.1)

n

n=1

2

1

n

−

n

Решение. Члены ряда (13.1) U n (x)= 3 +

4

x

определены при x ≠ 0 и

n

n

1 n

−

n2

1

−

n

0 при

x > 0,

lim

n U

(x) =

lim

4

x

=

lim

+

x

n

3 +

3

4

=

x < 0.

n → ∞

n → ∞

n

n → ∞

n

∞ при

Следовательно, ряд (13.1) абсолютно сходится для x (0,+∞).

3.4. Указания к задаче 14

Задача 14 решается аналогично задачам 11, 12 и 13.

Пример 14.1. Найти область сходимости функционального ряда

∑∞ (n + 1)5 x 2n .

(14.1)

n=1

2n + 1

(n + 1)5 x 2n

Решение. Так как общий член ряда (14.1)

U n (x)=

и

(x)

2n + 1

U

n +1

(n + 2)

5

x

2n + 2

5

x

2n

lim

= lim

:

(n +1)

= x2 ,

2n + 3

2n +1

n → ∞

U

n

(x)

n → ∞

то ряд (14.1) сходится абсолютно при x 2 < 1, т.е. в интервале (-1,1). При x = ±1

∞ (n + 1)5

имеем числовой ряд ∑ , который расходится, так как общий член этого

n=1 2n + 1

ряда не стремится к нулю при n → ∞ .

Таким образом, областью сходимости ряда (14.1) является интервал (-1,1), притом сходимость всюду абсолютная.

18

3.5. Указания к задаче 15

∞

Функциональный ряд ∑U n (x), сходящийся в области D, называется

n=1

равномерно сходящимся в этой области, если для любого ε > 0 найдется такое число N = N(ε ), не зависящее от х, что при всех n > N (ε )для всех x D имеет место неравенство

∞

Rn (x) = ∑U k (x) < ε .

k =n+1

Пример 15.1. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда

∑∞ (− 1)n	x n	(15.1)
n=1	3 n3 − 6

на отрезке [0,1]. При каких n абсолютная величина остатка ряда не превосходит 0,1 для всех x [0,1]?

Доказательство. При любом фиксированном x [0,1] ряд (15.1) является

знакочередующимся рядом, члены которого, начиная со второго, по абсолютной величине монотонно убывают и n-й член стремится к нулю при n → ∞ . Следовательно, этот ряд сходится, и сумма его остатка не превосходит первого члена этого остатка по абсолютной величине:

Rn (x)

∞

(− 1)k

x

k

x

n+1

(n = 2,3,4...),

= ∑

≤

k =n+1

3 k 3 − 6 3

(n + 1)3 − 6

значит, для всех x [0,1]

1

Rn (x)

≤

.

3

(n + 1)3 − 6

Взяв любое ε > 0 , потребуем, чтобы

1

< ε , отсюда n > 3

1 + 6 −1.

3 (n + 1)3 − 6

ε 3

Положив, таким образом, N

= 3

1

+ 6 − 1, мы убеждаемся, что при n > N ,

Rn (x)

ε 3

действительно,

< ε

для всех x из отрезка [0,1]. Тем самым равномерная

сходимость ряда (15.1) на отрезке [0,1] доказана.

Так как для любого x [0,1]

1

Rn (x)

≤

≤ 0,1

3 (n + 1)3

− 6

при

n ≥ 3

1

+ 6 − 1 ≈ 8,98

(0,1)3

19

и n является натуральным числом, то абсолютная величина остатка ряда (15.1) не превосходит 0,1 для всех x [0,1] при n=9,10,11…

3.6. Указания к задаче 16

∞

Если члены функционального ряда ∑U n (x) в области D не превосходят по

n=1

абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда

∞

∑ an с положительными членами, то этот функциональный ряд сходится в

n=1

области D равномерно и абсолютно (признак Вейерштрасса). При этом ряд

∞

∞

∑ an

называется мажорирующим для ряда ∑U n (x).

n=1

n=1

Пример 16.1. Доказать равномерную сходимость функционального ряда

∞

(x + 1)n

∑

(16.1)

n=1 (n + 1)ln 2 (n + 1)

на отрезке [-2,0].

x + 1

≤ 1 при x [− 2,0], то

Доказательство. Так как

(x + 1)n

≤

1

(n = 1,2,3,...).

(n + 1)ln 2 (n + 1)

(n + 1)ln 2 (n + 1)

Числовой ряд

∞

1

∑

(16.2)

(n

+ 1)ln 2 (n + 1)

n=1

с

положительными

членами

сходится.

Действительно,

функция

f (x)

=

1

в

промежутке

[1,+∞)

удовлетворяет

условиям

(x + 1)ln 2 (x + 1)

интегрального

признака

Коши

и

f (n) =

1

(n = 1,2,3,...), причем

(n + 1)ln 2 (n + 1)

несобственный интеграл

+∞

dx

∞

d ln(x +1)

1

∫

= ∫

=

сходится.

2

(x +1)

ln

2

(x

+1)

ln 2

1 (x +1)ln

1

Таким образом, ряд (16.2) является мажорирующим для ряда (16.1) на отрезке [-2,0], следовательно, ряд (16.1) сходится на этом отрезке равномерно и абсолютно.

3.7. Указания к задаче 17

∞

Если члены функционального ряда ∑U n (x) непрерывны на отрезке [a,b] и

n=1

ряд сходится на [a,b] равномерно, то интеграл от суммы ряда, взятый по отрезку [a,b], равен сумме ряда, полученного почленным интегрированием:

20