ФТЯР ЛЕКЦИИ

21

АЗ/отражатель формируется взаимными перетечками тепловых нейтронов из одной среды в другую и обратно. Потому в пограничных с отражателем областях АЗ формируется распределение потоков нейтронов, отличное от распределения, формируемого только за счет свойств АЗ. Такое распределение потоков нейтронов в АЗ носит название переходного. Однако по мере удаления вглубь АЗ влияние перетечек нейтронов из отражателя уменьшается, и распределение потока нейтронов будет приближаться к форме, зависящей только от парамет-

ров АЗ. Такое распределение называют асимптотическим. В энергетических ЯР, имеющих большие размеры, области асимптотических распределений достаточно велики. Отсюда понятно, что соотношения для ЯР без отражателя являются основой для рассмотрения ЯР с отражателем.

Добавление отражателя приводит к уменьшению утечки нейтронов через внешнюю поверхность АЗ. Тогда, если до введения отражателя ЯР находился в критическом состоянии, то после его введения он перейдет в надкритическое. Для того, чтобы вернут ЯР в критику надо либо изменить состав АЗ (уменьшив k∞, что является трудновыполнимым из-за экономических и тепло-физических соображений), либо уменьшить размеры АЗ. Таким образом, критические размеры АЗ ЯР с отражателем всегда меньше, чем соответствующие размеры АЗ ЯР без него.

2.2 Требования к материалу отражателя

Отражательная способность материала зависит от его диффузионных характеристик: длины транспортного пробега нейтронов, длины диффузии, возраста, которые, в свою очередь, определяются сечениями рассеяния и поглощения. Поэтому в качестве материала отражателя используют материалы с высоким значением коэффициента внутреннего отражения или альбедо, являющиеся отношением плотности одностороннего тока нейтронов из отражателя в АЗ к плотности одностороннего тока нейтронов из АЗ в отражатель.

Еще более сужает круг материалов, пригодных для использования в качестве отражателя, тот факт, что в ЯР на тепловых нейтронов необходимо, чтобы быстрые нейтроны, попавшие в отражатель, возвращались в АЗ уже тепловыми, т.е. материал отражателя должен обладать высокой замедляющей способностью. Таким требованиям в полной мере отвечают элементы с малой атомной

22

массой. Однако если дополнить указанные требования необходимостью малого поглощения тепловых нейтронов, то приходим к тому, что требования к материалу отражателя совпадают с требованиями к материалам замедлителя. Поэтому в ЯР на тепловых нейтронах отражатель обычно выполняют из того же материала, что и замедлитель.

В реакторах на быстрых нейтронах необходимо возвращать из отражателя в АЗ незамедлившиеся нейтроны. Поэтому в таких реакторах отражатель должен иметь малые значения потерь энергии в акте рассеяния и высокие значения сечений рассеяния. Этим требованиям отвечают отражатели из тяжелых атомов: сталь, уран, никель и т.п.

2.3.Математическая постановка задачи о гомогенном реакторе

сотражателем в одногрупповом приближении

Поставим задачу о ЯР с отражателем в одногрупповом диффузионном приближении, т.е. полагая, что энергетический спектр нейтронов во всем ЯР одинаков. Как известно, диффузионное приближение не работает вблизи границы АЗ и понятно, что в отражателе спектр нейтронов будет иметь отличный от АЗ вид. Поэтому при таком подходе влияние отражателя на критические размеры можно установить приближенно. Тем не менее, одногрупповой подход можно использовать для важных оценок параметров ЯР с отражателем, а в случае больших ЯР даже для получения количественных результатов.

