ФТЯР ЛЕКЦИИ

38

0 D(E) Ф(r,E) t (E)Ф(r,E) s (E )W (E E)Ф(r,E )dE S(r,E),

E

где W (E E)– вероятность для нейтрона с энергией E в результате упругого (el) и неупругого (in) рассеяния замедлиться до энергии Е; t (E) a (E) s (E),

s (E) el (E) in (E).

Перейдем в шкалу летаргий:

u

D(u) Ф(r,u) t (u)Ф(r,u) s (u )W (u u)Ф(r,u )du S(r,u) 0 (1)

Для (1) используем метод многих групп. Для этого весь энергетический интер-

	1 гр 2 гр	i гр			m гр		вал разобьем на конечное число отрез-
							ков – m. Причем последняя m-ая группа
0 u1 u2		ui-1		ui	um-1	u
							описывает тепловые нейтроны. Заме-

ним уравнение (1) системой групповых уравнений и рассмотрим произвольную i-ую группу, внутри которой летаргия изменяется в диапазоне от ui-1 до ui. Для этой группы запишем уравнение баланса (1). Для этого (1) проинтегрируем в пределах от ui-1 до ui:

ui	ui	ui	u
D(u) Ф(r,u)du	t (u)Ф(r,u)du	du s (u )W (u u)Ф(r,u )du
ui 1	ui 1	ui 1
	ui		(2)
	S(r,u)du 0
	ui 1

Видно, что (2) представляет собой сумму четырех интегралов. Рассмотрим каждый интеграл по отдельности.

ui

1)I1 D(u) Ф(r,u)du . Так как оператор Лапласа не зависит от летаргии, то:

ui 1
ui	ui
I1 D(u)Ф(r,u)du . Полученное выражение умножим и разделим на	Ф(r,u)du .
ui 1	ui 1

В итоге получим:

39

		ui
		D(u)Ф(r,u)du		ui
I1	ui 1			Ф(r,u)du
		ui	Ф(r,u)du
		u		ui 1
		i 1

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение коэффициента диффузии для нейтронов с летаргией в интервале от ui-1 до ui (в группе i) или среднегрупповое значение коэффициента диффузии:

ui
D(u)Ф(r,u)du	Di
ui
ui 1
Ф(r,u)du
ui 1

Второй множитель представляет собой интегральный по летаргии (энергии) по-

ui
ток нейтронов в i-ой группе: Ф(r,u)du Фi (r)	(3).

ui 1

Если учесть, что коэффициент диффузии не зависит от координат, то окончательно получим для первого интеграла следующее:

	I1 Di Фi (r)		(4)
2) Рассмотрим второй интеграл в выражении (2): I2					ui
					t (u)Ф(r,u)du . Запи-
					ui 1
санное выражение умножим и разделим на			ui
			Ф(r,u)du . В итоге получим:
		ui 1
	ui
	t (u)Ф(r,u)du ui
I2	ui 1			Ф(r,u)du
		ui
		Ф(r,u)du		ui 1

ui 1

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение макроскопического сечения полного взаимодействия для нейтронов с летаргией в интервале от ui-1 до ui (в группе i) или среднегрупповое значение макроскопического сечения полного взаимодействия:

40

ui	(u)Ф(r,u)du
t
ui 1		t,i
ui
Ф(r,u)du
ui 1

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i-ой группе. Тогда для второго интеграла имеем:

I2 t,iФi (r)

Известно, что t (E) a (E) s (E), тогда I2 t,iФi (r) a,iФi (r) s,iФi (r) Первое слагаемое в этом выражении показывает количество поглощенных нейтронов группы i, a,i – среднегрупповое значение сечения поглощения. С дру-

гой стороны, в результате неупругих и упругих рассеяний нейтрон теряет свою энергию. При этом он может либо перейти в другую группу (с большим значением летаргии или меньшим значением энергии), либо остаться внутри группы i. С этой точки зрения сечение рассеяния можно представить как суперпозицию сечения рассеяния, оставляющего нейтрон внутри группы i – s0,i , и сечения за-

медления нейтрона из группы i в другие группы, начиная от группы i+1 и заканчивая последней группой m вследствие рассеяния – з,i . При этом, в свою оче-

