Задачи с решениями по сопромату
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Определим значение ординат единичных эпюр, расположен- |
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ных под центрами тяжести соответствующих им грузовых эпюр: |
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|
|
y4 |
|
|
y5 |
1 |
|
|
18 |
1 |
|
|
2,5 |
2 |
|
2,5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
6,5 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2F |
|
|
|
|
EI X |
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
EI X |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
|
|
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3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
EI X |
80
Если грузовая и единичная эпюры имеют разные знаки, то перед произведением площади эпюры на ординату под центром ее тяжести ставится знак «минус».
Решаем систему канонических уравнений:
|
1,67 |
X1 |
|
|
0,5 |
X 2 |
|
7,66 |
|
0, |
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|
|
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|
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||||||||||
|
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||||||||||
|
EI X |
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|
|
EI X |
|
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|
EI X |
|
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|
|
|
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|
||||||
0,5 |
|
X1 |
|
1,67 |
|
|
|
6,5 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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EI X |
|
|
|
EI X |
|
|
EI X |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
Н |
У |
||||||
1,67X1 |
|
0,5X 2 |
|
7,66 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0,5X1 |
|
1,67X 2 |
|
6,5 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
X1 |
3,76кН м, Х 2 |
|
|
|
2,77кН м. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Для построения эпюры поперечных сил определим реакции |
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
й |
|
|||
опор. Рассмотрим равновесие всех пролетов раздельно, приклады- |
|||||||||||||||||||||||||||
вая к ним, кроме заданной нагрузки, на денныеБопорные моменты |
|||||||||||||||||||||||||||
(рис.5.3, 5.4). |
|
|
|
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|
и |
|
|||||||||||
|
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Участок АС: |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||
|
|
M B |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
YC 2a m q 2a a mB |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
р7,76 |
|
|
|||||||||||
|
YC |
2 |
12 8 2 1 3,76 |
0,YC |
|
|
|
|
3,88кН . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M C |
|
0, |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
YB 2a m q 2a a mB |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24,24 |
|
|
|
||||||||
YB |
2 |
|
12 |
|
8 2 1 |
|
3,76 |
|
0,YB |
|
|
|
|
|
12,12кН . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Y |
3,88 |
|
12,12 |
8 |
|
2 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Участок CD: |
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
M C |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
YD |
3a |
|
q 3a 1,5a |
mB |
|
mC 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
YD |
3 |
8 |
3 1,5 |
3,76 |
2,77 |
|
|
0,YD |
35,01 |
|
11,67кН . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M D |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
YC |
3a |
mB |
q 3a 1,5a |
mC |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||
YC |
3 |
3,76 |
8 |
|
3 1,5 |
2,77 |
|
0,YC |
|
36,99 |
|
12,33кН . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Н |
|
||
Y |
11,67 |
12,33 |
8 3 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||||||||
Участок DK: |
|
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|||||||
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|||||||
|
M D |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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YK |
2a |
F |
a |
mC |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12,77 |
и |
|
|
|
|
|||||||
YK |
2 |
10 1 |
|
2,77 |
0;YK |
|
|
|
|
|
6,39кН . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
й |
|
|
||||
|
M K |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
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|||||||||
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||
|
YD |
2a |
F |
|
a |
|
mC |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
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|
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|
о |
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
7,23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
YD |
2 |
10 1 |
2,77 |
0,YD |
|
|
2 |
|
|
3,61кН . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
6,39 |
|
3,61 |
10 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Заменяя опоры реакц ями, строим эпюру поперечных сил. На |
|||||||||||||||||||||||||
опорах C и D сумм руем реакции (рис. 5.4). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
QB |
|
12,12кН , |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
п |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
QC (левее) 12,12з8 2 |
|
|
3,88кН , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Qлевее( ) |
|
3,61 |
10 |
6,39кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
QC |
( равее) |
|
3,88 |
16,21 |
12,33кН , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
QD (л в |
) |
