P6_11_2012

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

Задача 3. Точечный монохроматический источник света S равномерно движется параллельно плоскости, в которой имеются два маленьких отверстия на расстоянии a друг от друга; расстояние от траектории источника до плос-

кости равно l (рис. 4.3). Приѐмник света A расположен на оси системы и регистрирует периодически изменяющуюся освещѐнность. Определите ско-

рость v движения источника S , если частота	колебаний интенсивности
f 15 Гц . Длина волны 6 10 7 м , a 2 мм ,	l 1 м . Во время измере-

ния источник движется вблизи оси системы. (МФТИ, 1981)

Решение. Период T колебаний интенсивности света в приѐмнике A равен T 1/ f . За время T источник S сместится на расстояние y vT . При этом интерференционная картина сдвинется на ширину одной полосы, т. е. на

величину y d . Согласно (4.3)

d / . Если через

l обозначить расстояние от плоскости до приѐмника, то

a / l . Таким образом, используя (4.4), получим:

vT

l

l

l

l

, откуда v

l f

.

l

l a

a

a

Знак «минус» указывает на то, что интерференцион-

ная картина смещается в сторону, противоположную

направлению движения источника

S . Модуль скорости

Рис. 4.3

v равен

v

4,5 10 3 м/с .

Задача 4. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения зависимости показателя преломления газов от давления по смещению интерференционной картины. Для этого на пути одного из интерференционных лучей ста-

вится кювета Г прямоугольной формы длиной

P

L 10 см с исследуемым газом (рис. 4.4), а на

Г

пути другого – стеклянный компенсатор K , с по-

L

мощью которого добиваются, чтобы в центре ин-

K

терференционной картины разность хода между

интерферирующими лучами равнялась нулю. Ка-

кое минимальное изменение показателя прелом-

Рис. 4.4

ления n можно измерить в таком приборе? Счи-

тать, что минимальное надѐжно регистрируемое смещение интерференционной картины в плоскости наблюдения P соответствует появлению на месте центрального максимума первого минимума. Наблюдение ведѐтся на длине волны 0,6 мкм . (МФТИ, 1991)

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

11

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

Решение. Изменение фазы луча, на пути которого стоит кювета, равно

nLk, k 2 / .

Условие появления на месте центрального максимума первого минимума,

согласно (3.2), есть									.
			2		2
Или	2	nL		n					n	0,6 10 6		м	3	10 6.
						2L				2	0,1 м

Элементы релятивистской динамики

§5. Введение

К началу XX века накопилось большое количество экспериментальных данных о величине скорости света, и эти данные подвели учѐных к неожиданному заключению.

Во всех инерциальных системах отсчѐта скорость света в вакууме одинакова. (I)

После этого ещѐ в течение нескольких десятилетий экспериментаторы совершенствовали технику и методику измерений, получая значение скорости света со всѐ большей точностью. Наконец в 1983 году на заседании Генеральной конференции по мерам и весам было принято решение считать величину скорости с света в вакууме равной 299792458 м/с точно.

Заключение (I) поставило перед научным миром массу задач. В ходе их разрешения была создана новая теория – специальная теория относительности, или сокращенно СТО.

В фундаменте СТО лежат два принципа:

1)принцип постоянства скорости света (I);

2)принцип относительности (II).

Современная трактовка принципа относительности имеет следующий вид.

Законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой инерциальной системе отсчѐта относятся эти изменения. (II)

§6. Основные соотношения релятивистской динамики

Поскольку скорость света постоянна в любой инерциальной системе отсчѐта (ИСО), логично выражать все другие скорости перемещения не в привычных нам единицах, например, метрах за секунду, а в долях от величины с. Особенно удобно такое обозначение для скоростей, соизмеримых со скоро-

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

12

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

стью света. Итак, определим безразмерную скорость так: vc . Обозначим

символом E полную энергию исследуемого нами материального объекта, а символом p его импульс. Стрелка над значком p означает, что импульс –

векторная величина.
Оказывается, между импульсом и энергией существует простая связь:
p	E	.	(6.1)
	c

По известному импульсу и энергии объекта можно легко определить его

	массу:
		1
	m			E2 (cp)2 .		(6.2)
		c2

В физике элементарных частиц импульс и массу удобно выражать в энергетических единицах. Импульс, выраженный в этих единицах, следует представить в виде cp . Тогда формула (6.1) примет вид:

cp E.			(6.3)
Аналогичным образом, масса записывается как			mc2 , а формула (6.2) при-
нимает вид
mc2	E2 (cp)2 .		(6.4)

В дальнейшем мы, как правило, будем пользоваться именно таким пред-

ставлением импульса и массы.
Для объектов, находящихся в состоянии покоя,	0. Следовательно, ра-
вен нулю и импульс (6.3). Обозначая энергию покоящегося тела символом E0 ,
мы из формулы (6.4) получим
mc2 E .	(6.5)
0

Подчеркнѐм, что здесь масса m имеет такой же смысл, как и в ньютоновой механике, т. е. еѐ величина не зависит от выбора ИСО.

