Chumakin

∫	∑U n (x) dx = ∑			∫U n (x)dx .
b	∞		∞	b
a n=1			n=1 a

В частности, сумма степенного ряда интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале сходимости, причем интеграл суммы ряда можно получить почленным интегрированием данного ряда. Кроме того, при почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 17.1. Найти сумму ряда

∞

x2n+2

n∑=0

.

(17.1)

(2n + 2)(2n + 3)

Решение. Интегрируя дважды почленно

в

пределах от

0

до

x

при

x

< 1

геометрический ряд

∞

x

∑ x 2n+1 =

,

1

− x 2

получаем:

n=0

2n+2

ln(1 − x 2 ),

∞

x

x

x

1

∑

=

∫

dx

= −

2n + 2

n=0

0 1 − x 2

2

∞

x

2n+3

1

x

∑

= −

∫ ln(1 − x 2 )dx.

(2n + 2)(2n +

3)

n=0

2

0

Последний интеграл возьмем по частям, полагая

U = ln(1 − x 2 ),

dU = −

2xdx

,

dV = dx,

V = x :

1 − x 2

x

2

2

x

x − x 2 dx

2

x

1

∫ ln(1− x

)dx

= (x ln(1− x

))

0

− 2∫

= x ln(1− x

)− 2∫

1−

dx

=

1− x

2

1− x

2

0

0

0

= x ln(1 − x

2

)−

1

1

+ x

x

= x ln(1 − x

2

)− 2x + ln

1

+ x

2 x

−

ln

0

,

2

1

1

− x

следовательно,

− x

∞

x 2n+3

1

x ln(1 − x 2 )

1 1 + x

n∑=0

= x −

−

ln

,

отсюда

при x ≠ 0 и

x

< 1

(2n + 2)(2n + 3)

2

2

1 − x

сумма ряда (17.1)

x2n+2

ln(1 − x2 )−

∞

1

1

1 + x

S(x) = n∑=0

= 1 −

ln

.

(2n + 2)(2n + 3)

2

2x

1 − x

Очевидно, что S(0) = 0 и

∞

1

∞

1

1

S(− 1) = S(1) = ∑

= ∑

−

=

2n + 2

n=0 (2n + 2)(2n + 3)

n=0

(2n + 3)

=

1

−

1

+

1

−

1

+

... +

1

−

1

+ ...

(17.2)

2n

2n + 1

2

3

4

5

Известно, что для всех значений x из промежутка [-1,1] имеет место равенство

21

ln(1 + x) = x −										x 2			+				x3			−		x 4			+ ... + (− 1)k −1									x k		+ ...,
																																		k
						2										3				4
в частности, при x=1
ln 2 = 1 −				1		+		1			−			1		+		1		− ... −						1		+			1		− ...,
													4																2n + 1
		2				3										5										2n
следовательно,
	1	−	1		+		1		−			1			+ ... +						1			−			1				+ ... = 1 − ln 2 .
2												5									2n						2n + 1
		3				4

Сравнивая (17.2) и (17.3), получаем

S(− 1) = S(1) = 1 − ln 2.

Таким образом, ряд (17.1) сходится на отрезке [-1,1] и его сумма равна

0 при x = 0,

S(x) = 1−

1

(1− x2 )−

1

ln

1+ x

при 0 <

x

< 1,

2

2x

1− x

1− ln 2 при

x

= 1,

а во всех остальных точках расходится.

Пример 17.2. Найти сумму ряда

ctg n x

∞

n∑=2

.

(n − 1)n

Решение. Рассмотрим сходящийся при

y

< 1геометрический ряд

∞

1

∑ y n−2 =

.

1 − y

n=2

Интегрируя дважды этот ряд в пределах от 0 до y при

y

< 1,

находим:

n−1

∞

y

dy

∑

y

= ∫

= − ln(1 − y),

1

− y

n=2 n −

0 1

∞

y

n

y

∑

= −∫ ln(1 − y)dy.

