Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ
..pdfУравнение касательной к кривой y = f (x) в точке M (x0 ; y0 ) имеет вид: y = y0 + y′(x0 )(x − x0 ) .
Экономический смысл производной
Пусть функция u = u(t) выражает количество произведенной продукции u
за время t. Если функция |
u = u(t) дифференцируема |
точке u0 , то число |
u′(t0 ) есть производительность труда z в момент времени t0 , |
т.е. z =u′(t0 ) . |
|
Рассматривают также |
понятия скорости изменения производительности |
z′(t) и относительную скорость (темп) изменения производительности
= z′(t) . Tz (t) z(t)
Если х – национальный доход, С(х) – функция потребления, а S(x) – функция сбережения, то x = C(x) + S(x) . Дифференцируя, получим, что
C′(x) + S ′(x) =1,
где C′(x) - предельная склонность к потреблению, S ′(x) - предельная склонность к сбережению.
Эластичность функции определяется с помощью соотношения:
Ex ( y) = xy y′ или Ex ( y) = xTy .
Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для нахождения предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. для раскрытия
неопределенности вида 00 или ∞∞ .
Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, исключая, быть может, саму точку х0, и пусть эти функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно
31
большими. Тогда если существует предел отношения производных при х→х0, то он равен пределу отношения самих функций
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
. |
|
g(x) |
g (x) |
||||
x→x0 |
x→x0 |
||||
|
′ |
Задания 6
6.1.Составить уравнение касательной к кривым в указанных точках:
1)у = 22хх+−13 , х0 = 0 ; 2) х3 + у2 + 4х −17 = 0, у0 =1.
6.2.Составить уравнение касательной к кривой у =5х− х2 :
а) параллельной прямой 4х − у − 2 = 0 ; |
б) |
перпендикулярной |
прямой |
|
2х + 2 у − 5 = 0 . |
|
|
|
|
6.3. Составить уравнение той касательной к кривой у = ln(x −1) , |
которая |
|||
образует с осью абсцисс угол 450. |
|
|
|
|
6.4. На кривой, заданной уравнением у = |
х3 |
−5х + 2 , найти точку, в которой |
||
3 |
|
|||
|
|
|
|
касательная к этой кривой имеет угловой коэффициент к=4.
6.5. Объем производства зимней обуви, выпускаемой некоторой фабрикой,
может быть описан уравнением u = 13t3 − 72 t 2 + 6t + 2100, где t – календарный
месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения: 1) в начале года; 2) в конце года.
6.6. Функция потребления некоторой страны имеет вид
4
С(х) =13 + 0,25х + 0,37х5 , где х – совокупный национальный доход. Найти:
1)предельную склонность к потреблению; 2) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.
6.7.Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.). Выражается
32
уравнением у = х + 4 − 2 . Найти эластичность себестоимости продукции
предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководству предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?
6.8. Функция полных затрат в зависимости от объема |
выпускаемой |
продукции задана соотношением у = х3 − 2х2 +96. При |
каком объеме |
производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициенты
эластичности полных и средних затрат при данном объеме. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6.9. Функция спроса q и предложения s на некоторый товар от его цены |
||||||||||||||||||
задаются уравнениями: q = |
20 + x2 |
и s = |
4x2 −11х |
. Найти: 1) равновесную цену; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +10x |
1 +10x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
эластичность спроса и предложения для равновесной цены; 3) изменение |
||||||||||||||||||
дохода при изменении равновесной цены на 5%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6.10. Найти пределы, используя правило Лопиталя: 1) lim |
ln 2 (1 + x) |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
||
2) |
lim |
e x |
+ e−x − 2 |
; 3) lim 1 + x + ln(1 + x) |
; 4) lim |
sin x − cos x |
; 5) |
lim |
|
x 2 |
|
; |
|||||||
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
x→0 |
x |
x→π 4 |
x −π 4 |
x→∞ ln(e x2 |
+1) |
|
||||||
6) |
|
|
2 |
|
1 |
) ; 7) |
lim xe−x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
(1 − e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание № 6
1. Составить уравнения касательных к графику функции y = 2xx++11 ,
проходящих через точку M (−2; 3) : а) параллельных прямой y − x + 5 = 0 ;
б) перпендикулярных прямой y + x + 7 = 0.
2. Объем продукции, произведенной некоторой бригадой рабочих, может быть описан уравнением u = −56 t3 + 152 t 2 +100t + 50 , 1 ≤t ≤8, где t – рабочее время
33
в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.
3. Себестоимость продукции связана с объемом выпускаемой продукции х уравнением: у = ln(1 + 3x). Найти среднюю и предельную себестоимость,
выпускаемой продукции при объеме 10 ед.
4. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: 1) lim |
x3 − x + 3 |
; |
|||||||||
x3 + 3x + 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
||
2) lim |
x4 + 2x2 −3 |
; 3) |
lim ln 2 − ln(2 − x) |
; 4) |
lim |
1+ cos x |
. |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
x→1 x2 −3x + 2 |
|
x→0 |
10x |
|
x→π |
(π − x)2 |
|
|
7. Исследование функций и построение графиков
Исследование функции и построение ее графика целесообразно проводить пользуясь следующей схемой.
Общая схема исследования функции и построения графика
1)Найти область определения функции.
2)Исследовать функцию на четность и нечетность.
3)Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.
4)Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
5)Найти асимптоты графика функции.
6)Найти дополнительные точки, принадлежащие графику функции (если это необходимо для уточнения построения графика).
Для выполнения пункта 3 исследования придерживаются схемы исследования функции y = f (x) на монотонность и экстремумы:
1) |
′ |
|
|
Найти производную функции f (x). |
|
|
|
2) |
Найти критические точки функции (значения |
х, при которых |
′ |
f (x) |
|||
равна |
нулю или не существует), принадлежащие |
области определения |
|
функции. |
|
|
34
3) Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения найденными точками. Если f ′(x)> 0 на рассматриваемом интервале, то функция возрастает; если f ′(x)< 0 , то убывает.
4) Сравнить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и, используя достаточное условие экстремума, сделать вывод о наличии экстремумов функции. Найти значения функции в точках экстремума.
Для выполнения пункта 4 исследования придерживаются схемы исследования функции y = f (x) на выпуклость:
1)Найти вторую производную функции f ′′(x) .
2)Найти значения х, при которых f ′′(x) равна нулю или не существует.
3)Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые
разбивается |
область определения найденными точками. Если |
′′ |
на |
f (x)> 0 |
рассматриваемом интервале, то график функции выпуклый вниз (вогнутый); если f ′′(x)< 0, то график – выпуклый вверх (выпуклый).
4) Указать точки перегиба.
Асимптоты графика функции могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.
|
Если |
lim |
f (x) = ∞ |
|
или |
lim |
f (x) = ∞ |
, |
|
то |
прямая |
x |
= |
a |
|
является |
|||||||||||||||||
|
x→a − |
0 |
|
|
|
|
|
x→a+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Если |
lim |
f (x) = b |
|
|
или |
|
lim |
f (x) = b , |
|
|
то |
прямая |
x =b |
|
является |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Прямая |
|
|
y = kx + b |
|
является наклонной |
|
|
асимптотой |
графика функции |
|||||||||||||||||||||||
y = f (x) , если существуют пределы k |
= lim |
|
f (x) |
, |
|
b = lim(f (x) − kx). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7.1. Исследовать функции и построить их графики: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
у = х |
2 |
(х − |
4) |
2 |
; 2) y = |
1 |
|
x |
3 |
− |
5 |
x |
2 |
+ 6x ; 3) у = |
|
2х |
|
|
; 4) |
у = |
х2 |
5) |
у = |
|
|
х |
2 |
; |
||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х2 +1 |
х −1 |
|
х2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
6) у = |
ln х |
; 7) |
у = (х +1)е−х ; 8) у = 3 х +1 − 3 х −1. |
|
х |
||||
|
|
|
Домашнее задание № 7
Построить графики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) y = |
x4 |
− 2x2 ; 2) |
y = |
x |
; 3) y = 2x + |
1 |
; 4) |
y = |
x |
; 5) y = |
ex |
. |
4 |
|
|
x2 − 4 |
x2 |
|
|
ln x |
|
x |
8. Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке
X , если в каждой точке x этого промежутка F ′(x)= f (x).
Множество всех первообразных для данной функции f (x) на промежутке
X называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается
∫ f (x)dx . Согласно определению,
∫ f (x)dx = F (x)+ C ,
где F (x) - любая первообразная функции f (x), C - произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. d (∫ f (x)dx)= f (x)dx ; 2. (∫ f (x)dx)′ = f (x); |
3. ∫F ′(x)dx = F (x)+ C ; |
||||||||||||
4.. ∫dF (x)= F (x)+ C ; |
5. ∫kf (x)dx =k ∫ f (x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. ∫(f (x)± g(x))dx = ∫ |
f (x)dx ± ∫g(x)dx ; |
7. ∫ f (kx +b)dx = |
1 |
F(kx +b) +C . |
|||||||||
k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таблица интегралов основных |
|
|
|
|
|
|||||||
|
элементарных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. ∫dt =t +C ; |
2. ∫t n dt = |
t n+1 |
+ C , n ≠ −1: |
|
3. ∫ |
dt |
= ln |
|
t |
|
+ C , t ≠ 0 ; |
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
n +1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
4. |
∫at dt = |
|
|
at |
+C ; |
|
5. |
∫et dt = et +C ; |
|
|
|
|
|
6. |
∫sin tdt = −cost +C ; |
|||||||||||||||||||
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
∫cos tdt =sin t + C ; |
|
8. |
∫ |
dt |
|
= tgt +C ; |
|
|
|
|
|
9. |
∫ |
|
dt |
|
= −ctgt +C ; |
||||||||||||||||
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|||
|
10. |
∫ |
|
dt |
|
= |
|
1 |
arctg |
t |
+ C ; |
|
|
11. ∫ |
|
|
dt |
|
|
= |
1 |
|
|
|
t − a |
|
+ C ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
t |
2 |
− a |
2 |
|
2a |
t + a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
12. |
∫ |
|
a |
2dt |
|
|
2 |
= arcsin |
t |
+ C ; |
|
|
13. ∫ |
|
t |
2dt |
|
|
= ln t + |
t 2 |
|
± a +C . |
|||||||||||
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
± a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные методы интегрирования неопределенного интеграла
1.Непосредственное интегрирование заключается в приведении данного интеграла к табличному путем преобразований подынтегральной функции и применения основных свойств неопределенного интеграла.
