Ситникова Математика Ч. 1 для менедж
..pdfМИНИСТЕРСТВОСЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударствеобразовательноебюджетучрн ждение высшегопрофессиональногообразования
«Вятскаягосударственнаясельскохозяйственнаяакадемия» Кафедраматематики ифизики
И.В. Ситникова, О.В.Черник
МАТЕМАТИКА Часть1
Учебноепособие
КИРОВ201 4
|
|
2 |
|
|
|
УДК517.2 |
|
|
|
|
|
ББК22.161.11 |
|
|
|
|
|
СитниковаИ.В., |
Черник О.В. |
Математика.Часть1 |
:Учебноеп |
особие. – Киров: |
|
Вятская ГСХА, 2014. |
– 83 с. |
|
|
|
|
Рецензенты: |
кандидатфизико |
-математическихнаук |
, |
|
|
|
доценткафедрыматематики |
ифизики |
ВятскойГСХА |
||
|
ФарафоновВ.Г.; |
|
|
|
|
|
кандидатфизико |
-математическихнаук |
, |
|
|
|
доценткафедры |
информационныхтех |
нологий в |
||
|
экономикеВ |
ятГГУ РяттельА.В. |
|
|
|
Учебноепособиерассмотутвеметодичержденок мисскойие |
|
|
инженерногофакультетаВятскгосударственнойсельскохозяйственной |
|
|
академиип( |
рот№6откол7.04.14 |
). |
Пособие содержит оснпо,вныеформулыняитияоремыпервойчастикурса |
|
|
математики,приметиповыхзадачсрешением,практическиеупражнения |
|
|
дляаудиторнойсамостоярабостудентов. ыельной |
Учебноепособие |
|
предназначеноля |
бакалавровнаправлений0802 |
00 «Менеджмент», 100700 |
«Торговоедело»испециалистовнаправления080101Экономическая« |
|
|
безопасн»очнзаочнойи ф стьбучениярм |
|
. |
©ФГБОУВПОВятскаяГСХА, 2014 © СитниковаИрВикторовна,ЧерникОльгаВладимировна, 2014
3
РАЗДЕЛІ.ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА
Матрицы.Алгебмат ица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
– |
|
прямоугольнаятаблица,составленнаяиз |
m × n чисел, |
||||||
расположенныхв |
m строкахи |
n столбцах.Обознматрицычаютглавными |
|
|||||||
буквамилатинсалфавитауказогоеер ниНапримерзм. ерности: |
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
a |
... a |
… a |
|
|
|
|||
|
|
11 |
|
12 |
|
1 j |
1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
… a2 j |
... a2n |
|
|||||
|
!!!!!!!!!!! |
|
|
|
||||||
Am×n = |
ai1 |
ai 2 |
… aij |
… ain |
, |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
!!!!!!!!!!! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
a |
m1 |
a |
m2 |
... a |
mj |
… a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
где aij – элементыматрицы
столбца.
Матрица,содержащаяоднусрилиодинкустолбец, азывается (иливектором -строкой,иливектором
|
|
|
|
|
|
|
|
B = (b b ... b ); |
A = |
|
|
1×n |
1 2 n |
m×1 |
|
А, i = 1,2,..., m – номерстроки, |
j = 1,2,...,n – номер |
вектором
-столбцом). Ихвид:
a1
a2 .