(n

− 1)n

n=2

0

Положим

U = ln(1

− y),

dU = −

dy

,

dV = dy,

V = y, тогда по

1

− y

интегрирования по частям получаем

y

ln(1 − y)dy = y ln(1 − y) −

y

− ydy

= y ln(1

− y) −

y

1

∫

∫

∫

1

−

dy =

1 − y

0

0

0

1 − y

= y ln(1 − y) − y − ln(1 − y)

= (y − 1)ln(1 − y)

− y,

следовательно, при

y

< 1

y

n

∞

(1 − y)ln(1 − y).

n∑=2

= y +

(n − 1)n

При y=1 имеем

(17.3)

(17.4)

формуле

22

∞

1

∞

1

1

∑

= ∑

−

,

(n − 1)n

n=2

n=2 n − 1

n

следовательно, частичная сумма

k

1

1

1

1

1

1

1

1

1

∑

−

=

1−

+

−

+

− ... +

−

=

1

−

→ 1

при k → ∞ ,

2

2

3

3

k −

1

k

k

n=2 n −1

n

значит,

∞

1

n∑=2

= 1.

Далее, при y=-1 находим:

(n − 1)n

∞

(− 1)n

∞

(− 1)

n

1

1

∑

= ∑

−

=

n=2 (n − 1)n

n=2

n − 1

n

= 1 −

1

−

1

+

1

+

1

−

1

−

1

+ ... +

1

−

1

−

1

+

1

+ ... =

2

2

4

4

2k − 1

2k

2k + 1

3 3

2k

1

1

1

1

1

= 1 +

2 −

+

−

+ ... −

+

−

... = 1 + 2(ln 2 − 1) = 2 ln 2 − 1

2

3

4

2k

2k + 1

(см. пример 17.1).

Таким образом,

y n

y + (1 − y)ln(1 − y)

при

y

< 1,

∞

∑

=

1

при

y = 1,

(17.5)

n=2 (n − 1)n

2 ln 2 − 1

при

y = −1.

Для данного ряда (17.4), полагая y = ctgx в соотношении (17.5), получаем

	∞	ctg n x	ctgx + (1− ctgx)ln(1− ctgx)
	∑		=	1
		(n −1)n
	n=2			2 ln 2 −1

при		ctgx		< 1,
при		ctgx = 1,
при	ctgx = −1

или

ctgx + (1 − ctgx)ln(1 − ctgx)

при π

3π

+ πk < x <

+ πk,

4

4

∞

ctg

n

x

π

∑

=

1

при

x =

+ πk,

(n − 1)n

4

n=2

3π

2 ln 2 − 1

при

x =

+ πk, k Z,

4

аво всех остальных точках ряд (17.4) расходится.

3.8.Указания к задаче 18

∞

Пусть члены функционального ряда ∑U n (x) определены на отрезке [a,b] и

n=1

имеют в нем непрерывные производные U n′ (x). Если на отрезке [a,b] не только

23

				∞		∞	(x), то
сходится				ряд ∑U n (x), но и равномерно сходится ряд		∑U n′
			′	n=1		n=1
∞		(x)		∞	(x). В частности, степенной ряд можно дифференцировать
∑U	n			= ∑U ′
				n
n=1				n=1

почленно внутри его интервала сходимости. Кроме того, при почленном дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 18.1. Найти сумму ряда

∑∞ (n2 + 9n + 5)x n+1 .

(18.1)

n=0

x

Решение. Возьмем сходящийся при

< 1 геометрический ряд

∞

x

∑ xn+1

=

(18.2)

1− x

и дифференцируем его дважды

n=0

1

∞

∑(n +1)xn

=

,

(18.3)

(1− x)

2

n=0

∑∞ (n2 + n)xn−1 =

2

.

(18.4)

(1

3

Ряд (18.1) представим в виде

n=1

− x)

∞

∞

∞

∞

∑(n2 + 9n + 5)xn+1

= x2 ∑(n2 + n)xn−1 + 8x∑

(n +1)xn − 3∑ xn+1 .

(18.5)

n=0

n=1

n=0

n=0

Из равенств (18.2)-(18.5) следует, что при

x

< 1

∑ (n 2

+ 9n + 5)x n+1 = 2x

2

3 +

8x

2 − 3x

= 5x − 3x3 .

∞

3

n=0

(1− x)

(1− x)

1− x

(1− x)

При

x = 1

и

x = −1 получаем

соответственно

ряды ∑∞ (n2

+ 9n + 5) и

n=0

∞

∑(−1)n+1 (n2 + 9n + 5)

, которые расходятся.

n=0

Таким образом, ряд (18.1) сходится лишь при

x

< 1 и его сумма равна

S(x) =

5x − 3x3

,

x (−1;1).

(1− x)3

3.9. Указания к задаче 19

Если функция

f (x)

допускает в некоторой окрестности точки a разложение

в степенной ряд по степеням x − a , то этот ряд имеет вид

f

(a)

2

f

(n)

(a)

n

f (x) = f (a)+ f

(a)(x − a)+

′′

(x − a)

+ ... +

(x − a) + ...

