Высшая математика ч2 (3.сем)
.pdf
|
|
|
1.1. а. Да. |
|
|
|
|
б. Нет. |
|
|
|
в. Да. |
|
|
|
|
|
|
г. Нет. |
|
|
|
|
д. Да. |
|
|
е. Нет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. а. |
|
1 |
|
1 |
|
e 3 p |
|
|
2e |
|
|
2 p . |
|
б. |
|
1 |
|
|
|
pe 2 p |
|
|
e p |
1. |
|
|
|
|
1.3. а. |
|
5 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б. |
|
|
p |
|
|
. 1.4. а. |
|
e |
2 |
|
|
|
. б. |
|
|
|
e |
|
pa |
|
|
|
|
|
. 1.5. а. cos t |
|
|
|
2 . б. sh 2 t |
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p2 |
|
|
9 |
|
p2 |
1 |
p |
1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 p3 8p2 |
|
У |
||||||||||||||||||||||||
1.6. а. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
p 1 |
|
|
p 2 |
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 4 p |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 p2 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p p2 |
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||
г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
е. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
ж. |
Т |
. |
|||||||||||||
|
|
|
p p2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 13 2 |
|
|
36p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
p2 4 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
з. |
|
|
|
2 p |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
1.7. а. Да. |
|
|
б. Да. |
|
в. Нет. |
|
|
1.8. |
|
|
|
1Н1 |
|
|
e1 |
p |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p2 |
p |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
1 |
|
|
p |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1.11.йа. t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1.10. |
pe |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
1 |
(t |
2)e |
(t |
2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.12. а. |
|
|
|
|
|
. б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
р. в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
p3 |
|
|
2(p |
1) |
|
|
2p |
|
|
|
|
2 |
p2 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
( |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
2(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
З а н я т и е |
|
|
2 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Дифференц рован е |
|
|
|
и |
|
интегрирование |
|
|
|
|
оригиналов |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
изображений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Свертка |
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.1. Найти изображения дифференциальных выражений при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а. x (t) |
|
5x (t) |
|
|
7x(t) 2; x(0) |
|
|
|
; x (0) |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б. xIV (t) |
|
|
|
4x |
(t) |
|
2x (t) |
3x (t) |
|
5; |
|
x(0) |
x (0) |
|
|
|
x (0) |
|
x |
(0) |
|
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
2.2. Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение оригинала:
а. tet cost . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. t sht sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.3. Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оригинал по его изображению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а. |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( p2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 ( p 1) |
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.4. Используя теорему интегрирования изображения, найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изображение функции |
sin t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.5. Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изображение функции: |
|
|
|
|
|
|
|
и |
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
)2 cos2 d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а. |
|
cos(t |
|
|
|
)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.6. Найти оригиналы для функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а. |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
n! |
|
. |
|
|
|
|
|
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
( p |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p 1)(p |
3) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3e 4 p |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
p |
|
||||||||||||
г. |
|
|
. |
д. |
|
. |
|
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
p2 4 p 3 |
p2 2 p 5 |
|
p 2 |
|
|
p |
p2 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
2 pe |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 p 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
19 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ж. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
. |
|
з. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
и. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
е |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 p |
|
12 |
|
|
|
|
|
2 p |
|
8p |
19 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
p |
|
о4 p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3p2 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) . |
|
|
л. |
p3 4 p2 5p . |
м. |
|
p3 |
|
|
p2 2 p . |
||||||||||||||||||||||||||
к. ( p 1)2 ( p |
|
|
|
|
|
2.7. Применяя вторую теорему разложения, найти оригиналы для функций:
91
|
|
а. |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
|
1 |
|
. |
|
|
в. |
|
1 |
|
. |
|
|
|
p2 4 p 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
p |
|
|
|
p4 |
p2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.8. Найти изображение дифференциального выражения при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|||||||||||||||||||||
x (t) 6x (t) |
x (t) |
|
|
2x(t); |
x(0) |
x (0) |
0; |
x (0) |
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.9. |