2.Метод замены переменной (или метод подстановки). Если функция
f (x) непрерывна, то, полагая x =ϕ(t ), где ϕ(t ) - функция, имеющая непрерывную производную, получаем:
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt = ∫g(t)dt =G(t) + C =G(ψ(x)) +C .
Замечание: при интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде x =ϕ(t ), а в виде t =ψ(x).
3. Метод интегрирования по частям. Если функции u(x) и υ(x) имеют
непрерывные производные, |
то |
∫u(x)dυ(x) =u(x)υ(x) − ∫υ(x)du(x). |
Формулу |
принято записывать в виде |
|
|
|
|
∫udυ=uυ− ∫υdu . |
|
|
Это формула интегрирования по частям. Ее целесообразнее применять в |
|||
том случае, когда интеграл |
∫υdu |
вычисляется проще, чем ∫udυ. |
К классам |
функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида P(x)eax , P(x)sin ax , P(x)cosax , где за u принимается многочлен P(x), и
37
функции P(x)ln x , P(x)arctgx , P(x)arcsin x , где за u принимается соответственно ln x , arctgx , arcsin x .
3адания № 8
8.1 Найти неопределенные интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1)(x − 4)dx ; 4) ∫ |
|
(2 + x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) ∫ |
2x |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
dx ; 2) |
|
∫ |
|
x |
+ |
|
|
dx ; 3) ∫(x |
|
+ |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
4 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − cos3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
e−x |
|
||||||||||||
5) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
−5sin x dx ; |
|
6) ∫ |
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx |
; |
7) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
8) |
∫e |
|
2 |
− |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 − x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
− |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
dx |
; 11) |
∫(3x −5) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ |
5 |
x |
2 |
− |
|
25 |
+ x |
2 |
dx ; |
|
|
2 |
|
|
9 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12) ∫3 |
2x +1dx ; 13) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; 14) ∫ |
|
|
|
|
2dx |
|
|
; 15) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 + x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−7x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
8.2. Найти неопределенные интегралы, заменив переменную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
∫e |
x3 |
x |
2 |
dx |
; 2) ∫ |
arcsin3 |
xdx |
; 3) ∫ |
|
cos xdx |
|
|
|
; 4) ∫ |
|
ln3 xdx |
; 5) |
∫ |
|
xdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
+9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − x |
2 |
|
|
sin |
2 |
x |
−3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ex dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
e |
x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6) |
∫ |
|
|
; 7) |
∫ |
|
|
(1 + x2 )arctgx |
; 8) ∫ |
|
; 9) ∫ |
|
x + 2dx ; 10) ∫ |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e2 x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 (x 2 |
+3) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 − cos2 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) ∫ |
(arcsin x + x)dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8.3. Найти интегралы, воспользовавшись формулой интегрирования по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
∫xe2 x dx ; |
2) ∫(5x + 6) cos3xdx; 3) ∫x2x dx ; 4) ∫ln xdx ; 5) ∫xarctgx dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
∫ln(x2 +1)dx ; 7) ∫arcsin xdx ; 8) ∫x2 sin 2xdx ; 9) |
|
∫3x cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4. Найти интегралы от рациональных дробей:
1) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
; 2) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
; 3) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; 4) ∫ |
|
(4x −3)dx |
|
; 5) ∫ |
(3x + 4)dx |
; |
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
− x −6 |
4x −1 |
− |
4x |
2 |
x |
2 |
+ 4x + 29 |
x |
2 |
+ 3x |
+ 4 |
x |
2 |
+5x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6) ∫ |
|
x3 − 2x2 + 4 |
dx |
; 7) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
8) ∫ |
|
(x2 + 2)dx |
|
; 9) ∫ |
x |
5 + |
|
2x |
3 |
+ |
4x |