(19.1)

n!

2!

′

Ряд (19.1) называется рядом Тейлора. При a = 0

ряд Тейлора называется также

рядом Маклорена.

Равенство (19.1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора

Rn (x) = f (x)−

f ′′(a)

(x

− a)

2

+ ... +

f (n) (a)

(x − a)

n

f (a)+ f (a)(x − a)+

→ 0

′

2!

n!

24

при n → ∞ . Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой

Rn (x) =

f (n+1) (a + Θ(x − a))

(x − a)n+1 ,

0 < Θ < 1,

(n +1)!

называемой остаточным членом в форме Лагранжа.

Имеют место следующие равенства:

1)

ex = 1+

x

+

x2

+ ... +

xn

+ ...,

x (− ∞,+∞),

1!

2!

n!

x2n+1

2)

sin x = x −

x3

+

x5

− ... + (−1)n

+ ..., x (− ∞,+∞)

,

(2n +1)!

3!

5!

3)

cos x = 1−

x2

+

x4

− ... + (−1)n

x2n

+ ...,

x (− ∞,+∞) ,

(2n)!

2!

4!

4)

ln(1+ x) = x −

x 2

+

x 3

− ... + (−1) n − 1

x n

+ ...,

x (−1,1],

(19.2)

2

3

n

5)

(1+ x)α = 1+ αx +

α(α −1)

x2 + ... +

α(α −1)...(α − n +1)

xn

+ ...,

x (−1,1)

2!

n!

(при х=1 это равенство справедливо для α > −1,

а при х=-1 для α > 0 ), в

частности, при α = −1 получаем геометрический ряд со знаменателем –х:

1

= 1− x + x2

− ... + (−1)n xn + ...,

x (−1,1),

(19.3)

1+ x

1 3

1 3...(2n −1)

x2n+1

6)

arcsin x = x +

1

x3

+

x5

+ ... +

+ ...,

x [−1,1],

2

2 4

5

3

2 4...2n

2n +1

7)

arctgx = x −

x3

+

x5

− ... + (−1)n−1

x2n−1

+ ...,

x [−1,1].

2n −1

3

5

Пример 19.1. Разложить функцию ln 12−+ xx в ряд Тейлора по степеням х. Решение. Данную функцию представим в виде

		2 + x
	ln			= ln 2 + ln 1
		1	− x

		x		− ln(1+ (− x))
	+
		2

На основании равенства (19.2) при −1 <

x

≤ 1

, т.е. при − 2 < x ≤ 2 можем записать

2

xn

x

∞

(−1)

n−1

ln 1

+

= ∑

,

2

2

n

n

n=1

аналогично при −1 < −x ≤ 1, т.е. при −1 ≤ x < 1

n

∞

x

ln(1+ (− x)) = −∑

,

n

следовательно,

n=1

∞

(−1)n−1

xn

2 + x

, x [−1,1).

ln

1

− x

= ln 2 + ∑

2

n

+1

n

n=1

Пример 19.2. Разложить функцию

3

в ряд Тейлора по степеням х.

2 − x − x2

Решение. Данную дробь разложим на простейшие

3

=

1

+

1

.

2 − x − x2

2

+ x

1

− x

25

Пользуясь разложением (19.3), находим:

1

1

1

∞

n

xn

=

=

∑(−1)

,

x

< 2,

2 + x

2

x

2

n 1

1

+

n=0

+

2

∞

1

= ∑ xn ,

x

< 1,

1− x

следовательно,

n=0

(−1)n

3

∞

n

x (−1,1).

= ∑

+1 x

,

2

n 1

2 − x − x

2

+

n=0

3.10.Указания к задаче 20

При приближенном вычислении определенного интеграла часто, особенно в случае, когда соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции в конечном виде, бывает удобно представить его в виде суммы ряда. Для этого сначала подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд, а затем интегрируют почленно.

				0,1
	Пример 20.1. Вычислить интеграл ∫cos(100x2 )dx с точностью до 0,001.
	Решение. Полагая в разложении				0
	∞		n	t	2n
	cost = ∑	(−1)				, t (− ∞,+∞),
	n=0		(2n)!
	t = 100x2 получаем		(−1)n104n x4n
	cos(100x2 )= ∑∞						, x (− ∞,+∞),
				(2n)!
	n=0

следовательно,

0,1

∫cos(100x

0

∞ 0,1

n

10

4n

x

4n

∞

n

4n

x

4n+1

0,1

2 )dx = ∑ ∫

(−1)

dx = ∑

(−1) 10

=

(2n)!