|
Пользуясь |
|
|
|
|
|
теоремой |
|
|
|
|
Б |
теоремой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
смещения |
|
|
и |
||||||||||||||||||||||
дифференцирования |
изображения, |
найти |
изображение |
оригинала |
|||||||||||||||||||||||||||
t sint . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
найти |
||||
2.10. Пользуясь теоремой об нтегр ровании оригинала, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
изображение функции |
|
t |
cos d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.11. Используя |
т |
|
|
|
|
|
изображения, |
найти |
|||||||||||||||||||||||
еорему |
|
интегрированияр |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
изображение функц |
|
|
|
t |
о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.12. |
Исполь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
уя теорему Бореля об изображении свертки, найти |
|||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
sin(t |
|
)d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
изображение функции |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.13. Найти оригиналы для заданных функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
еа. |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
( p |
1)(p |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
p |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
в. |
|
|
4 p |
. |
|
г. |
|
p 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
д. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
е. |
|
|
|
|
|
2 p 3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p 4 |
|
|
|
|
2 p 2 3 |
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
4 p 2 |
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.1. а. |
|
|
|
p2 |
|
5p |
|
7 |
|
X |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б. |
|
p4 4 p3 2 p2 3p X p |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.2. а. |
|
|
|
|
p |
1 2 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
б. |
1 |
|
|
|
|
|
2 p |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
p |
|
|
1 |
|
|
Т. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Б |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.3. а. 1 |
|
cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. e |
|
|
|
t |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
|
|
|
|
|
arctgp. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.5. а. |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
б. |
|
|
|
|
|
и |
|
2.6. а. tet . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
p2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
p2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
г. e 2tsh t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б. |
t n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в. |
|
e3t |
|
|
|
et . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
д. |
1 |
e |
|
t |
sin 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е. |
e |
2t |
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
t |
4 sin 3 t |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ж. |
|
cos2t |
|
|
2 |
t |
|
1 |
|
ch2оt 1 . |
|
з. 2e3t |
cos |
|
3t |
|
|
|
11 |
e3t sin 3t. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и. |
1 |
3e |
2t |
cos |
|
11 |
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2t |
sin |
11 |
|
. к. |
|
1 |
|
|
t |
|
|
1 |
|
t |
1 |
|
|
2t |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
2 |
t |
|
3 |
te |
|
|
|
|
9 |
e |
|
|
9 |
|
e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
л. |
3 3 |
e |
2t |
cost |
|
|
4 |
e |
2t |
sin t. |
|
|
|
м. |
1 |
|
|
t |
|
|
3 |
e |
2t |
. |
|
|
2.7. а. |
1 |
e |
3t |
e |
t |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
5о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
п1 cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в. t |
|
|
|
sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
г. |
|
1 |
|
sht |
|
|
sin t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.8. |
( p3 |
|
|
6p2 |
|
|
p |
|
|
2)X ( p) |
|
|
|
1. 2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.10. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 |
|
1)2 |
|
p2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.11. |
1 |
ln |
p |
1 |
. 2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2.13. а. |
1 |
(e |
3t |
|
e |
t |
) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
p 1 |
|
p2( p2 |
|
2 p 2) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t . |
|
|
sin 3t cos3t . |
||||
б. |
e |
|
2 sin |
|
|
в. |
||||||||
3 |
2 |
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г. |
2 |
2 |
cos 3t |
|
1 |
sin |
3t . |
|
|
|||||
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д. |
1 (sht |
|
3 |
sin |
|
|
3t) . е. 1 |
|
1 e t |
|
1 e 3t . |
|
|
|
У |
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Т |
|||
З а н я т и е 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Применение операционного исчисления к решению линейных |
|||||||||||||||||||
дифференциальных |
|
|
уравнений и |
|
систем |
Б |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
дифференциальных |
||||||||||||||||
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.1. Найти решения диффе енциальных уравнений при заданных |
||||||||||||||||||||
начальных условиях: |
|
т |
р |
|
|
|
|
|
||||||||||||
а. |
x |
3x |
|
e 2t ; |
x(0) |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б. |
|
|
|
|
|
и |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
x |
2sin t; |
x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в. |
|
|
|
з |
|
0, |
x (0) |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
x |
|
1; x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г. |
|
о |
4; x(0) |
0, x (0) |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