Во многих отечественных школьных учебниках и в ряде научнопопулярных книг понятие массы используется, по крайней мере, в двух смыслах:

а) масса – как масса покоящегося тела (еѐ, как правило, обозначают симво-
лом m0 ;
б) релятивистская масса.
Последняя обычно задаѐтся одним из двух соотношений:
M	E ,	(6.6)
	c2

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

13

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

M	m0
	1 2 .	(6.7)

Формулу (6.6) ввѐл в употребление знаменитый французский математик и физик-теоретик Анри Пуанкаре в 1900 году, то есть задолго до создания СТО.

Формулу (6.7) широко использовал один из основоположников СТО – Альберт Эйнштейн. Но он же одним из первых (в 1948 г.) заметил: «Нехорошо

	v	2		2	1 2
вводить понятие массы тела M m 1			c		, для которого нельзя дать

ясного определения. Лучше не вводить никакой другой массы, кроме массы покоя m ». Добавим, что сейчас в школьных учебниках физики в США, Англии и ряде других стран понятие массы вводится аналогично тому, как мы это сделали выше (формула (6.2)), а формулы (6.6) и (6.7) не употребляются.

Введѐнное нами понятие массы совпадает с определением массы покоя, но поскольку никаких других понятий массы мы не вводим, индекс «0» у символа массы не нужен.

Для изучения последующего материала введѐм еще два определения:

1) кинетической энергией Eкин движущегося объекта будем называть разницу между его полной энергией и энергией покоя:

Eкин E E0 .

(6.8)

В задаче 6.2 мы покажем, что при малых скоростях это выражение совпадает с классической формулой для кинетической энергии;

2) релятивистским фактором (или Лоренц-фактором) называется коэффициент , показывающий, во сколько раз энергия движущегося тела больше

его энергии покоя:
	E	.	(6.9)
	E0
Само собой разумеется, что всегда 1.

Примечание. Релятивистский фактор определен только для объектов, об-

ладающих массой.
Задача 6.1. Докажите, что и	взаимозависимые величины.
Решение. Подставим (6.3) и (6.5) в (6.4):							E2		E2		( E)2 , откуда
								0
E2 (1 2 ) E02 ,					E			2			1	.
											2
			E0						1
С учѐтом формулы (6.9) окончательно получим:
			1				.				(6.10)
		1 2

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

14

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

В дальнейшем, во избежание громоздких формул, мы часто будем использовать символ , определѐнный согласно (6.9) или (6.10).

Задача 6.2. Докажите, что при малых скоростях ( 1) формула (6.8)

переходит в классическое выражение для кинетической энергии. Примечание. В математике есть формулы для приближѐнного вычисления

алгебраических выражений, содержащих малый параметр. Так, для		чисел
x 1	и действительных a таких, что ax 1, применима формула
	(1 x)a 1 ax.	(6.11)

(Убедитесь в еѐ справедливости на придуманных вами численных примерах.) Решение. Выражение для кинетической энергии:

Eкин E E0 E0 E0 ( 1)E0 .

Согласно формулам (6.10) и (6.11)

1 (1			2 ) 1/ 2		1					2				1		2
								1								.
										2						2
Отсюда
		2		v 2					mc2				mv2
Eкин			E0												.	(6.12)
		2							2					2
				c

В заключение заметим, что энергии, с которыми приходится иметь дело в микромире, столь малы, что если их измерять в знакомых вам джоулях, придѐтся использовать множители, содержащие более десяти нулей. Поэтому была придумана специальная единица – электрон-вольты (сокращенно эВ). Известно, что минимальный свободный заряд, встречающийся в природе, равен

заряду электрона (e 1,6 10 19 Кл) . Частица с таким зарядом, преодолев разность потенциалов в один вольт, изменит свою энергию на 1эВ. Следовательно, 1 эВ 1,6 10 19 Дж . Кинетическая энергия «внешних» электронов в ато-

ме обычно не превышает двух десятков электрон-вольт. Примерно такую же энергию необходимо затратить на то, чтобы «оторвать» от атома эти электроны.

§7. Законы сохранения

Начнѐм с энергии.