Рассмотрим гомогенный реактор, состоящий из гомогенной АЗ (далее все, что будет касаться АЗ будет иметь индекс «1») и отражателя (индекс «2»). Запишем отдельно уравнение ЯР для АЗ и отражателя:

	АЗ: Ф1 r 12Ф1 r 0				(1)
	где 2		k 1	– материальный параметр
	1		M12
	В отражателе нет делящегося материала, поэтому формально уравнение ЯР
	для отражателя имеет тот же вид:
	Ф2 r 22Ф2 r 0				(2)
	материальный параметр 2					1	.
						M 22
					2

23

Причем для большинства отражателей (D2O, C, Be) τ<<L2, поэтому M2≈ L2 и

22	1	. Однако в случае Н2О замена М2	на L2 будет существенно влиять на
	2
	L
	2

получаемый результат. Граничные условия для системы (1)-(2) аналогичны условиям для уравнения диффузии:

1.На границе раздела АЗ/отражатель плотность потока нейтронов в АЗ равна плотности потока нейтронов в отражателе.

2.На границе раздела АЗ/отражатель плотность диффузионного тока нейтронов в АЗ равна плотности диффузионного тока нейтронов в отражателе.

3.На экстраполированной границе отражателя плотность потока нейтронов в отражателе равна нулю.

Теперь на основе системы (1)-(2) и граничных условий проанализируем условия критичности ЯР различной формы с отражателем.

2.4 Ядерный реактор в форме бесконечной пластины с отражателем

	H	Рассмотрим бесконечно плоский ЯР, состоящий из
		АЗ толщиной Н и боковых отражателей толщиной Т
T
		x каждый. Начало координат поместим в плоскость сим-

0метрии. Т.к. пластина тонкая, то по физическому смыс-

лу задача является одномерной, т.е. имеет место зависимость потоков только от х. В этом случае уравнения (1) и (2) принимают вид:

						d2Ф (x)				2Ф (x) 0
для АЗ						1						(3)
						dx2				1	1
						d2Ф	(x)		2Ф (x) 0
для отражателя						2						(4)
						dx2				2	2
Граничные условия имеют вид
Ф		H	Ф	H					(5)
1		2	2	2

	dФ				H		dФ		H
			x					x	2
D		1			2	D	2				(6)
1			dx			2		dx
Ф		H	T		0	(7)
		2
2

24

При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны. Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно

записать общие решения:
Ф1(x) = A1cos (χ1x) + C1 sin (χ1x)	(8)
Ф2(x) = A2exp (χ2x) + C2exp (–χ2x)	(9)

Так как потоки в АЗ симметричны относительно оси реактора, то решение

(8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С1 = 0, тогда окончательно для АЗ распределение потока нейтронов имеет вид:

Ф1(x) = A1cos (χ1x)

(10)

Рассмотрим решение (9). В нем выразим экспоненты через гиперболиче-

ские функции ex = ch (x) + sh (x), e–x = ch (x) – sh (x):

Ф2(x) = A2 [ch (χ2x) + sh (χ2x)] + C2[ch (χ2x) – sh (χ2x)] = M ch (χ2x) + N sh (χ2x), (11)

где M= A2+ C2, N= A2 – C2.

Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:

2

H

H

H

sh

2

T

0 Mch

2

T

Nsh

2

2

T

M

N

H

2

2

ch

2

T

Подставим полученное соотношение в (11):

N

H

2

H

sh

2

T ch( 2x) ch

T ch( 2x)

Ф (x)

2

2

(12)

H

2

T

ch 2

2

Известно, что sh(a–b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:

Ф2		2	H			,	(13)
	(x) K2sh			2	T x

				25
где K2 –			N		.
		2	H
	ch			T
			2

Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):

Ф1(x) = A1cos (χ1x)						(10)
Ф2	(x) K		2	H			,	(13)
		2sh			2	T x

Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H/2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:

				H
	A cos		1			K	sh(	T ) (14)
			2
	1					2	2

Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):

				H
A D		sin	1			K		D					ch(				T )					(15)
			2
1 1	1						2		2			2				2
Разделим почленно (15) на (14) и получим
															H
							D				tg			1					D				cth(		T )	(16)
														2
								1		1										2		2		2

Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, устанавливает имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ1, χ2, D1, D2. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав АЗ и отражателя (χ1, χ2, D1, D2), можно определить критические размеры системы; и наоборот.