! am
Матрицу,количествостроккоторравноколичествустолбцовй( |
m=n), |
называют квадратнойпорядка |
n. |
|
a |
|
a |
|
... a |
… a |
|
|
||||
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1 j |
|
1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
… a2 j |
... a2n |
|
||||||
|
!!!!!!!!!!! |
|
||||||||||
An×n = |
ai1 |
ai 2 |
|
… aij |
… ain |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
!!!!!!!!!!! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
n1 |
a |
n2 |
|
... a |
nj |
… a |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Элементыквадратнойматрицы,имеющравн,адексыименно |
|
|
|
главнойдиагонали |
|
|||||||
a11 , a22 ,…, ann ,называютсяэлементами |
|
|
. |
|||||||||
Квадратнаяматрица,укоторойвсеэлементы,кромеглавновй |
|
диагональной. |
|
|||||||||
диаго,равнулю, азываетсяли |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− 4 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Например, |
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Диагональнуюматрицу,которойкаждыйэлементглав |
|
нойдиагонали |
|||||
равенединице,называют |
|
|
единичной. |
Обозначаютеебуквой |
Е. Например, |
||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
– единичнаяматрицатретьегопорядка. |
|
|
Е3×3 = |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица,всеэлемекоторойравнулюты, азывается |
|
|
|
нулевой. |
|
|||
Матр,состоящаяиоднзцачисла, гождествля |
|
|
етсяэтимчислом. |
|
|
|||
Двематрицыназываются |
равными, |
|
еслиониимеютодинаковую |
|
|
|||
размерностьиихсоответствующиеэлемерав. нты |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сложение матриц. |
Операциясложенвводитсяматртолькодляц |
|
|
|
|
|
|
|
матрицодинаковыхразмеров. |
А и В называетсям |
атрица С, |
|
|
|
|
||
Суммойдвухматриц |
имеющаятежеразмеры, |
|
|
|||||
чтоислагма,каждкоторойтрицыемыеэл ментравенсумме |
А и В. |
|
|
|
|
|
|
|
соответствующихэлементовматриц |
|
2 3 0 |
3 3 − 1 |
|||||
Пример. |
Найтисуммуматриц |
|
|
|||||
А+В ,если A = |
|
, |
B = |
|
. |
|||
|
|
|
|
− 1 4 |
|
|
4 6 |
|
|
|
|
|
− 2 |
1 − |
|
Решение. |
|
2 3 0 |
|
|
3 3 − 1 |
5 6 − 1 |
||||
A + B = |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
− 1 4 − |
2 |
|
|
− 4 6 |
|
|
0 0 4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Умножение матрицы начисло. |
Произведениемматрицы |
|
|
А начисло k |
|||||||||
называетсяматрица |
С, |
имеющаятужеразмерность,чтоматрица |
k насоответствующийэлемент |
А,каждый |
|||||||||
элементкоторавенпроизведениюйчисла |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
исходнойматрицы. |
|
|
|
|
|
|
− 1 3 |
|
|
|
|
||
Пример. |
Наймат3рицу |
|
А,если |
А = |
|
|
|
|
|||||
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
3 |
|
|
− 3 |
9 |
0 |
6 |
|
|
|
|
Решение. |
3А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 3 |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||
Вычитание матриц. |
|
Разностьматриц |
|
можнопределитьследующим |
|
|
|||||||
образом: |
A − B = A + (−1)B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Произведениематриц. |
|
|
|
Операцияумноженвводитсядвухматртолькоц |
|
|
|
|
|||||
дляслу,когдачислоаястолбцпервмноравногожчислутеля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строк |
||
втормно. гожителя |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
B |
= ( |
) |
|
|
Произведениемматрицы |
|
|
|
|
наматрицу |
называется |
|||||||
|
|
C = (cik )m×p |
|
A = aij m×n |
|
b jk |
n×p |
|
|||||
такматрицая |
,укоторойэлемент |
|
i-йстроки |
|
k-гостолбцаравен |
||||||||
суммепроизведенийэлементов |
|
|
|
|
i-йстрокиматрицы |
А насоответствующие |
|||||||
элементы k-гостолбцаматрицы |
|
|
В. |
|
|
|
|
|
|
5
Пример.