(4n +1)(2n)!

n=0 0

n=0

0

∞(−1)n

=∑n=0 10(4n +1)(2n)! .

Последний ряд является знакочередующимся рядом, поэтому, если в качестве его суммы взять сумму первых n-1 членов, то ошибка по абсолютной величине не будет превосходить числа

an =

1

.

Так как

a1 =

1

> 0,001,

a2 =

1

< 0,001, то с точностью до

10(4n +1)(2n)!

100

2160

0,001 имеем

(−1)

0,1

1

n

∫cos(100x2 )dx ≈ ∑

= 0,1− 0,01 = 0,09.

10(4n +1)(2n)!

0

n=0

26

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

Теоретические вопросы 1. Тригонометрический ряд Фурье функции с периодом 2π .

2.Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

3.Ряд Фурье функции с любым периодом.

4.Ряд Фурье функции, заданной в конечном промежутке.

5.Ряд Фурье в комплексной форме.

6.Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций.

Теоретические упражнения.

1. Доказать, что если функция f (x) имеет период Т, то при любом

λ+T

T

T

∫2 f (x)dx .

действительном числе λ

∫

f (x)dx = ∫ f (x)dx =

λ

0

−T 2

2.

Доказать,

что

система

функций

1,cos π x,sin

π x,cos

2π

x,sin

2π

,..., cos

nπ

x,sin

nπ

x,... ортогональна на отрезке

l

l

l

l

l

l

[− l, l]

3.

Доказать, что системы функций

a)

1,cos x,cos 2x,cos nx,...;

б)sin x,sin 2x,..., sin nx,...

].

ортогональны на отрезке [0,π

Расчетные задания.

Задача 21. Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:

21.1.

f (x) =

2

при

− π < x ≤ 0,

1 − x при 0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.2.

f (x) =

2x2 + 1

при − π < x < 0,

0 ≤ x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

− 1

при

21.3. f (x) =

1

x 2

при 3 < x ≤ 5 ( f (x + 2)) = f (x) ;

3

при - 2 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

21.4. f (x) =

1 − x

21.5.

f (x) =

x(π − x) при 0 < x ≤ π ( f (x + π ) = f (x));

21.6. f (x) = e x

при − 2 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

− x

при − π < x ≤ 0,

21.7.

f (x) =

2

x

при

0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

π

21.8.

f (x) =

x

при

− π < x < 0,

при

0 ≤ x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

π

27

21.9.

ax

при

− π < x ≤ 0,

f (x) =

при

0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

bx

21.10.

f (x) = x 2 при 0 < x ≤ 2π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.11.

f (x) = e x

− 1 при 0 < x ≤ 2π

( f (x + 2π ) = f (x));

21.12.

f (x) = e x

при − l < x ≤ l ( f (x + 2l) = f (x));

( f (x + 2π ) = f (x));

21.13.

f (x) = cos ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π

21.14.

f (x) = sin ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π

( f (x + 2π ) = f (x));

21.15.

f (x) =

1

при

0 < x ≤ 2,

при

2 < x ≤ 4 ( f (x + 4) = f (x));

x

2 − x

при

− 2 < x ≤ 0,

21.16. f (x) =

x

0 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

0

при

21.17.

f (x) =

sin x

;

− 1< x ≤ 0,

21.18.

f (x) =

1

при

при

0 < x ≤ 1 ( f (x + 2) = f (x));

x

x

при

0 < x ≤ π ,

21.19.

f (x) =

π

( f (x + 2π ) = f (x));

при

π < x ≤ 2π

− 1

21.20. f (x) = (2 − x)2

при 0 < x ≤ 2

( f (x + 2) = f (x));

21.21. f (x) = e3−x

при − 3 < x ≤ 3 ( f (x + 6) = f (x));

21.22.

f (x) =

l

− x

при

− l < x ≤ 0,

при

0 < x < l ( f (x + 2l) = f (x));

l

21.23.

f (x) =

a

при

− π < x ≤ 0,

при

0 < x < π ( f (x + 2π ) = f (x));

b

21.24. f (x) =

cos x

;

21.25.

f (x) =

ax − b

при

− l < x < 0,

при

0 ≤ x ≤ l

( f (x + 2l) = f (x));

ax + b

π

при

− π < x ≤ 0,

21.26.

f (x) =

2

π

( f (x + 2π ) = f (x));

−

при

0 < x ≤ π

x

2

( f (x + 2l) = f (x));

21.27.

f (x) = a | x | +b при − l < x ≤ l

21.28.

