Задача 2.1
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья | |||
А |
Б |
В |
Г | ||
I |
1 |
2 |
1 |
0 |
18 |
II |
1 |
1 |
2 |
1 |
30 |
III |
1 |
3 |
3 |
2 |
40 |
Цена изделия |
12 |
7 |
18 |
10 |
|
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
Обозначим через Х1, Х2, Х3, Х4 объемы производства соответствующего вида продукции (количество продукции А,Б,В,Г). Получим: Х1 – объем производства продукции А, Х2 – объем производства продукции Б, Х3 – объем производства продукции В,
Х4 – объем производства продукции Г.
1). Экономико – математическая модель задачи «максимум выручки от реализации готовой продукции» имеет вид:
F=
Далее решаем задачу с помощью надстройки Excel «поиск решений».
Создаем таблицу и вводим в нее исходные данные задачи. Затем вводим зависимость для целевой функции:
Рис. 2
Далее вводим зависимости для ограничений, копируя формулу из целевой ячейки F4 в ячейки F7. F8. F9.
В развернутом меню команда «поиск решения» устанавливаем целевую ячейку, вводим данные по направлению целевой функции, заполняем строку «изменяя ячейки» и вводим ограничения:
Рис. 3
Ввести параметры для решения ЗЛП:
рис. 4
Сохраняем найденное решение:
Рис. 5
Получили оптимальный план выпуска продукции:
Рис.6
Оптимальный план: Х1=18, Х2=0, Х3=0, Х4=11.
Решение задачи найдем в поиске решений.
Экономический смысл задачи: продукция Б и В не рентабельна (Х2=0, Х3=0). Продукцию видов А и Г выгодно производить в количествах соответственно равных 18 и 11. При таком плане производства продукции выручка от реализации готовой продукции будет максимальна и составит 326 ден.ед.
2). Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Составим двойственную задачу:
y1 – цена за единицу сырья 1 типа,
y2 – цена за единицу сырья 2 типа,
y3 – цена за единицу сырья 3 типа.
Z=18y1+30y2+40y3
Создадимотчет по устойчивости и по нему найдем решение двойственной задачи.
Рис. 7
В столбце «теневая цена» мы видим:
y1=7 – цена на 1 единицу I типа сырья;
y2=0 – цена на 1 единицу II типа сырья;
y3=5 – цена на 1 единицу III типа сырья.
Zmin= 326 – минимальные общие затраты на ресурсы.
Fmax=Zmin.
Экономический смысл: предприятию безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану Х и продавать ее с максимальной прибылью Fmax или продавать ресурсы по оптимальным ценам У, возмещая от продажи общие минимальные затраты на них Zmin равные Fmax.
3) Нулевые значения переменных в оптимальном плане:
, , означает, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.
4) а) По отчету на основании теоремы 2 «Вторая теорема двойственности», т.к. y2=0 (сравнивая значения в столбцах «результат значение» и «ограничение правая часть») делаем выводы, что ресурсIIнедефицитный, используется не полностью (29<30, поэтому имеет нулевую двойственную оценку). Этот ресурс в меньшей степени влияет на план выпуска продукции.
Ресурсы IиII– дефицитны, т.к.y1= 7>0,y3=5>0.
б) В отчете обратим внимание на столбец «допустимые увеличения». Заданные изменения запасов ресурсов допускаются интервалами устойчивости. Поэтому можно воспользоваться 3-й теоремой двойственности: «Численные значения двойственной задачи показывают, как изменится прибыль при изменении запаса соответственно у ресурса на 1 единицу»: ∆F = yi *∆bi.
Ограничение по I виду сырья будет 18+4=22
Ограничение по II виду сырья будет 30+3=33
Ограничение по III виду сырья будет 40-3=37
∆ Fmax =∆ FI+∆ FII+∆ FIII= y1*∆b1+y2*∆b2+y3*∆b3=7*4+0*3-5*3=28-15=13
В нашей задаче значение целевой функции увеличивается на 13 ден.ед, план выпуска: x1=22; x2=0; x3=0; x4=7,5. ∆ Fmax=339.
Получаем новый план выпуска продукции:
Рис. 8
Новый отчет по устойчивости:
Рис. 9
Мы видим, что теневая цена не изменилась. Ресурсы I и III по-прежнему остаются дефицитными, причем ресурс I является более дефицитным, чем ресурс III, т.к. .y1>y3. Прибыль от выпуска готовой продукции изменится (выручка от реализации готовой продукции А увеличится на 48 ден. ед., а по продукции Г уменьшится на 35 ден. ед.). А ресурс II все также остается недефицитным, т.к. ∆ F=0*∆b2=0, то при изменении запасов этого ресурса прибыль не меняется.
в) Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
αj - нормированные затраты ресурсов на производство единицы новой продукции Д;
с – ожидаемая прибыль.
∆j=∑αij * yi - cj = α1j* y1 + α2j * y2 + α3j * y3- cj
∆д=2*7+2*0+2*5-10=14+10-10=14>0
Затраты на производство готовой продукции Д превышают ее стоимость, значит производство этой продукции не выгодно.
Вывод: Предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную прибыль, либо продать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.