Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ
..pdfДомашнее задание 3
1. Составить формулу n-ого члена последовательности, найти 100-ый член:
а) |
1 |
, |
2 |
, |
3 |
,...; б) sin π, sin 2π, sin 3π, ,.... |
2 |
3 |
4 |
2.Найти первые пять членов последовательностиx1 = 2, xn+1 = 2xò .
3.Используя определение предела последовательности, докажите, что
lim |
2n −1 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3n +1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Вычислите пределы последовательностей: а) |
lim |
|
3n −1 |
; |
||||||||||||||
|
|
5n + 2 |
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|||||||||||||||||
б) lim |
|
n2 |
−1 |
; в) |
lim( |
n |
|
− |
n |
) ; г) |
lim( n3 |
+ 4 |
− |
n3 ) . |
|
||||
7n2 |
+ 3n − 2 |
n −1 |
n2 −1 |
|
|||||||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
4. Предел и непрерывность функции
|
Число А называется пределом функции |
y = f (x) |
|
при х, стремящемся к |
|||||||||||||||||||||||
бесконечности |
lim f (x) = A, если |
для |
любого |
|
сколь |
угодно |
малого |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
положительного числа ε существует такое положительное число C =C(ε) , что |
|||||||||||||||||||||||||||
для всех х, таких, что |
|
x |
|
>C , выполняется неравенство |
|
f (x) − A |
|
<ε . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Пусть функция |
y = f (x) |
определена на некотором интервале (a, b) , кроме, |
||||||||||||||||||||||||
может быть, точки x0 (a, b) . Число А называется пределом функции y = f (x) |
в |
||||||||||||||||||||||||||
точке x0 , |
если для любого сколь угодно малого положительного числа |
ε |
|||||||||||||||||||||||||
существует |
такое положительное |
число δ =δ(ε) , |
что для |
всех |
x из (a, b) , |
||||||||||||||||||||||
удовлетворяющих |
неравенству |
|
|
x − x0 |
|
|
<δ, x ≠ x0 , |
выполняется |
неравенство |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) − A |
|
<ε . Записывают lim f (x) = A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x0 , оставаясь |
|
|
|
|
x0 , что |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Переменная |
может |
стремиться |
к |
меньше |
записывают x → x0 − 0 , или оставаясь больше x0 , что записывают x → x0 + 0 .
21
Предел |
lim f (x) = A1 |
называется пределом функции |
y = f (x) |
в точке x0 |
|
|
x→x0 |
−0 |
|
|
|
слева, а предел |
lim f (x) = A2 называется пределом функции y = f (x) |
в точке x0 |
|||
|
|
x→x0 +0 |
|
|
|
справа. |
|
|
|
|
|
Пределы функции в точке справа и слева называют односторонними |
|||||
пределами. |
Связь между |
пределом функции в точке |
и односторонними |
пределами устанавливается следующей теоремой: Функция y = f (x) имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и они равны. В этом случае их общее значение
и является пределом функции в точке x0 |
lim |
f (x) = lim |
f (x) = lim |
f (x) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
Свойства пределов функций |
|
|
||||||
Все функции, рассматриваемые ниже, определены на некотором интервале |
||||||||||||
(a, b) , кроме, может быть, фиксированной точки x0 (a, b) . |
|
|
||||||||||
1.Если f (x) = c (с- постоянная), то lim f (x) = c ; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
2. Если существует lim f (x), то limcf (x) = c lim f (x) , где c = const ; |
||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
||
3. Если существуют lim f (x) и lim g(x) , то: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim(f (x) ± g(x))= lim f (x) ± lim g(x) , |
|
|
|
|||||||||
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
lim (f (x)g(x))= lim f (x) lim g(x) , |
|
|
|
|||||||||
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|||
lim f (x)g ( x) |
|
|
|
lim g ( x) |
. |
|
|
|
|
|
||
= lim f (x) x→x0 |
|
|
|
|
|
|||||||
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) |
|
lim f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
= |
x→x0 |
|
, если lim g(x) ≠ 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→x0 |
g(x) |
lim g(x) |
x→x0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малые и бесконечно большие функции |
||||||||||||
Функцияα =α(x) называется |
бесконечно |
малой |
функцией |
при x → x0 |
||||||||
( x →∞) или просто бесконечно малой, если limα(x) = 0. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
Функция y = f (x) |
называется бесконечно большой |
при |
x → x0 , если |
|||||||||
lim f (x) = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Если функция α =α(x) является бесконечно малой при x → x0 , то функция
f (x) = |
1 |
является бесконечно большой при x → x0 . И наоборот: если |
|
α(x) |
|||
|
|
функция y = f (x) является бесконечно большой при x → x0 , то функция
α(x) = f 1(x) является бесконечно малой при x → x0 .
Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций:
1)Сумма конечного числа бесконечно малых функций - бесконечно малая функция.
2)Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) - бесконечно малая функция.
3)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, - бесконечно малая функция.
4)Произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, - бесконечно большая функция.
5)Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции - бесконечно большая функция.
6)Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный предел,- бесконечно большая функция.
Если lim |
α(x) =1, то α(x) и β(x) |
называют эквивалентными бесконечно |
||||||
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
малыми функциями. Записываютα(x) β(x) . |
|
|
||||||
|
|
|
Замечательные пределы |
|
|
|||
Первый замечательный предел lim sin x =1. |
|
|
||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствия: 1) lim tg x |
=1; 2) lim arcsin x |
=1; 3) lim arctgx x |
=1. |
|||||
|
x→0 |
x |
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
Второй замечательный предел lim 1 + |
|
= e . |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
23
Следствия: 1) lim(1 + x)x |
= e ; 2) lim ln(1 + x) =1. |
|||
|
1 |
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|||
Пусть α(x) - бесконечно |
малая функция при x → x0 . Пользуясь |
определением эквивалентных бесконечно малых функций, замечательными пределами и следствиями можно получить следующую таблицу эквивалентных функций:
sinα(x) α(x) ; tgα(x) α(x) ; arcsinα(x) α(x) ; arctgα(x) α(x) ; ln(1 +α(x)) α(x) ; ( eα ( x) −1) α(x) .
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить на эквивалентные им.
|
|
Непрерывность функции |
|
|
||||
Пусть |
функция |
y = f (x) |
определена |
в |
точке |
x = x0 |
и некоторой |
|
окрестности этой точки. Функция |
y = f (x) называется непрерывной в точке |
|||||||
x = x0 если |
предел |
функции и |
ее |
значение |
в этой |
точке |
равны, т.е. |
|
lim f (x) = f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
чтобы функция |
была |
непрерывной в |
точке x = x0 , |
необходимо выполнение следующих условий: 1) функция должна быть
определена в |
точке |
x0 ; 2) существуют конечные односторонние пределы |
||||||
функции в точке |
x0 ; 3) значения односторонних пределов функции в точке x0 |
|||||||
совпадают lim f (x) = lim f (x) = A; 4) выполняется равенство |
f (x0 ) = A . |
|
||||||
x←x0 |
−0 |
|
x→x0 +0 |
|
|
|
||
Теорема. |
Пусть |
функции |
f (x) и g(x) непрерывны в |
точке x0 . |
Тогда |
|||
функции f (x) ± g(x); f (x) g(x); |
f (x) |
также непрерывны в этой точке (частное |
||||||
g(x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
при условии g(x) ≠ 0 ). |
|
|
|
|||||
Если в точке |
x0 |
нарушено хотя бы одно условие непрерывности, |
то x0 |
|||||
называется точкой разрыва функции. |
|
|
24
Классификация точек разрыва
1) Если существует lim f (x) = A , но он не равен значению функции в точке |
|
x→x0 |
|
x0 , т.е. f (x) ≠ A , то x0 называется точкой устранимого разрыва. |
|
2) Если существуют конечные односторонние пределы функции в точке x0 , |
|
но они не равны между собой, т.е. lim |
f (x) ≠ lim f (x) , то x0 называется точкой |
x←x0 −0 |
x→x0 +0 |
неустранимого конечного разрыва.
В первом и втором случае точка x0 называется точкой разрыва 1-ого рода. 3) Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не
существует или равен ∞, то x0 называется точкой разрыва 2-ого рода.