1. В любой ИСО энергия системы, т. е. некоторой совокупности частиц (тел, объектов), не взаимодействующих на расстоянии, как между собой, так и с внешним миром, равна сумме энергий всех частиц, входящих в эту совокупность:

Eсист Ei . i

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

15

E mcв T , где

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

Величины, подчиняющиеся такому правилу, называются аддитивными (от латинского слова additivus – прибавляемый).

2. Во всѐм диапазоне скоростей исследуемых материальных объектов выполняется закон сохранения энергии. Иными словами, если мы сравним энергию системы частиц до и после их взаимодействия (под взаимодействием мы здесь понимаем упругие столкновения, распад), то оказывается справедливым следующее равенство:

N1	N2
Ei	Ek' .	(7.1)
i 1	k 1

Здесь N1 – число частиц до взаимодействия, N2 – после него. Вообще говоря,

N1 может отличаться от N2 .

Заметим, что в общем случае необходимо учитывать ещѐ и потенциальную энергию U их взаимодействия. Например, энергия системы двух заряженных

частиц
Eсист E1 E2 U12 .	(7.2)

Перейдѐм к импульсу.

а) Импульс, как и энергия, обладает свойством аддитивности, т. е. импульс системы частиц равен векторной сумме импульсов частиц, входящих в эту

систему: pсист pi .

i

б) Закон сохранения импульса имеет такой же вид как и в классической фи-

N1	N2
зике: pi	p k .
i 1	k 1

§8. Дефект массы

Обычно у учащихся после изучения школьного курса физики создаѐтся впечатление, что дефект массы наблюдается только в ядерных или термоядерных реакциях. Это не так!

Дефект массы – самое заурядное и распространѐнное явление.

Задача 8.1. Ученик ФЗФТШ наливает в чайник из водопроводного крана 2 литра воды t 14 C , ставит его на плиту и доводит до кипения. Предпо-

ложим, что испарения не происходит. На сколько изменится масса воды в чайнике?

Решение. Согласно (6.4) mc2 E2 (cp)2 , а так как p 0 (центр масс воды как до, так и после нагрева покоится), то mc2 E . Во время нагрева воды ей была передана дополнительная энергия

св 4,186кДж/ кг o C удельная теплоѐмкость воды. Тогда	mc2 E.
Относительное увеличение массы
2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

16

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

m		c T			m		4,186 103 86	4	10 12.
		в
m		c2			m		(3 108 )2
Для атомного ядра дефект массы даѐтся формулой
			mсист Zmp Nmn m(Z, N),

где mp , mn и m(Z, N ) – масса протона, нейтрона и атомного ядра соответ-

ственно, Z и N – число протонов и нейтронов в атомном ядре.

Задача 8.2. Докажите, что масса атома водорода меньше суммы масс составляющих его протона и электрона. Считать, что скорость электрона в атоме мала ( 1) .

Решение. Атом водорода – это связанная система. Согласно (6.4) и (7.2)

(Ep Eе U )2 (cpp cpe )2 (mHc2 )2 .

Здесь Ep – энергия протона, Ee – энергия электрона, а mH – масса атома во-

дорода.

По условию задачи атом водорода можно

считать покоящимся, т. е.

cp

p

cp 0.

Из этих формул следует E

p

+ E +U = m c2

,

или с учѐтом

e

е

H

(6.8),

m

c2

E

m c2

E

U m c2 .

(8.1)

p

кин(p)

e

кин(e)

H

Поскольку

β 1,

кинетическая энергия каждой из частиц может быть

вычислена по классической формуле. Поскольку

Eкин(p)

e

5 10 4

1,

(8.2)

m

Eкин(e)

mp

кинетической энергией протона можно пренебречь. Дефект массы атома водорода m (mp + me ) mH . Тогда с учѐтом условия (8.2) формулу (8.1) можно представить в виде

mc2 U E	.	(8.3)
кин(e)

св

кин

Рис. 8.1

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

17

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

Величина Eсв U Eкин(e) называется энергией связи электрона с ядром

(рис. 8.1). Численно она равна энергии, которую нужно затратить на ионизацию атома водорода.

Потенциальная энергия атома водорода обусловлена кулоновским взаимодействием электрона с протоном. Она отрицательна и может быть найдена по известной формуле:

	U k	e2	.			(8.4)
		r
	В этих же обозначениях закон Кулона имеет вид			F k	e2	. Здесь e – мо-
					r2

дуль заряда электрона или протона, а k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Предположим, что электрон движется по круговой орбите радиуса r . Его центростремительное ускорение обеспечивается кулоновским притяжением:

m	v2	k	e2	.
e	r		r2
Последнюю формулу легко привести к виду:

me v2

k

e2

2

.