Тем не менее докажем, что (16) является условием критичности. Очевидно, что в качестве исходного положения для такого доказательства может служить следующее: если в условии (16) мы уберем отражатель (зададим T=0), то должны получить условие критичности бесконечно плоского ЯР без отражателя

							26
	2		2				2
		B					. Если T=0, правая часть условия (16) начнет стремиться к бес-
					H

конечности. Тогда (16)	примет вид:
		H				H
tg	1				1				1			B
					2			2			H
	2

Что и требовалось доказать.

Условие критичности (16) позволяет оценить критические размеры отражателя. В правой части этого условия функция гиперболического котангенса при аргументе, равном примерно 2,65, с точностью в 1% равна своему максимальному значению 1, т.е. в этом случае правая часть больше расти не может. Следовательно, для оценок критической толщины отражателя можно воспользоваться условием: χ2T≈2,65. Так как χ2=1/М2, то T≈2,65M2. Таким образом, оценки показывают, что нет смысла делать отражатель толще, чем 2 3 длины миграции нейтронов в отражателе. Однако на практике решающими оказываются экономические соображения, и размер отражателя выбирают меньше. Так, например, в ЯР с графитовыми отражателями оценки дают Т=110 160 см, реально Т=60 80 см.

Как отмечалось, благодаря применению отражателя снижается утечка нейтронов из АЗ, поэтому критические размеры АЗ могут быть уменьшены в ЯР с отражателем. Количественно экономию в размерах АЗ при использовании отражателя определяют с помощью величины, называемой «эффективная добавка за счет отражателя» – δ. По определению это разница между размерами АЗ в реакторе без отражателя и размерами АЗ в реакторе с отражателем.

Рассмотрим бесконечно плоский ЯР. Пусть ЯР в форме бесконечной пластины без отражателя имел критический размер Н0 (с учетом длины экстраполяции), и с отражателем его критический размер известен – Н. Известно, что Н0>Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:

		H0		H	(17)
		2		2

27

В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометриче-

	скому, тогда 1 B		H0		. В (17) выразим ширину ЯР с отражателем
		H0
				1
	и подставим туда найденное выражение для Н0:					H			. Теперь это полу-
						2		2 1

ченное выражение подставим в условие критичности (16)

D1 1tg 1 2 1 D2 2cth( 2T )

				ctg
В аргументе тангенса открываем скобки и получаем tg	2
		1		1

В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:

tg	D1	1	th(	T ),	(18)
1	D2	2	2

отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:

		1			D1 1			(19)
				arctg	D		th( 2T )
			1		2	2

Если ЯР большой H>> , в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:

1 D1 1 th( 2T ), учитывая, что χ2=1/М2, получаем:

D2 2

		D1		T		(20)
		D2	M 2th	M 2

Проанализируем (20), рассмотрев предельные случаи.

1. Тонкий отражатель М2>>T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничив-

шись первым членом разложения		T			T	. Отсюда	D1	T , т.е. δ~T. В
	th	M 2			M 2		D2

этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.

											28
	2. Толстый отражатель М2<<T, т.е.				T				T		1. Тогда
					M		1, следовательно, th		M 2
						2
		D1	M 2 , т.е. δ~M2. В этом	случае величина				δ определяется ядерно-
		D2

физическими свойствами отражателя.

Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, следовательно Критические размеры АЗ уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается уменьшение критических размеров АЗ). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отража-

теля, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.

На основании выше изложенного можно установить алгоритм рассмотрения задач для ЯР различных форм с отражателем в одногрупповом приближе-

нии:

постановка задачи (исходные уравнения, граничные условия);

решение исходных уравнений и определения функций распределения по-

токов нейтронов в АЗ и отражателе;

установление условия критичности (доказательство полученного условия

как условия критичности)

введение эффективной добавки за счет отражателя, ее нахождение с по-

мощью условия критичности;

анализ величины δ при различных толщинах отражателя.