a a |
|
a |
|
|
|
b |
b |
|
a b |
|||||
|
|
|
11 |
12 |
|
|||||||||
|
11 |
12 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
11 11 |
||
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
|
b21 |
b22 = a b |
||||||
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
21 11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
Пример. |
|
Дано: |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
||||
|
A = |
; |
B = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
Решение. |
1) |
А |
|
|
В |
1 |
3 |
1 |
||||||
|
|
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2×2 |
|
2×3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2) |
В2×3 А2×2 неопределено,таккакчислостолбцовматрицы |
|
||||||||||||
счисломстрокматрицы |
|
|
|
|
|
В (2). |
|
|||||||
|
|
Этотпримериллюстрирважнуюособенностьоперацииуетмножения |
|
матриц,еенекоммутативность,котордлядвпроизволхюматрицных можновыразитьследующейформулой: умножениематрицынаединматрицуумножениечнуюматрицына
+ a b + a b |
a b + a b + a b |
|
|
|
||||||||||||||
12 |
21 |
13 |
|
31 |
11 |
12 |
12 |
|
22 |
13 |
32 |
|
|
|
||||
+ a |
22 |
b + a |
23 |
b |
a b + a |
22 |
b + a |
b |
. |
|
||||||||
|
21 |
|
|
31 |
21 |
12 |
|
|
22 |
|
23 |
32 |
|
|
|
|||
2 |
3 |
|
|
|
|
АВ; 2)ВА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. Найти: 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 3 1 + 9 2 + 3 3 + 0 10 5 3 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
1 0 |
|
|
|
|
|
+ 2 3 |
|
|
|
7 4 3 |
|
|
||||||
1 + 6 2 |
+ 0 |
|
|
А (3) несовпадает
A B ≠ B A. Исключениесоставл |
А и В |
яют |
обратнуюей: |
А Е = Е А, A A−1 = A−1 A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Транспонированиематрицы |
|
. Матр,получеиданцазпутемннаяой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
заменыкаждойеестрокистолбцомтемженомером,называется |
Обозначается AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
транспонированной кданной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример. |
|
0 |
1 |
0 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
; |
AT = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1Выч.1. линейнуюкомбинациюслитьматрицА2+3В: |
|
Упражнения 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|||||
|
" |
% |
" |
% |
|
" |
|
% |
|
|
" |
|
|
% |
|
|
|
|
а) A = $3 −1' |
; B = $ |
2 − 3';б) |
|
A = $ 1 2 3' ; |
B = $−4 − 5 |
|
' . |
|
|
|
||||||||
|
#2 −1& |
#1 − 2& |
|
#−1 − 2 − 3& |
|
|
# 4 5 |
|
6 |
& |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
!1 |
2 |
3 |
|
!0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1Найти.2. |
C = AT − 3B,где |
|
# |
5 |
& |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = # |
1 |
& , B |
= |
# |
6&. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
2% |
|
# |
0 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3% |
|
|
|
|
|
|
|
1Найти.3. |
A B и B A ,результатысравнить: |
|
|
|
"−1 3 % |
, |
|
"2 −1% |
||||||||||
|
A = $ |
' |
B = $ |
3 |
2 |
' . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
2 4& |
|
|
# |
& |
||
1Найти.4про. матрицзведениеАВ: |
|
|
!1 2 3 |
|
|
" 1 − 2 − 4% |
|
|
|
|
||||||||
!3 1 1 |
"1 1 −1% |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
# |
|
& |
$ |
' |
;б) |
# |
|
& |
B |
|
$ |
|
|
' |
|
|
|
|
а) A = #2 1 2& |
B = $2 |
−1 1' |
A = # |
2 4 6& |
= $−1 − 2 − 4 ' ; |
|
|
|
|
|||||||||
# |
|
& |
$ |
' |
|
# |
|
& |
|
|
$ |
1 2 4 |
' |
|
|
|
|
|
1 2 3% |
#1 0 1& |
|
|
3 6 9 % |
|
|
# |
& |
|
|
|
|
6
|
!5 |
4 |
"−2 |
5% |
|
"5 |
0 |
2 3% |
|
|||||
в) |
# |
|
& |
;г) |
$ |
4 1 5 3 |
' |
B = |
||||||
A = # |
2 5& |
B = $ |
3 |
4 |
' |
A = $ |
' |
|||||||
|
# |
3 |
& |
# |
& |
|
$ |
|
1 |
−1 2 |
' |
|
||
|
|
1 % |
|
|
|
|
|
#3 |
& |
|
" 6 % |
|
||
$ |
−2 |
' |
;д) A = (1 2 − 3) |
$ |
' |
||
$ |
7 |
' |
