Метод “падающей иголки”

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги[1]. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы.

Метод падающей иголки

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что

Угол падения иглы

На рис. 12 изобразим графически функцию y=0,5 cosx . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (x; у ), расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:

Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c. Отсюда = 2 l с / a k.

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.

Все результаты вычисления числа Пи мы свели в итоговую таблицу, которая позволила нам сравнить точность вычисления числа различными методами:

Выводы:

1. В ходе работы была изучена история возникновения числа пи, число пи в культуре человека и в окружающем мире.

2. Для вычисления числа Пи были использованы четыре основных метода приближения. Наиболее точные результаты показал метод Монте-Карло.

3. В дальнейшем можно ознакомиться с другими иррациональными и трансцендентными числами: e и j.

Pаключение

Из курса школьной математики мы знаем, что число Пи (греческая буква π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число Пи иррационально и бесконечно. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом π. В школе на геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим числом, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет перед нами, как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа π и поисков алгоритмов для этого процесса.

Изучение числа π еще далеко незавершенный этап. И человечество ждёт многие научные открытия, связанные с этим числом.

Данная работа имеет практическую значимость как пособие для учителя и ученика, которое позволяет всесторонне изучить число Пи, а также познакомиться с его тайнами и значением в жизни человека.