(x − 1) 2

при

− 1 < x ≤ 0,

f (x) =

при

0 < x < 1 ( f (x + 2) = f (x));

0

21.29. f (x) = x(4 − x) при 0 < x ≤ 4

( f (x + 4) = f (x));

28

	21.30.	f (x) =		0	при		− π < x ≤ 0,
					+ x 2			0 < x < π ( f (x + 2π ) = f (x)).
				2			при
			π		x	Задача 22. Разложить в ряд Фурье функции:
	22.1.	f (x) =		−		в интервале (0,π ) по косинусам;
					2
			4
					при		0 < x ≤		π	,
			x						2
	22.2.	f (x) =					π			в интервале (0,π ) по синусам;

<x < π

22.3.f (x) =| x | в интервале (− 1,1)

22.4.f (x) = x 2 в интервале (0,π ) по синусам;

22.5.f (x) = 2x в интервале (0,1);

22.6.f (x) = 10 − x в интервале (5,15);

22.7.f (x) = 1 − x в интервале (0,1) по синусам;

22.8.f (x) = cos 2x в интервале (0,π ) по синусам;0 при 2

x

при 0 < x

≤ 2h,

22.9.

1 −

в интервале

(0,π ) по косинусам;

2h

f (x) =

при

2h < x < π

0

22.10.

x

при 0 < x ≤ 1,

в интервале (0,2) по синусам;

f (x) =

− x

при 1 < x < 2

2

22.11. f (x) = x 2 + 1 в интервале (− 2,2);

22.12.

1

при

0 < x ≤ 2h,

в интервале (0,

π ) по косинусам;

f (x) =

при

2h < x < π

0

l

x

при 0 < x ≤

,

в интервале (0, l) по косинусам;

22.13.

2

f (x) =

l

l − x

при

< x < l

2

l

x

при 0 < x ≤

,

в интервале (0, l) по синусам;

22.14.

2

f (x) =

l

l − x

при

< x < l

2

22.15.

f (x) = x 2 в интервале (− 1,1);

22.16.

f (x) = sin ax ( a - целое число) в интервале (0,π ) по косинусам;

22.17.

1

при

1 < x < 2,

f (x) =

− x

при 2 ≤ x < 3;

2

22.18.

f (x) = 2x − 2 в интервале (0,π ) по косинусам;

22.19.

f (x) = 2 + x 2 в интервале (0,π ) по синусам;

29

22.20.

22.21.

22.22.

22.23.

22.24.

22.25.

22.26.

22.27.

22.28.

22.29.

22.30.

x

при

0 < x < π ,

в интервале (0,2π ) по косинусам;

f (x) = π

при

π ≤ x < 2π ;

− 1

1

1

- x при

0 < x <

,

2

2

f (x) =

1

в интервале (0,1) по косинусам;

< x < 1;

0

при

2

(0,π ) по синусам;

f (x) = cos ax ( a - целое число) в интервале

f (x) = ex

в интервале (0,π ) по косинусам;

f (x) = x в интервале (0,π ) по косинусам;

f (x) = ex

в интервале (0,1) по синусам;

f (x) = x3

в интервале (− π ,π );

f (x) = e x

− 1 в интервале (0,2π );

f (x) =| x |

в интервале (−l, l) ;

x

при

0 < x ≤ 1,

3

f (x) =

3

в интервале

0,

по косинусам;

0

при

1 < x <

;

2

2

f (x) = x 2 в интервале(− π ,π ).

4.1. Указания к задаче 21

Тригонометрическая	система функций
1, cos x, sin x, cos 2x,	sin 2x,..., cos nx, sin nx,...	является ортогональной на

любом отрезке длины 2π , в частности, на отрезке [−π ,π ] , т.е. интеграл по

всякому отрезку длины 2π от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю.

π

Если ∫ f (x)dx существует и конечен, то существуют числа

−π
		1			π
an =					∫ f (x) cos nxdx (n = 0,1,2,...) ,		(21.1)
	π				−π
	1			π
bn =					∫ f (x) sin xdx (n = 0,1,2,...) ,		(21.2)
π			−π
называемые коэффициентами Фурье функции f (x) . Ряд
S(x) =				a0		+ ∑∞ (an cos nx + bn sin nx) ,	(21.3)
				2		n=1	f (x) , называется
где an и bn - коэффициенты Фурье (21.1) и (21.2) функции
рядом Фурье функции f (x) .

30