- •7. Дисперсионный анализ
- •7.1 Основные понятия
- •7.2 Однофакторный дисперсионный анализ
- •7.2.1. Теория однофакторного дисперсионного анализа
- •7.2.2. Планирование эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе.
- •7.3 Двухфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1. Общие теоретические соображения
- •7.3.2. Планирование эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе
- •7.3 Трёхфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1 Общие теоретические соображения
- •7.3.3. Планирование эксперимента при трёхфакторном дисперсионном анализе
- •7.4. Многофакторный дисперсионный анализ
- •7.4.1. Общие теоретические соображения
7.3 Трёхфакторный дисперсионный анализ
7.3.1 Общие теоретические соображения
При проведении трёхфакторного дисперсионного анализа начинают с ещё более сложной модели «чёрного ящика» (см. рисунок) исследуемой системы. Здесь рассматриваютсятриодновременно воздействующих на систему фактора: А, В, и С. Каждый из них будет варьироваться на нескольких уровнях: а1,а2,а3,..,аi, .. ,аn , b1,b2,b3,….bj, ...,bm и c1,c2,c3,..,cp, .... ,ck , конкретные значения которых впредь будут обозначаться: аi, bjи cp. Здесь и везде нижеi = 1,2,3, .n; j = 1,2,3, ..m; p = 1,2,3, ..k.
Здравый смысл и очевидные соображения
ИССЛЕДУЕМАЯ подсказывают, что для выявления одновремен-
СИСТЕМА ного влияния факторов А, В и С на величину
Фактор АОтклик Y откликаyследуетнесколько (здесь– n); раз
измерить этот отклик при разныхуровнях фак-
Фактор В тора А (например:а1,а2,а3,....аn) приодном
Фактор С и том же(например, приbj) уровне фактора
В и при одном и том же(например, приср)
Рис. 7.5уровне фактора С. Получив при этомnштук (y1jр,y2jр, y3jр, y4jр, ..yn jр), по всей видимости разных, значений отклика, следуетпроделать этоже ещёm-1 раз (изменяя каждый раз уровень фактораBи повторяя каждый развсеуровни фактораA), получив в итоге ужеnm;штук (yi1р,yi2р, yi3р, yi4р, ...yimр), разных, значений отклика. И, наконец, проделатьвсе эти последовательности операций ещёn-1 раз, изменяя перед каждым новым циклом эксперимента уровень фактора С. При этом, очевидно, что каждое конкретное значение yijриз множества{yijр}(теперь уже объёмомN=nmk) измеренных значений отклика будет складываться из реального среднего значения
Y~yijр, прибавки к нему ± Δyi, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора А на данном уровне (уровне аi), такой же прибавки ± Δyj, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактора В, на очередном (bj) уровне, прибавки к нему ± Δyp, обусловленной влиянием (если такое влияние имеет место) фактораCна данном его уровне, (на уровне cp) и ошибки ±έijp измерительного прибора.
Фиксируем этот факт математически: yijp =Y± Δi ± Δj± Δyp±έijp. Это равносильно (yijp – Y)= (± Δyi± Δyj± Δyp ±έijp) и говорит о том, что дисперсияσ2 Генеральной совокупности{y}возможных реальных значение отклика слагается из четырёх составляющих:
- σέ2 – дисперсии, обусловленной неточностью измерений т.е.ошибкой ±έijp;
- σА2 – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактора А;
- σВ2 – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактора В;
- σC2 – дисперсии, обусловленной ожидаемым влиянием фактораC.
Аддитивность дисперсии позволяет записать: σ2 = σА2 + σВ2 + σС2 + σέ2
Таким образом, и здесь, как и раньше, при обработке данных эксперимента встаёт задача разделениясоставляющих общей дисперсии. Способы такого разделения были очень подробно рассмотрены в предыдущих параграфах. Там они позволили нам записать «универсальное соотношение» между общей дисперсией (σ2), дисперсией воспроизводи-мости (σέ2) и факторными дисперсиями (σА2,σВ2 иσС2). Это соотношение при обобщении его на случайS факторов (тогдаразныефакторы удобнее обозначать не разными символами А, В, и С, аодним символом Х сразными индексами,–условными номерами данного фактора в данном эксперименте: Х1, Х2, Х3,..S. В таком случае «универсальное соотношение» выглядит следующим образом:(έ) = [СК∑ –КЧi +КЧ∑]. Здесь большое (S штук) количество индексов у остаточной суммы квадратов (έ), связанной с дисперсией воспроизводимости не проставлено – оставлен единственный индекс «έ», который и означает, что речь идёт о параметре, связанном не с исследуемыми, а со случайными факторами. Индекс «∑» у всеобщей суммы квадратов (СК∑) и у квадрата суммы всех значений отклика в эксперименте (КЧ∑) заменяет те же Sштук индексов 1,2,3, . Sобозначавшие условные номера исследуемых факторов. При не очень большом количествеS исследуемых факторов (у нас их здесь только три) ещё удобнее оставить и «старые» обозначения, например,(Σ1)=(ΣА),(Σ2)=(ΣВ)и(Σ3)=(ΣС)