5x |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
д. |
x |
4x |
|
4x |
|
8e 2t ; x(0) |
|
1, x (0) |
1. |
|
|
|
|
|||||||
е |
2x |
|
|
|
|
|
; |
x(0) 1, x (0) |
0. |
|
|
|
|
|||||||
. |
x |
|
x |
e |
t |
|
|
|
|
|||||||||||
ж.пx 4x |
|
sin 2t; x(0) |
1, x (0) |
|
2 . |
|
|
|
|
|||||||||||
з. |
x |
x |
0; x(0) |
|
|
0, x (0) |
|
1, x (0) |
2 . |
|
|
|
|
|||||||
и. |
x |
x |
|
0; x(0) |
|
|
1, x (0) |
|
3, x (0) |
2. |
|
|
|
|
||||||
Рк. |
xIV |
x |
|
sht; x(0) |
x (0) |
|
x (0) |
0, x (0) |
|
1. |
|
|
3.2. Найти общие решения дифференциальных уравнений:
94
а. x 4x 4x e2t . |
|
|
|
|
|
б. x x 2x et . |
|
|
||||||||||||
3.3. Найти решения систем дифференциальных уравнений при |
||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а. |
x |
|
y |
0, |
|
x(0) |
|
1, |
y(0) |
|
1. |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
y |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б. |
x |
|
x |
y |
et , |
|
x(0) |
y(0) |
|
1. |
|
|
|
|
У |
|||||
y |
|
y |
x |
et ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в. |
x |
2y |
3t, |
x(0) |
|
2, |
|
y(0) |
|
3 . |
|
Б |
|
|
||||||
|
|
2x |
4; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||||||
г. |
x |
|
y |
1, |
|
x(0) |
|
y(0) |
|
x (0) |
y (0) |
0. |
|
|||||||
|
y |
|
x |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
x |
|
y |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д. |
|
|
x(0) |
y(0) |
|
1, |
|
x |
(0) |
2, |
y (0) |
0 . |
|
|
||||||
|
y |
|
x |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
р |
й |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е. |
x |
|
y |
0, |
|
|
|
|
о |
|
|
y(0) |
y (0) |
1. |
|
|
||||
|
|
|
2sin t; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
y |
|
x(0) |
|
|
1, |
x (0) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж. |
2x |
x y |
|
|
3sin t |
, |
x(0) |
|
0, |
x (0) |
1, y(0) 0. |
|
||||||||
|
x |
|
y |
sin t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
2y |
x |
|
y |
|
z |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
з. |
x |
|
y |
x |
иz 0, |
|
|
x(0) |
|
y(0) 1, |
z(0) |
2 . |
|
|
||||||
|
п |
зy 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. Найти |
бщее решение системы дифференциальных уравнений |
|||||||||||||||||||
е |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|||||||
3.5. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных |
||||||||||||||||||||
начальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а. |
x |
x |
cost |
|
sin t, x(0) |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
x |
5x |
|
|
6x |
|
|
|
|
12; x(0) |
2, x (0) |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в. |
x |
4x |
|
|
3x |
|
|
|
|
1; x(0) |
|
3, x (0) |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
г. |
x |
3x |
|
|
e 3t ; x(0) |
|
|
0, x (0) |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.6. Найти |
|
общее |
|
|
|
решение |
дифференциального |
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||
x 9x |
cos3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.7. Найти решения систем дифференциальных уравнений при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
У |
||||||||||||||||||||||||||||
а. |
x |
x |
|
|
2y 0, |
|
|
|
|
x(0) |
y(0) |
1. |
|
|
|
Б |
Т |
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
x |
|
|
4y |
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
4y |
|
|
2x |
|
|
|
4t |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б. |
y |
x |
|
|
y |
|
|
3 |
|
t |
2 |
; |
|
|
|
|
|
x(0) |
|
y(0) |
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) й0 . |
|
|
|
|
|||||||
в. |
x |
7x |
|
|
|
y |
|
|
|
5, |
37t; |
|
x(0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y |
2x |
|
|
5y |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
4y |
|
|
|
z, |
|
|
|
|
|
x(0) |
|
|
5, |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г. |
y |
z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4y; |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
(0) |
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответы |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.1. а. |
x t |
|
|
|
e |
2t |
|
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
б. |
x t |
e |
t |
cost |
sin t. |
|
|||||||||||
|
|
п |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2et |
|
e4t . д. x t |
e 2t |
3te 2t |
4t2e 2t . |
|||||||||||||||||||||
в. |
x t |
t. |
|
г. |
x t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
. |
x t |
e |
|
|
t |
1 |
t |
2 |
|
|
|
|
t |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
еж. x t |
|
|
7 sin 2t |
|
|
|
|
1 t cos2t cos2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
8 |
|
|
1t |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
e2 |
sin |
|
t. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
з. |
x t |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96 |
и. x t |
|
1 t |
|
|
2et . |
|
|
|
|
|
|
|
|
к. |
x t |
|
1 |
t ch t |
sin t . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2. а. x t |
|
|
2t |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
C . |
|
|
б. x t |
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
2t |
. |
||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
t |
|
C t |
|
|
|
e |
C |
|
|
|
|
|
|
|
C e |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
3.3. а. |
x t |
|
|
et |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
x t |
|
et , |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x t |
|
|
5 |
|
|
13cos2t |
|
3sin 2t, |
|
|
|
|
|
x t |
|
1 cht |
|
|
1 cost, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Н |
|
|
||||||||||
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. |
|
|
|
|
|
2 |
Т1 |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y t |