|
$ |
4 |
' |
|
# |
& |
|
"3 |
1 −1 % |
|
"2% |
|||
$ |
4 |
−1 3 |
' |
; е) |
||
B = $ |
' |
A = (0 −1) B = $ |
' . |
|||
$ |
2 |
6 0 |
' |
|
# |
0& |
# |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!0 |
0 |
1 |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
& !−1 −1$ |
!4$ |
|
|
3 |
|
|
10 |
|
|||
|
|
1Выполнитьдействия.5. :а) |
1 1 2 |
& |
# |
2 |
& |
;б) |
!1 1 |
;в) |
!1 1 |
; |
|||||||||
|
|
# |
|
|
|
# |
2& |
# & |
# |
& |
# |
& |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
#2 2 3& |
# |
1 |
& |
"1 % |
|
|
0 1% |
|
|
0 1% |
|
||||
|
|
|
|
|
|
# |
|
3 |
|
& |
" |
1 % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"4 −1%5 |
|
|
"3 |
4 % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
$ |
|
' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
5 − 2& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Найти.6значенмногочлена. матричного:) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2A2 |
+ 3A + 5E ,где |
|
|
|
||||||
|
|
!1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
3 |
& |
, Е – единичнаяматрица |
|
|
третьегопорядка; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = #1 |
1& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
# |
1 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1% |
|
!1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) |
|
|
2 |
# |
0 |
2 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A − 2E) (A − E),где |
A = # |
1 &. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
# |
0 |
0 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашзадани1. ее |
|
|
|
|
|
Выполнитьдействия: 1) |
|
|
#3 −1 4& |
#1 2 3& |
; |
|||||
|
|
2 % |
( − 3 % |
2 1 |
( |
|||||
|
"1 − 2% "0 |
7 |
8 % |
$2 |
5 0' |
$ |
4' |
|
||
2) |
; |
|
|
|
|
|
||||
$ |
' $ |
6 |
' |
|
|
|
|
|
||
|
#4 |
6& #2 |
− 3& |
|
|
|
|
|
|
#5 2& |
|
"1 − 3 2 % "0 1 |
2% "1 |
1 −1% |
||||||||||
3) (1 − 3 − 2) %1 |
7 |
( |
; 4) |
$ |
3 − 4 1 |
' |
|
$1 − 3 0 |
' |
|
$ |
2 −1 1' . |
||
% |
|
( |
|
$ |
|
' |
|
$ |
|
' |
|
$ |
|
' |
% |
0 |
( |
|
$ |
|
' |
|
$ |
1 |
' |
|
$ |
|
' |
$1 |
' |
|
# |
2 − 5 3& #1 1 |
& #1 |
0 1& |
5)Найматрицу |
A2 |
"−1 3% |
!1 |
0 |
||||
−12E , где A = $ |
4 |
1 |
' |
, E = # |
0 |
& . |
||
|
|
# |
& |
|
1% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителиквадратныхматриц |
|
|
|
|
|
n-гопорядка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Квадратнойматрице |
|
|
А n-гопорядкаможнопоставитьответствие |
||||||||||||||||||||||||
число,называемоеее |
|
|
|
|
|
|
|
определителем.Обозначается |
|
A |
|
или . |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Взависимостиотпорядкаматрицы |
|
|
|
|
|
|
|
n |
ееопределительможетбыть |
||||||||||||||||||
вычисленпоследующимправилам: |
A |
|
|
|
|
a1 |
|
|
= a1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)если n=1,то |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2)если |
n=2,то |
|
|
|
A |
|
= |
|
a11 |
a12 |
|
= a |
a |
22 |
− a |
a |
21 |
.Вычислениеопределителя |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||
второгопорядкаиллюстрируетсясх |
|
|
емой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
− 2 |
3 |
= −2 7 − 3 5 = −14 −15 = −29. |
||||||
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
3)если n=3,то |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
− a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .
Привычисленииопредтрпорядкатьегоудобнотеляльзоваться правиломтреугольник ов,котороесхеможноизобразитьатичнотак:
Пример. |
Вычислитьоп |
ределитель |
5 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
− 4 |
. |
|
|
|
6 |
0 |
− 3 |
|
Решение. |
|
|
|
|
||
|
|
5 |
− 2 |
1 |
|
= 5 1 (− 3)+ (− 2) (− 4) 6 + 3 0 1 −1 1 6 − 3 (− 2) (− 3)− |
|
|
|||||
|
|
3 |
1 |
− 4 |
|
|
|
|
6 |
0 |
− 3 |
|
|
− 0 5 (− 4)= 9.