2.5. Цилиндрический ЯР с боковым отражателем в одногрупповом приближении

					Рассмотрим ЯР, представляющий собой АЗ
					высотой Н (экстраполированный размер) и радиу-
T					сом R, окруженную боковым отражателем, толщи-
				H	ной Т. Начало координат находится в центре сим-
		0
					метрии. Так как на торцах ЯР отсутствует отража-
			R

29

тель, то его влияние скажется на радиальную составляющую потоков, т.е. аксиальная составляющая потока будет точно такой, как в случае ЯР без отражателя:

Ф1(r,z)		z
	f1(r)cos
		H
Ф2 (r,z)	f2		z
		(r)cos
			H

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению функций f1(r) и f2(r). Для функции f(r) запишем уравнения ЯР:

f (r) 2 f (r) 0		(1)
1	r 1
f2(r) 2 f2(r) 0		(2),
где r2	– радиальная составляющая материального параметра АЗ; 2 – радиаль-

ная составляющая материального параметра отражателя. Определим эти составляющие.

АЗ: 12 r2 z2, где 12 – полный материальный параметр АЗ; z2 – аксиальная составляющая материального параметра АЗ. При этом вследствие того, что нет бокового отражателя, аксиальная составляющая материального параметра равна аксиальной составляющей геометрического параметра такого же реактора без

											2					2					2	. Тогда получаем:
отражателя (реактор критический): z													Bz
																		H
2	2		2		2	2		2			k				1						2
																					.	Отсюда видно, что		- ве-
											M12
1	r		H		r	1		H										H					r

личина действительная.

По аналогии рассмотрим радиальную составляющую материального параметра отражателя, учтя при этом, что в отражателе нет делящихся материалов (k∞=0)

							2							2								2
	2		2						k 1							1
																						. Отсюда видно, что - вели-
			2		H				M 2			H				M	2			H
									2								2

чина мнимая. Таким образом, исходные уравнения примут вид:

f	(r) 2 f	(r) 0	(1)
1	r 1
f2(r) 2 f2		(r) 0	(3)

30

Эту систему уравнений необходимо дополнить граничными условиями:

f2(R2) = 0, где R2=R+T

(4)

f1(R) = f2(R)

(5) (равенство потоков на границе АЗ - отражатель)

df

r R

df

r R

D1

1 dr

D2

2

dr

(6)(равенстводиффузионныхтоковнаАЗ-отражатель)

Решение уравнения (1) известно

f1(r) AJ0( r r) 0

(7)

Решим уравнение (3). В цилиндрических координатах оно имеет вид:

d2 f2(r)

1

df2(r)

2 f2(r) 0

(8)

dr2

r dr

Уравнение (8) помножим на r2, затем первое слагаемое умножим и разделим на2, второе слагаемое - .

	r 2 d2 f2(r)	r	df2(r)	r 2	f2(r) 0 (9)
			d r
	d r 2

Уравнение (9) – уравнение Бесселя с аргументом r . Причем этот аргумент – мнимый. В этом случае решением уравнения Бесселя являются модифицированные функции Бесселя нулевого порядка:

f2(r) C1I0 r C2K0 r , (10)

где I0 r – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента первого рода; K0 r – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента второго рода (функция Макдональда).

Для решения (10) воспользуемся граничным условием (4): 0 C1I0 R2 C2K0 R2 , отсюда:

C1 C2 K0 R2 (11) I0 R2

Подставим (11) в (10) и для потоков в АЗ и отражателе окончательно получим: f1(r) AJ0( r r) (12)

					K0 R2
	f	2	(r) C	2			I	0	r K	0	r	(13)
					I0 R2

Для (12) и (13) используем граничные условия (5) и (6):