редь, сечение замедления можно представить как суперпозицию сечений замедления, описывающих вероятность перехода нейтрона из группы i в каждую из

m
ниже лежащих групп: з,i iз j . Таким образом, второй интеграл выраже-
j i 1
ния (2) окончательно примет вид:
		m
I2 a,iФi (r) s0,iФi (r) з,iФi (r) a,iФi (r) s0,iФi (r) iз jФi (r)			(5)
		j i 1
3)Рассмотримтретийинтегралввыражении(2): I3	ui	u
	du s (u )W (u u)Ф(r,u )du .
	ui 1

В этом выражении заменим порядок интегрирования и учтем, в среде нет нейтронов с энергией большей, чем энергия источника, что соответствует замене в нижнем пределе интегрирования (–∞) на 0:

41

u	ui
I3 s (u )Ф(r,u )du W (u u)du		(6)
0	ui 1

Разобьем интервал интегрирования 0÷u на три составляющих 0÷ui-1, ui-1÷ui, ui÷u. Первый интервал характеризует рассеяние нейтронов с летаргиями, меньшими, чем летаргия рассматриваемой группы, второй – рассеяние нейтронов самой рассматриваемой группы, третий – рассеяние нейтронов с летаргиями, большими, чем летаргия рассматриваемой группы. При этом согласно (6) все эти нейтроны должны при замедлении попасть в рассматриваемую группу i. Однако из физических соображений ясно, что нейтроны при замедлении не могут приобрести энергию больше той, которую они имели. Тогда замедление нейтронов интервала ui÷u в группу i невозможно, так как эти нейтроны имеют большую

ui

летаргию, а значит меньшую энергию. При этом заметим, что W (u u)du

ui 1

есть интегральная вероятность для нейтрона с произвольной летаргией u за-

		ui
медлиться в группу i:		W (u u)du W (u i). Таким образом, выражение (6)
		ui 1
примет вид:
	ui 1				ui
I3	s (u )Ф(r,u )W (u i)du s (u )Ф(r,u )W (u i)du
	0				ui 1
Применим к I3 метод групп, тогда имеем:
i 1	uk				ui
I3	s (u )Ф(r,u )W (k i)du				s (u )Ф(r,u )W (i i)du (7)
k 1uk 1					ui 1
В первом слагаемом выражения (7) умножим и разделим на								uk
										Ф(r,u )du . В итоге
								uk 1
получим:
		uk
		s (u )Ф(r,u )W (k i)du uk
	i 1 uk 1
							Ф(r,u )du
		uk
	k 1					uk 1
			Ф(r,u )du

uk 1

s0,i

42

Первый множитель согласно теореме о среднем есть средняя вероятность нейтрона k-ой группы замедлиться в i-ую группу:

uk s (u )Ф(r,u )W (k i)du

uk 1			k i
uk			R
	Ф(r,u )du
uk 1

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в k-ой группе - Фk (r).

	Во втором слагаемом выражения (7) умножимиразделимна						ui
								Ф(r,u )du . В итоге
							ui 1
	получим:
		ui
		s (u )Ф(r,u )W (i		i)du ui
	i 1 ui 1
						Ф(r,u )du
		ui
	k 1				ui 1
			Ф(r,u )du

ui 1

Первый множитель есть средняя вероятность для нейтрона при рассеянии остаться внутри группы i, в принятых обозначениях - . Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i-ой группе - Фi (r).

Таким образом, окончательно для третьего интеграла выражения (2) получаем:

i 1

I3 kR iФk (r) s0,iФi (r) (8) k 1

ui

4) Рассмотрим четвертый интеграл в выражении (2): I4 S(r,u)du

ui 1

Этот интеграл характеризует источник нейтронов. В общем случае источник может быть произвольным, но нам интересен случай, когда источником является реакция деления тяжелых ядер, причем деление может инициироваться нейтроном любой энергии. Определим скорость реакции деления, инициируемой нейтроном с летаргией u в точке r: f (u )Ф(r,u ).

43

В каждом акте деления рождается f новых нейтронов, причем f зависит от энергии нейтрона, вызвавшего деление: f f (u). Таким образом, в резуль-

тате деления	ядер нейтронами с летаргией u в точке r образуется
f f (u )Ф(r,u )	новых нейтронов. Для того, чтобы получить полное число но-

вых нейтронов, образованных в реакции деления, вызванных нейтронами всех энергий надо проинтегрировать в пределах от энергии нейтронов источника

(u=0) до энергий близким к 0 (u= ): f f (u )Ф(r,u )du .