+ |
4 |
dx . |
|
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 2x − |
3 |
(x |
2 |
−1)(x + |
2) |
(x +1) |
2 |
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
+ 2x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
8.5. Найти интегралы от тригонометрических функций:
1) |
∫sin2 xdx ; 2) ∫sin 3x cos xdx ; |
3) ∫cos4 xdx ; 4) ∫ |
sin |
3 |
x |
dx ; 5) |
∫cos3 xdx ; |
||||||||
|
|||||||||||||||
cos |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
6) |
∫ |
dx |
; 7) |
∫ |
dx |
; 8) |
∫ |
dx |
; 9) |
∫ |
(1+tgx)dx |
. |
|||
|
|
|
|
|
sin 2x |
||||||||||
|
1 + sin x |
|
|
|
|||||||||||
sin 2 x cos4 x |
1+sin x +cos x |
|
|
8.6. Найти интегралы от иррациональных функций:
|
|
хdx |
|
хdx |
|
∫ |
|
2 |
|
xdx |
|
|
1 |
x −1 |
1) |
∫ |
2 х + 3 |
; 2) |
∫3 х +1 |
; 3) |
9 − x |
|
dx ; 4) |
∫3 2x +1 |
; 5) |
∫ |
x |
x +1dx . |
Домашнее задание № 8
|
Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) ∫x +31dx ; 2) ∫( |
x −1)3 |
dx ; 3) |
∫ |
2 1 |
|
+ |
|
1 |
|
2 dx ; 4) |
∫(sin5x −3cos3x)dx; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
−5 |
|
|
|
12 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) ∫ |
|
2dx−3x ; 6) ∫ |
2 |
dx ; 7) ∫(2 + 5x)9 dx ; 8) ∫ |
dx |
; 9) ∫ |
xdx |
|
; 10) ∫ |
xdx |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 − 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −5 |
|
sin 2 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) |
|
tgxdx |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
1 + ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|||||||||
∫ cos2 x ; 12) |
∫e |
|
|
cos xdx ; 13) ∫ |
|
|
|
|
|
; 14) ∫(5x + 6)cos 2xdx ; 15) |
∫ |
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
16) |
∫xe−5x dx ; 17) ∫xarctgxdx; 18) ∫ |
|
|
|
dx |
; 19) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; 20) ∫(22x + 7)dx ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ 2x − 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
x |
+ x − 2 |
||||||||||||||
21) |
∫ |
(3 |
x +1)dx |
; 22) ∫ |
|
|
x3 |
− 2 |
|
dx ; 23) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
; 24) ∫sin 3x sin 5xdx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
3sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
− 2x + 5 |
|
|
|
|
− 2x + 2 |
|
|
|
|
|
+4 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25) |
∫sin 3 xdx ; 26) ∫ |
|
dx3 |
x |
; 27) ∫ |
2xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Определенный интеграл |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пусть на отрезке [a; b] |
определена функция y = f (x). Разобьем отрезок [a; b] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точками x0 , x1 ,…, xn : a = x0 < x1 <…< xn = b |
на частичные отрезки, наибольшую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
длину частичного отрезка обозначим через λ = max(xi |
− xi−1 ). На каждом отрезке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
[xi−1 ; xi ] |
n |
выберем произвольную точку ξi . Сумма ∑ f (ξi ) ∆xi называется |
i=1
интегральной суммой.
n
Если существует предел интегральных сумм ∑ f (ξi ) ∆xi при λ → 0 , не
i=1
зависящий от способа разбиения отрезка [a; b] и выбора точек ξi , то этот предел
называется определенным интегралом и обозначается ∫b f (x)dx , т.е.
a
b |
n |
∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξi ) ∆xi . |
|
a |
λ→0 i=1 |
Основные свойства определенного интеграла
1. ∫b kf (x)dx = k ∫b f (x)dx , где k =const.
a |
a |
2. ∫b (f (x)± g(x))dx = ∫b f (x)dx ± ∫b g(x)dx .
a a a
3. |
∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx . |
|
|
a |
a |
c |
|
|
4. |
Если на отрезке [a; b] f (x)≥ 0 , то ∫b |
f (x)dx ≥ 0 . |
|||
|
|
|
|
a |
|
5. Если на отрезке [a; b] f (x)≥ g(x), то ∫b f (x)dx ≥ ∫b g(x)dx .
aa
6.Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то в интервале (a; b)
найдется такая точка c , что ∫b f (x)dx = (b − a)f (c) (теорема о среднем).
a
a |
b |
a |
|
Из определения имеем: ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx |
и ∫ f (x)dx = 0 . |
||
b |
a |
a |
|
Вычисление определенного интеграла |
|
|
|
1. Формула Ньютона-Лейбница. Если |
функция |
f (x) непрерывна на |
|
отрезке [a; b] и F (x) - некоторая первообразная функции |
f (x), то |
40