|
2 t |
|
3cos2t |
|
4 sin 2t. |
|
|
|
|
|
|
y t |
1 |
2 cht |
|
2 cost. |
|
|||||||||||||||||||
д. |
|
x t |
|
e |
t |
sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е. |
x t |
|
sin t |
|
|
cost, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
sin t |
|
|
cost. |
|
|
||||||
|
|
y t |
|
e |
t |
sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Б |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2e |
|
t , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x t |
|
t cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y t |
|
|
t sin t. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
y t |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z t |
|
e |
t |
3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.4. |
x t |
|
C1 |
|
|
C2 sin t |
|
C3 cost |
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y t |
|
C |
|
|
|
C sin t |
|
C |
|
cost |
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
т2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
о |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.5. а. sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
п |
з3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|||||||||||||
в. 3 3e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. 9 (e |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
e |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
3.6. |
C cos3t |
|
C |
|
sin 3t |
|
|
t |
sin 3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е x 4e 2t |
|
|
|
3e 3t , |
|
|
|
|
б. |
x |
t 2 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.7. а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р |
|
|
y |
|
3e |
|
|
3t |
|
|
|
2e 2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 t 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
x |
1 |
t |
e |
6t cost, |
|
x |
1 3e2t |
e 2t , |
||
в. |
г. |
y e2t |
e 2t , |
||||||||
|
1 |
7t |
|
e 6t cost e 6t sin t. |
|||||||
|
y |
|
|
z |
2e2t |
2e |
2t . |
З а н я т и е 4 |
|
|
|
У |
Элементы комбинаторики |
|
|
Т |
|
|
Н |
|
||
Аудиторная работа |
|
|||
|
|
|
||
|
Б |
|
|
|
4.1. В соревнованиях участвует 8 команд. Сколько может |
||||
быть вариантов при распределении мест между ними? |
|
|
||
4.2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове |
||||
ДИПЛОМ? |
азнести телеграммы по шести |
|||
4.5. Рассыльному п |
||||
4.3. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь |
||||
друг за другом? |
|
|
|
|
различным адресам. Ск лько различных маршрутов он может |
|
|||
4.4. Сколькими способами можно расположитьй |
в ряд на книжной |
|||
полке 5 различных книг? |
|
|
|
|
выбрать? |
|
|
|
|
|
4.6. При встрече 9 человекрученообменялись рукопожатиями. Сколько |
|||||
было сделано всего рукопожатийт |
? |
|
|
||
4.7. Сколькими способами можно выбрать три различные краски |
|||||
из имеющихся пятии? |
|
|
|
||
4.8. Ск лькимизспособами |
можно |
составить |
трехцветный |
||
полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? |
|||||
4.9. Изо12 разведчиков в разведку необходимо отправить троих. |
|||||
Сколькими с особами можно сделать выбор? |
|
||||
|
п |
|
|
|
|
4.10. Сколькими способами можно выбрать три лица на три |
|||||
одинаковые должности из десяти кандидатов? |
|
||||
4.11. Сколькими способами можно выбрать три лица на три |
|||||
различные должности из десяти кандидатов? |
|
||||
Р |
|
выпускников |
школы |
решили |
обменяться |
4.12. 25 |
фотокарточками. Сколько было всего заказано фотокарточек?
98
4.13.Сколько различных диагоналей можно провести в восьмиугольнике?
4.14.Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 15 языков бывших союзных республик?
4.15.Найти число способов, которыми можно рассадить за столы по два студента группу из 20 человек. УТ
4.17. Найти |
число |
способов, которыми можно выбрать |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
делегацию в составе 15 человек из группы в 20 человек. |
||||||||||||||
4.18. Подрядчику |
нужны четыре плотника, а к нему с |
|||||||||||||
предложением |
своих |
услуг |
обратились десять. |
Сколькими |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
способами он может выбрать среди них четверых? |
|
|
||||||||||||
4.19. На окружности выбрано 10 точек. СколькоБможно провести |
||||||||||||||
хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с |
||||||||||||||
вершинами в этих точках? |
|
р |
|
|
|
|||||||||
4.20. Колода игральных ка т насч тывает 52 различные карты. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|||
Сколькими способами можно сдатьи13 карт на руки одному игроку? |
||||||||||||||
4.21. Сколькими сп с бами |
|
можно составить |
комиссию в |
|||||||||||
мужчины. |
|
|
|
могут |
|
|
|
|
|
|
||||
составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, |
||||||||||||||
если: а) |
|
|
|
и |
|
входить любые трое из данных восьми |
||||||||
в комиссию |
|
|
||||||||||||
человек; |
|
б) ком сс я должна состоять из двух женщин и одного |
||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.22. |
Сколько |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
четырехбуквенных слов можно образовать из букв |
|||||||||||
слова САПФИР? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.23.пД казать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв, составляющих слово ГИПОТЕНУЗА, равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово ПРИЗМА.
Р4.24. Сколькими способами можно распределить первую, вторую и тр тью пр мии на конкурсе, в котором принимают участие 20 человек?
4.25. Сколькими способами можно выбрать 5 радиоламп из партии, содержащей 15 ламп?
4.26. Курс охватывает 10 разделов теории вероятностей и 8 разделов других дисциплин. Экзаменационный билет по курсу состоит из пяти вопросов: три – по теории вероятностей и два – по
99