0

При этом спектр новых нейтронов не моноэнергетический, тогда летаргию u будут иметь не все нейтроны. Если обозначим долю нейтронов деления, имеющих летаргию u, как f(u), то функция источника примет вид:

S(r,u) f (u) f f (u )Ф(r,u )du , а четвертый интеграл в выражении (2):

0
	ui
I4	f (u)du f f (u )Ф(r,u )du (9)
	ui 1	0
К выражению (9) применим многогрупповой подход:
	ui	m	uk
I4	f (u)du		f f (u )Ф(r	,u )du
	ui 1	k 1uk 1
Во втором интеграле	полученного выражения			умножим и разделим на

ukФ(r,u )du . В итоге получим:

uk 1

uk

f (u )Ф(r,u )du uk

ui

m

f

uk 1

I4 f (u)du

Ф(r,u )du

uk

ui 1

k 1

uk 1

Ф(r,u )du

uk 1

uk

f f (u )Ф(r,u )du

Согласно теореме о среднем

uk 1

f ,k

f ,k

– среднее для груп-

uk

Ф(r,u )du

uk 1

пы k значение произведения f f . Второй множитель в соответствии с (3) есть

44

интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в k-ой группе - Фk (r).

ui
При этом что f (u)du i	– вероятность (доля) для нейтронов спектра деления

ui 1

попасть в группу i.

Окончательно, четвертый интеграл выражения (2) принимает вид:

m

I4 i f ,k f ,kФk (r) (10) k 1

Закончив предварительные преобразования, в исходное выражение (2) подставим выражения для всех входящих интегралов (4), (5), (8) и (10).

m	i 1
Di Фi (r) a,iФi (r) s0,iФi (r) iз jФi (r) kR iФk (r) s0,iФi (r)
j i 1	k 1

m

i f ,k f ,k Фk (r ) 0

k1

Вданном выражении приведем подобные слагаемые и получим:

m	i 1	m
Di Фi (r) a,iФi (r) iз jФi (r)		kR iФk (r) i f ,k f ,kФk (r) 0 (11)
j i 1	k 1	k 1

Итак, получена система уравнений, описывающих поведение нейтронов. Видно, что исходные интегро-дифференциальные уравнения (2) свелись к дифференциальным уравнениям (11). При этом в них нет зависимости от вероятностей рассеяния W (u u).

Определим физический смысл отдельных слагаемых в (11): первое – пространственная утечка нейтронов группы i вследствие диффузии в единицу времени из единицы объема вблизи точки r; второе – поглощение нейтронов в этом объеме; третье – уход нейтронов из группы i в группы с большим номером (меньшей энергией) в результате упругого и неупругого рассеяния в общем слу-

i j	i j	i j	; четвертое – описывает перевод нейтронов из групп с
чае з	з,el	з,in

меньшим номером (большей энергии) в результате упругого и неупругого рас-

k i	k i	k i	; пятое – определяет вклад источни-
сеяния в данную группу R	R,el	R,in

ка нейтронов (реакция деления) в группу i.

45

Так как система (11) получена на основе уравнения диффузии, то она справедлива тогда, когда выполняется условия применимости диффузионного приближения: вдали от источников, сильных поглотителей и т.д.

Групповые уравнения (11), справедливые внутри пространственной области с изотропными свойствами, должны быть дополнены граничными условиями. Вид этих условий тот же, что и для уравнения диффузии: на границе раздела сред плотности потоков и плотности диффузионных токов нейтронов равны. Другими словами для системы уравнений (11) необходимо записывать граничные условия для каждого уравнения. Например, если имеется среда «1», граничащая со средой «2», и граница раздела этих сред F, то граничные условия для

нейтронов группы i примут вид:

Фi,1

F

Фi,2

F ;

Di,1 Фi,1

F

Di,2 Фi,2

F

Анализируя многогрупповое уравнение

(11), можно

увидеть способы

усреднения констант внутри группы: макроскопические сечения взаимодействия усредняются по потоку нейтронов, а коэффициенты диффузии – по Лапласиану потока.

Полезно записать уравнение (11) для крайних случаев: для первой и последней (тепловой) m-ой группы.

Для группы 1: в эту группу нет прихода нейтронов из других групп за счет рассеяния (это нейтроны с самой большой энергией):

m	m
D1 Ф1(r) a,1Ф1(r)	1з jФ1(r) 1 f ,k f ,kФk (r) 0
j 2	k 1

Для последней (тепловой) m-ой группы: из нее нет замедления нейтронов в другие группы, кроме того в спектре деления нет тепловых нейтронов – εm = 0:

m 1

Dm Фm (r) a,mФm (r) kR mФk (r) 0 k 1

3.3.Системы групповых констант.