8
Минором |
|
ij |
элемента аij определителя n-гопорядка( |
n>1)называется |
|||||||||||
определитель( |
n-1)-гопор |
ядка,полученныйизопределителя |
|
|
|
|
n-гопорядка |
||||||||
вычеркиванием i-ойстроки |
j-гостолбца,напересечениикоторыхнаход тся |
|
|
|
|
||||||||||
данныйэлемент |
|
аij. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгебраическдополнением |
A = (−1)i+ j M |
|
ij элемента |
аij |
называетсячисло, |
||||||||||
находящеесяпоформуле |
|
|
|
|
ij |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Найти М12 , |
A12 дляопределителя |
|
|
|
5 |
− 2 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
− 4 |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
− 3 |
|
|
|
Решение. |
Длянахождения |
М12 вычеркиваизданногоопределителямрвую |
|
|
|
|
|||||||||
строкуивторойстолбец.Результатаписываемвидеопределителявторого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
порядка: |
M12 = |
|
3 |
−4 |
|
= −9 + 24 =15 .Находи |
малгебраическоедополнени: |
||||||||
|
|
|
6 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 = (−1)1+2 M12 = −15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Свопределителеййства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) Определительнеизм,еслегонстрокизаменитьтсястолбцами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сохрапорядкаинениемаоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание:вдальнесв,ойстватносящиесяшемкстрокам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
определите,справедляивы |
|
|
ипоотношениюкстолбцам. |
|
|
|
|
|
|||||||
2) Определительравенсуммепроизввсехэл какоймденийтов |
|
|
|
|
|
|
|
|
-либоего |
||||||
строкинаихлгебраическдополнен. иея |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Опредравну,если:нителью
а)всеэлементыкакой |
–либостравныокинулю; |
б)всеэлементыоднойстро |
кипропорциональнысоответствующим |
элемдругойестрокинтам. |
|
4)Припередвухстопределиановкерокменяесвойзнак. тель
5)Общиймножительвсехэлементовстрокиопределителяможвыносить зазнакопределителя.
6) Есливсеэлементы |
i-ойстрокиопределителя |
едставленывидесумм |
|
двухслагаемых,тоопределитравенсумме,укоторыхделителейльвсе |
|
||
строки,кроме |
i-ой,тажекак, ивданномеопределителе, |
i-ястрокав |
|
первомопределителесостоитизпервыхслагаемых,вовтором |
|
– извторых. |
|
7) Определительнеизмен,еслкэлементамикакойтся |
-либоегостроки |
||
прибавитьсоответствэлементыдругойстроки, множенныеющначи, сло |
|
||
отличноенуля. |
|
|
|
Насвойстметодоснован2 ычисленопределитпонижях ениемлей |
|
||
порядкаправикоторый( Лап), лдаасане |
|
|
толькодругойспвычислениясоб |
определивто огопорядкат,елейьегоноипозволяетвычислять |
|
|
|
определителиболеевыспорядк.Крких,передгоприменениемв |
|
||
свойполезно2 спомощьютвадругихсвойнапример( ,свойства7)получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
внемкакожн |
|
|
|
обольшееколичествонулевыхэлементов. |
|
|
|
|
|
||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
−1 |
7 |
4 |
|
|
|
|
1 |
−1 |
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
5 |
3 |
2 |
|
|
= |
|
0 |
5 |
3 |
|
2 |
= |
|
|
−1 |
7 |
0 |
1 |
|
+ Ιстрока |
|
−1 +1 |
7 + (−1) |
0 + 7 |
1 |
+ 4 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
5 |
7 |
8 |
|
+ Ιсирока (− 3) |
|
|
3 +1 (− 3) |
5 + (−1) (− 3) |
7 + 7 (− 3) |
8 + 4 (− 3) |
|
|
1 |
−1 |
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
5 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
=1 |
A |
+ 0 A + |
0 A |
+ 0 A =1 (−1)1+1 |
6 |
7 |
5 |
|
=122. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
6 |
7 |
|
5 |
|
11 |
|
21 |
|
31 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
−14 |
|
|
− 4 |
|
|
|||||
|
0 |
8 |
−14 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обрматрицаная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||
|
|
Матрица А называется невырожденной,еслиееопределитель |
|
|
|
отличен |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
отнуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Всякаяневырождматрицаимеетобр.Матрицаннаятную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется |
|||||||||||
обратной матрице А, есливыпоусловиеняется |
|
|
|
|
|
A A−1 = A−1 A = E ,где |
Е – |
|||||||||||||||||
единичнаяматрицатогожеп ,чторядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Найти |
A−1 ,если |
|
|
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Матрица А–невырожденная,таккак |
|
|
|
А |
|
= −2 ≠ 0,следовательно,матрица |
|
|
|
|
А |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
имеетобратную.Дляеенахождениятранспонируемматрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А,получим |
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АТ |
|
2 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
едополненияэлементов |
|
|
|
|
|
|||
= |
.Далеенаходималгебраически |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
матрицы АТ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = (−1)1+1 |
−1 5 |
|
=1 ((−1) 0 − 5 1) = −5; А = (−1)1+2 |
2 5 |
= −1 (2 0 − 5 1)= 5; |
||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
А |
1+3 |
|
2 −1 |
|
=1 (2 1− (−1) 1) = 3; |
А |
|
2+1 |
|
2 1 |
|
= −1 |
(2 0 −1 1) = 1; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А |
2+2 |
|
3 |
1 |
|
|
= 1 (3 0 −1 1) = −1; А |
|
|
2+3 |
|
3 |
2 |
|
= −1 (3 1 − 2 1) = −1; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
23 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
А |
3+1 |
|
2 |
1 |
|
|
= 1 (2 5 −1 (−1)) = 11; |
||||||||
|
|
||||||||||||||
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31 |
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А |
3+2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
= −1 (3 5 −1 2) = −13 |
; |
|||||
|
|
||||||||||||||
= (−1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
3+3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
= 1 (3 (−1) − 2 2) = −7. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
33 |
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Составимэтихэлементовприсоединеннуюматрицу
~ |
|
|
− 5 |
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
А = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
−13 |
|
− 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Находимобрат |
|
|
|
|
нуюматрицупоформуле: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
~ |
|
|
1 |
|
|
|
− 5 |
|
5 |
|
3 |
|||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
А |
= |
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
−1 |
. |
|||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
11 |
|
−13 |
− 7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Проверправнахождеильносмобрма:тнрицыьойя |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
− 5 |
5 |
|
||||||
АА−1 |
|
|
|
|
|
2 −1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
− 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−13 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|||||||||
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 3 |
2 |
|
|||||
А |
−1 |
А = |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
− 1 |
|
− 1 |
|
2 − 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
11 |
|
− 13 |
− 7 |
|
1 |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
3 |
||
−1 |
|
|
2 |
||
= − |
|
|
|||
2 |
|||||
− 7 |
|
|
1 |
||
|
|
|
1 |
|
1 |
− 5 |
||
1 |
|
|
1 |
||
= − |
|
|
|||
2 |
|||||
0 |
|
|
11 |
||
|
|
|
Значит,обрматнайденаярицаверно. а
Упражнения2.
2Вычислитьопределители.1. второгопорядка:)
б) |
1+ |
2 − |
;в) |
|
x −1 |
1 |
|
;г) |
|
sinα |
|
|
|
||||||||
|
2 + |
1− |
|
|
x3 |
x2 + x +1 |
|
|
|
sin β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
− 5 |
5 |
3 |
|
|
−1 1 |
|
1 |
−1 |
−1 |
|
|
|
= |
|||||
5 |
0 |
|
11 |
−13 |
− 7 |
|
|
|
5 |
3 |
3 |
2 |
1 |
|
|
− 1 |
− 1 |
|
2 |
− 1 1 |
|
|
|
= |
|||||
− 13 |
− 7 |
|
1 |
5 |
0 |
|
|
|
3 5 ;
1 − 2
cosα . cos β