Упражнения 4
|
4.1. Найти пределы функции в точке: 1) |
lim |
x2 + 2x +3 |
; 2) lim |
x3 |
|
−1 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x −1 |
|
|
|
||||||||||||
3) |
lim |
x |
4 −1 |
; 4) |
lim |
x2 |
−6x +8 |
|
; 5) lim |
|
x4 + 2x2 |
|
−3 |
|
; 6) |
|
lim |
x3 |
+ 2x2 − 4õ − |
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
−5x + 4 |
|
x2 −3x + 2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
4x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
2 − |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
x→4 |
|
x→1 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
x −1 −1 |
|
|
|
|
3 |
1 + x −1 |
; 9) lim |
x |
|
|
|
|
; 10) lim |
|
|
2 + x − 3x − 2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 2 |
; 8) lim |
x |
|
+ x2 −1 |
|
|
4x +1 − |
5x −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 1+ x |
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
9 + 2x −5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11) x→8 |
3 |
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4.2. Найти пределы функции на бесконечности: 1) lim |
x2 |
− 2x +3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x3 + 7x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
lim |
2x4 − x +3 |
; 3) lim |
2x4 −3x3 +5 |
; 4) lim( |
|
3x4 |
|
−3x2 ) ; 5) lim( |
|
|
|
4x4 |
|
|
|
− 4x2 ) |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ x3 −8x +5 |
|
|
x→∞ |
3x4 −5x2 +1 |
x→∞ x2 + |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
x2 |
+ x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6) |
lim ( |
x −3 − |
|
x + 2) ; 7) lim( |
x2 +5x − x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4.3. Найти пределы: 1) lim sin 5x |
|
|
|
sin 2 2x |
|
|
|
|
|
tg |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
; 2) lim |
|
; 3) lim |
|
|
2 |
; 4) lim |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
4x 2 |
x→0 |
|
3x2 |
|
x→0 |
2x |
|
|
|
|
x→0 |
arcsin 9x |
|
25
5) |
x→0 |
|
|
sin 2x + sin 8x |
; 6) x→0 |
|
|
sin 2 3x |
|
; 7) |
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
cos x |
; 9) x→π |
1 + cos x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x |
|
|
|
|
1 −3õ2 |
|
−1 |
x→0 cos x −1 ; 8) |
|
π |
(π − x)2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x − 2 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х |
2 |
−1 |
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
||||||||||
|
4. 4. Найти пределы: 1) lim (х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7−х3 |
|
|
|
|
|
|
х+5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
+ |
|
|
; 2) |
lim |
|
|
|
; 3) |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1−х2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
|
|
х |
+ |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ х +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2х +1 7 х |
|
|
|
5х3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
1+ |
3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 2х2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
; 5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; 6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; 7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→∞ |
2х + 5 |
|
5х |
3 |
+1 |
|
|
|
|
х+1 |
|
|
|
3 |
+3х |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8) |
lim |
ln(3 − x) −ln 3 |
|
|
|
ln x −ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
å−2 õ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
; 9) lim |
|
; 10) lim |
|
|
|
; 11) lim(16 −3x) |
x−5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x |
|
|
|
|
|
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
2x −8 |
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва. Построить эскиз графика функции:
1) |
|
|
x2 − 25 |
|
x2 −9 |
|
|
|
x + 2 |
|
f (x) = e |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x+3 |
|
|||||||||||||
f (x) = |
|
|
; 2) f (x) = |
|
|
|
|
|
; 3) |
f (x) = |
|
; 4) |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
||||||||||
|
x − 5 |
|
x −3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− 2, x < 0 |
|
|
|
|
|
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
|
x |
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
2, |
|
x = 0 ; 6) |
f (x) = 1− x, 0 < x ≤1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
− 2, x > 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
x >1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 4
1. Найти пределы функции: 1) lim |
|
x2 |
− 8x + 7 |
|
|
; 2) lim |
|
|
x3 |
− 27 |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 − 9x +14 |
|
x2 − 2x −3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→7 |
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3) lim |
x +1 − |
1 − x ; 4) lim |
x + 5 − 3 ; 5) lim |
3 |
x −1 |
; 6) lim |
5x3 + 4x + 3 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
x→4 |
5 − x −1 |
|
|
|
x→1 |
x −1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
4x − x3 + 7 |
|
|
|||||||||||||||||||||
7) lim |
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 x |
|
||||||
|
|
; 8) |
lim |
|
|
|
|
+ |
|
|
; 9) |
lim( |
x |
|
−1 − |
|
|
x |
|
+ 2) |
; 10) |
lim |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
2x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 3x2 − 4 |
|
|
x→∞ x −1 |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||||||||||
11) lim arcsin5x ; 12) lim |
|
1 − cos 2x |
; 13) |
|
lim |
2х + 3 х+1 |
; 14) lim |
х2 |
+ 5 |
|
х2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x sin x |
|
|
|
−5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
arctg10x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ 2х +1 |
|
|
|
|
x→∞ х2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15) lim 4х2 −1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(5 − x2 ) − ln5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
х2 |
; 16) lim |
ln 2 − ln(2 − x) |
; 17) lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
3х2 −1 |
|
|
x |
→0 |
|
|
10x |
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
2. Исследовать функции на непрерывность, найти точки разрыва и указать
|
3 |
|
x − |
2, |
x < 0, |
|
x |
2 |
− 5x + 6 |
|
характер разрыва: 1) y = |
; 2) |
|
|
x = 0 ; 3) |
y = |
|
; |
|||
|
y = − 2 |
|
|
|
|
|||||
x − 4 |
|
|
|
x − 3 |
||||||
|
|
|
− 2, |
x > 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
4)y = x2 −16 .