12,33 |
8 |
3 |
|
|
11,67кН , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QD (прав |
) |
|
|
11,67 |
8,06 |
|
|
3,61кН , |
|
|
|
|
|
|
|
E
82
Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4):
M A |
|
|
|
12кН |
м, |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||
M B |
|
|
|
12кН |
м, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M C |
|
|
12 |
12,12 2 |
8 2 1 |
|
3,76кН |
м, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
M D |
|
|
12 |
12,12 5 |
8 5 |
2,5 |
16,21 3 |
2,77кН |
м, |
|
У |
||||||||||||||||
M E |
|
|
12 |
12,12 6 |
8 5 3,5 |
8,06 1 |
16,21 4 |
|
6,38кН м, |
||||||||||||||||||
M K |
|
|
12 |
12,12 7 |
8 5 |
|
4,5 |
8,06 2 |
10 16,21 5 |
0. |
Т |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Определим значение изгибающих моментов в точках z1 и z2: |
|||||||||||||||||||||||||||
z1 |
|
|
QB |
|
12,12 |
|
1,515м, |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M Z |
|
|
|
|
12 |
|
12,12 1,515 |
|
8 1.5152 |
|
|
2,82кН м. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
||||
z2 |
|
|
|
QC |
12,33 |
1,541м, |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
||||
M Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5412 |
|
|
|
5,762кН м. |
||||||
|
|
|
|
12 |
12,12 3,541 8 |
|
|
|
|
16,21 1,541 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
Проведем проверку правильн сти |
асчетов. Перемножаем окон- |
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чательную эпюру изгибающихрм ментов на единичные (рис. 5.5). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Рис.5.5 Эпюра изгибающих моментов и единичные эпюры.
83
|
1 |
|
12 2 12кН м2 , f |
|
ql2 |
|
8 22 |
4кН м, |
|||
1 |
2 |
|
1 |
8 |
|
8 |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
4 2 5,33кН м2 , |
|
|
1 |
|
3,76 2 |
3,76кН м2 , |
||
2 |
3 |
3 |
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2,15%. |
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Недогрузка балки составляет: |
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Проверим балку по касательным напряжениям:
84
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Q |
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S |
отс |
12,33 103 |
33,7 10 |
6 |
6 |
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350 10 8 |
0,48 10 2 |
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350см4 ,b |
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0,48см. |
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Определим прогибы посредине каждого пролета балки. Для этого |
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в основной системе в каждом пролете приложим единичную силу и |
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построим единичные эпюры (рис.5.6, 5.7, 5.8, 5.9 ). |
Т |
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Осуществим перемножение грузовой эпюры на единичную. Рас- |
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смотрим каждый участок балки: |
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Р с.5.6. Грузовая и единичная эпюры. |
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Участ к АС |
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О ределим пл щади элементов эпюры изгибающих моментов и |
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знач ния ординат под их центрами тяжести. |
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Р |
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12 1 12кН |
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12кН |
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2 |
2 |
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3,76кН м2 , |
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2 |
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2 |
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4 2 5,33кН м2 |
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3 |
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Прогиб в точке А равен: |
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5,33 |
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Участок ВС. |
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Определим величину изгибающего момента в точке L: |
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M L |
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12,12 1 |
8 1 05 |
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Рис.5.7. Гру |
вая и единичная эпюры участка балки ВС. |
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Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассчитываем аналогично: |
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3,76 1 |
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1,88кН м2 , |
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Рис.5.8. Груз вая и единичная эпюры участка балки СD. |
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Б |
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Рис.5.9. Грузовая и единичная эпюры участка балки DK. |
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Участок DK. |
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эпюры2 |
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Определим площади элементов |
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йзг бающих моментов на |
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участке и ординаты под цент ами |
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3,19 |
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Подберем сечение балки из прокатного двутавра. Условие прочности:
89