4. Основные методы интегрирования.

Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.

1. Метод интегрирования по формулам.

Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом f(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.

Приведем несколько примеров.

1. (3cos x + 4x³ – e^x )dx = 3cos x dx + 4x³ dx - e^x dx = 3sin x + x⁴ - e^x +C

2. 

3.

=

Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства

F(x) = f(x).

2. Метод замены переменных.

В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования

x = (t) позволяет свести неопределенный интеграл

f(x)dx (1)

к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:

1. Введем новую переменную x = (t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:

t = ψ(x)

2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:

f (x)=

dx = (t)dt

( 2 )

3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = (t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:

( 3 )

4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:

F(t) + C = F(ψ(x)) + C ( 4 )

Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F(ψ(x)):

F(ψ(x)) = f(x).

3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.

В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки.

Найти неопределенный интеграл