x− 4
5.Производная функции. Правила дифференцирования. Вычисление производных. Дифференциал функции
Пусть функция y = f (x) определена на множестве Х. Выберем точку x X ,
дадим х приращение ∆x ≠ 0, тогда |
функция |
получит приращение |
∆y = f (x + ∆x) − f (x) . |
|
|
Производной от функции y = f (x) по |
аргументу |
х называется предел |
отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
f ′(x) = lim ∆f .
∆x→0 ∆x
Функция, имеющая производную в точке х0, называется
дифференцируемой в точке х0.
Правила дифференцирования функций
Пусть С – постоянная, u = u(x), v = v(x) - функции, имеющие производные.
Тогда:
|
|
|
′ |
= u |
′ |
± v |
′ |
|
2 |
(u v) |
′ |
|
′ |
+ uv |
′ |
3. (Cu) |
′ |
= Cu |
′ |
, где C = const |
|||
1. (u ± v) |
|
|
|
|
= u v |
|
|
|
|||||||||||||||
u |
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u v −uv |
|
5. |
Если |
y = f (u), u = u(x) , |
т.е. |
y = f (u(x)) , где f (u) и |
|||||||||||||||
4. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) имеют производные, то y′x = yu′ u′x (правило дифференцирования сложной функции).
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в
ней.
27
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица производных основных |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарных функций |
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
C′ = 0, C = const |
2. (xα )′ =αxα−1 |
3. (a x )′ = a x ln a |
4. (ex )′ = ex |
||||||||||||||||||
5. |
(loga x)′ = |
|
|
1 |
|
|
6. |
(ln x)′ = |
1 |
|
7. (sin x)′ = cos x |
8. (cos x)′ = −sin x |
||||||||||
|
|
x ln a |
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
(tg x)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
10. (ctg x)′ = − |
1 |
|
11. |
(arcsin x)′ = |
1 |
|
|||||||
cos2 x |
|
|
sin 2 x |
1− x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
′ |
1 |
|
|||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
13. (arctg x) |
|
|
|
|
|
(arc c tg x) |
|
|
|
|||||
12. (arccos x) |
= − |
1− x2 |
= 1 + x2 |
14. |
= −1 + x2 . |
|||||||||||||||||
|
|
Логарифмическое дифференцирование
Это метод дифференцирования, при котором производная от заданной функции находится с помощью производной ее логарифма. Прежде чем находить производную функции y = f (x) , ее логарифмируют: ln y = ln f (x) , а
затем дифференцируют полученное равенство и находят y′:
yy′ =(ln f (x))′ y′= y (ln f (x))′.
Дифференцирование неявно заданной функции
При дифференцировании неявно заданной функции F (x; y) = 0 находят
производные правой и левой частей уравнения, рассматривая при этом у как функцию от х, затем из полученного равенства выражают y′.
Например, |
найдем |
производную |
|
функции |
x3 + y3 −3xy = 0 . |
||||||||
Дифференцируем данное равенство по х: |
3x |
2 |
+3y |
2 |
y |
′ |
|
|
|
′ |
|||
|
|
|
−(3y +3xy ) = 0 . Выразим |
||||||||||
из полученного равенства y′: |
3y 2 y′−3xy′ = 3y −3x2 , |
y′ |
= |
y − x2 |
|
. |
|||||||
y 2 − x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Производные высших порядков |
|
|||||||||||
Производная |
f ′(x) называется производной |
|
|
первого |
порядка. Если |
функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется производной
второго порядка и обозначается f ′′(x) . Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и
28
обозначается |
f ′′′(x) . Производной n-ого порядка называют производную от |
||||
производной |
(n-1)-ого порядка |
f (n) (x) = (f (n−1) (x))′. Производные порядка выше |
|||
первого называются производными высших порядков. |
|
||||
|
|
Дифференциал функции |
|
||
Дифференциалом функции |
y = f (x) |
называется главная, |
линейная |
||
относительно |
∆x |
часть приращения |
функции, равная произведению |
||
производной |
на |
приращение независимой переменной: |
dy = y ∆x . |
||
|
|
|
|
|
′ |
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = ∆x . Поэтому дифференциал функции равен: dy = y′dx .