Входе предыдущих рассуждений была получена система групповых уравнений, позволяющая определить распределение потоков нейтронов в объеме ЯР:

m	i 1	m
Di Фi (r) a,iФi (r) iз jФi (r)		kR iФk (r) i f ,k f ,kФk (r) 0
j i 1	k 1	k 1

46

Анализируя полученные многогрупповые уравнения, видно, что решение этой задачи невозможно без нахождения коэффициентов уравнений, т.е. групповых констант: Di , a,i , iз j , kR i , i , f ,k , f ,k , способами усреднения которых внутри группы является следующее: макроскопические сечения взаимодействия усредняются по потоку нейтронов, а коэффициенты диффузии – по Лапласиану потока.

Однако, что истинных ход энергетических зависимостей потоков нейтронов внутри группы не является константой (как постулируется в рамках метода многих групп), особенно в областях, где имеют место резонансы в энергетических зависимостях сечений взаимодействия. В этом случае возникает проблема корректного усреднения сечений. При этом возможно либо выбор очень узких групп, когда потоки нейтронов внутри групп изменяются слабо (хотя и здесь их нельзя принять константой), либо иметь какую-то информацию о зависимости Ф(Е) внутри группы. Последний подход возможен тогда, когда речь идет о конкретном ЯР. В этом случае способ усреднения выбирается таким, чтобы расчет приводил к известному для данного ЯР kэф. Таким образом, понятно, что расчеты будут очень громоздкими и уже не пригодны для другого ЯР (даже того же типа).

Более привлекательным является случай, когда усреднение проводится по «стандартным» спектрам нейтронов. Тогда полученные групповые константы могут быть использованы для расчетов любых ЯР. Другими словами привлекательным является разработка систем многогрупповых констант. Разработка таких систем основана на некоторой универсальности нейтронных спектров в ЯР: спектр быстрых нейтронов почти во всех ЯР с той или иной долей точности может быть описан спектром деления, спектр тепловых – спектром Максвелла с поправкой на поглощение и температуру. Наиболее сложен случай для замедляющихся нейтронов, для которых сечения взаимодействия характеризуются резонансами. Для слабо поглощающих сред поглощение нейтронов достаточно слабое, следовательно, можно считать, что плотность потока в шкале летаргий

внутри каждой группы постоянна, а в шкале энергий имеет вид: Ф(E) constE

(спектр Ферми). Поэтому для всех групп, кроме верхних, где использовался

47

спектр деления, в качестве «стандартной» формы спектра целесообразно принять форму спектра Ферми. В случае сильного поглощения также можно использовать такой подход. При этом разбиение энергетического интервала надо провести на большое число групп, чтобы внутри каждой не было сильного изменения потока. Однако в области расположения резонанса могут возникнуть неточности при усреднении констант внутри группы. Поэтому в этом случае вводятся специальные поправки на резонансные эффекты.

Таким образом, мы обосновали возможность создания универсальных систем многогрупповых констант, пригодных для расчетов любых ЯР.

Вернемся к многогрупповым уравнениям. Видно, что при строгом подходе усреднению подлежат макроскопические сечения среды. Известно, что N . Так как составы различных ЯР различны, то различны и ядерные концентрации входящих в них материалов. Поэтому системы констант, полученные для макроскопических характеристик исключают возможность их универсального использования, они пригодны лишь для конкретного ЯР.

Вместе с тем неизменными для элементов являются микроскопические сечения. Поэтому целесообразно составление систем многогрупповых констант на основе не макроскопических характеристик, а микроскопических. Тогда, зная состав ЯР, можно определить для каждого входящего элемента его групповые микроскопические сечения, а затем, умножив на концентрацию соответствующего элемента, получить макроскопические сечения, которые затем использовать для решения многогрупповых уравнений.

Однако зависимости (E) имеют в некоторых областях ярко выраженную резонансную структуру. Поэтому их усреднение достаточно сложно. С другой стороны, элемент находится в составе среды ЯР вместе с другими элементами. Если его концентрация мала, то влияние на процессы в ЯР его резонансов незначительно, и наоборот. В этом смысле групповые значения микросечений отдельных элементов в смеси являются функциями суммы полных сечений всех других элементов, входящих в состав среды. Другими словами, микросечение отдельного элемента i (E) внутри группы зависит не только от энергии