Упражнения 5
5.1. Найдите производные функций:
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
8 |
6 |
|
|
|
|
1) |
у = х |
|
+3х |
|
− 2х |
+1 ; 2) у = |
|
х |
|
|
+ х2 |
− х3 + 2 ; 3) y = |
4 x |
|
− 3 x |
|
|
||||||||||||||
4) |
y = 4ex + arctgx + arccos x ; 5) |
у = 3 х + 4 cos x − 2tgx + 3; 6) y = x2 log3 x ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
1 + |
x |
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|||||
7) |
y = (x2 |
+ 2x + 2) 5x ; 8) y = |
|
|
|
|
|
; 9) |
y = 1 − |
|
; 10) |
y = |
|
|
; 11) |
y = 2 |
−3x4 ; |
||||||||||||||
x2 |
−1 |
x |
|
1 + x |
|||||||||||||||||||||||||||
12) |
y = ln(5x2 |
+ 2x5 ) ; 13) |
|
y = ectgx ; 14) |
y = 1 |
arctg x |
|
; 15) y = 2 (1 + ln x)3 |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
16) |
y = sin 2 x ; 17) y = 1 lg |
x −3 |
; 18) y =ln(ctg(2x2 |
+ 4)) ; 19) |
y = 3arccos 2 x ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20) |
y = arcctg e |
−x 3 |
; 21) |
y = ctg |
3 x |
; 22) y = arcsin |
2 1 |
; 23) y = log7 cos |
1 + x . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5.2. Найти производные функций, используя логарифмическое |
|||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = хх3 ; 2) у = х |
|
; 3) |
|
|
ln x ; 4) |
y =(sin x)tgx ; 5) |
|
y = x−xe−2x ; |
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
х |
|
у = х |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
2x 4 |
4x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
(2x −1)3 3 x3 + 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
5.3. Найти производные неявно заданных функций:
1) x ln y + y ln x = 0 ; 2) x cos y − y sin x = 0 ; 3) xy − arctg xy = 0 ; 4) e x + e y − e xy −1 = 0 .
5.4. Найти производные n-ого порядка от функций:
x
1)y = ln x ; 2) y = e 2 ; 3) y = cos2 x ; 4) y = (4x +1)n .
5.5.Найти дифференциалы первого порядка функций: 1) y = x3 + x x ;
2) y = arctg |
1 |
; 3) |
y = ln |
1 |
− x |
; 4) y = x2 sin x . |
||
x |
||||||||
|
|
|
||||||
1 |
|
|||||||
|
|
|
+ x |
Домашнее задание № 5
1. Найти производные функций:
1) |
|
4 |
|
5 |
5 |
|
3 |
|
y = 3 xarctgx |
|
|
|
|
cos x |
|
|
= |
|
+ |
|
|||
y = |
|
x |
|
|
+ x2 |
− x3 |
+ 2; 2) |
; 3) y = |
1 + 2sin x ; 4) |
y |
1 |
5ctgx ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) |
|
|
x2 |
|
; 6) y =10 |
3−tg 2 x |
; 7) y = arccos e |
−x2 |
2 |
; 8) |
y = log7 |
|
|
|
+ x) ; |
||||||||
y = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos |
1 |
|||||||||||||
1 |
− x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
y = 5 |
arcsin35 x |
; 10) y =sin2 x3 ; 11) y = (cos3x) x ; 12) |
y = 2xarctgx ; |
|
|
|||||||||||||||||
13) cos( x − y) − 2x 3 |
+ 4 y 4 = 0 ; 14) xey + yex = xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2. Найти производные n-ого порядка от функций: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
y = ln(1 + x) ; 2) |
y = 23x ; 3) |
y = sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Геометрический и экономический смысл производной. Приложения
|
|
производной |
|
|
|
Геометрический смысл производной |
|
|
|
Если функция |
y = f (x) |
дифференцируема в точке |
x0 , то |
число |
f ′(x0 ) = tgα = k есть |
угловой |
коэффициент касательной к |
графику |
функции |
y = f (x) в точке x0 . |
|
|
|
|
30