(8.5)

2

r

С учѐтом (8.4) получается

2Eкин(e) U.

(8.6)

Подстановка (8.6) в (8.3) даст mc2

E

, или с учѐтом (6.12)

кин

mс2

m v2

m m

2

e

.

2

e

2

Примечание. В дальнейшем мы покажем, что максимальная скорость

электрона,	движущегося по круговой орбите в атоме водорода, равна
1/137	, откуда m / m 3 10 5 .
	e
	Физика атомов и атомного ядра

§9. Атомная энергетика. Термоядерный синтез

Итак, протону и электрону энергетически «выгодно» объединиться в атом водорода. Можно сделать даже более сильное утверждение: всякая физическая система стремится занять состояние с наименьшей потенциальной энергией.

Это общий принцип, в физике он столь же важен, как и принцип Ферма в оптике. Согласно этому принципу атомы объединяются в молекулы, лѐгкие

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

18

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

ядра сливаются в более тяжѐлые, ядра тяжѐлых элементов (уран, плутоний, радий) распадаются на более лѐгкие осколки. При этом выделяется энергия, равная дефекту массы исходной системы.

Измерения масс атомных ядер показали, что практически любой наперѐд заданный химический элемент представляет собой смесь атомов с одинаковым числом протонов, но разным числом нейтронов. Атомные ядра одного и того же химического элемента с разным числом нуклонов называют изотопами. Эти изотопы обладают одинаковыми химическим свойствами, но часть из них стабильны, а другие обладают разным временем жизни и распадаются по разным схемам на разные частицы. Стабильными (устойчивыми) являются лишь те ядра (и, соответственно, изотопы), у которых минимальна энергия связи по сравнению со всеми другими ядрами, в которые данное ядро могло бы превратиться.

На рисунке 9.1 приведена зависимость энергии связи (приходящейся, в среднем, на один нуклон атомного ядра) от числа нуклонов в ядре. Нуклон – это общее название для протонов и нейтронов. Именно из них состоят ядра всех химических элементов.

,

	1				1
			1
	2
	3
	4						св	св
			6
	5
				3
	6						4
	7						2	235
								92

8

9

Рис. 9.1

Задача 9.1. Пользуясь диаграммой, представленной на рис. 9.1, укажите, ядрам каких элементов «выгодно» распасться на два осколка, а каких – слиться образовав новое ядро. Оцените энергию, выделяющуюся при распаде ядра

урана 23592U на два примерно равных осколка (здесь и далее подстрочный ин-

декс указывает число протонов, а надстрочный – число нуклонов в ядре). Решение. Наибольшая (по абсолютной величине) энергия связи, приходя-

щаяся на нуклон, соответствует ядру железа. Следовательно, ядра тяжелее

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

19

2012-2013 уч. год, №6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики

железа склонны к распаду, а более легкие – к синтезу. Другими словами, если после распада исходного «материнского ядра» осколки будут иметь большую (по абсолютной величине) энергию связи, т. е. на диаграмме энергий окажутся ниже исходного ядра, то такой процесс может произойти. Аналогичные рассуждения справедливы и для синтеза (слияния) ядер.

Предположим, что уран распадается на два примерно равных осколка. Согласно энергетической диаграмме, приведенной на рис. 9.1, в продуктах деле-

ния урана на один нуклон приходится энергия связи Eсв 8,5 МэВ/нукл. Для

урана получим	E (U) E		(U) A или численно
	св	св

Eсв (U) 7,6 нуклМэВ. 235 нукл. 1786 МэВ.

Для продуктов деления урана Eсв оск 2 Eсв Аоск , откуда

Eсв (оск) 2 8,5 нуклонМэВ 117 нукл. 1990 МэВ.

Следовательно, при распаде ядра 23592 U выделяется энергия

E Eсв оск Eсв U 200МэВ.

В пересчѐте на нуклон это составит приблизительно 0,84 МэВ.

Кажется, всѐ просто и ясно. Но почему в таком случае до сих пор не распались элементы тяжелее железа? Почему лѐгкие ядра не объединились в более тяжѐлые?

Дело в том, что выше мы рассматривали только принципиальную возможность слияния или распада ядер. Сам же механизм этой реакции нас не интересовал. А весь секрет как раз и состоит в том, чтобы запустить этот механизм.

Задача 9.2. Оцените энергию, выделяющуюся при слиянии ядер лития 63 Li

и дейтерия 21 H (изотопа водорода, ядро которого состоит из одного протона и

одного нейтрона. Часто его обозначают символом D ). Процесс слияния ядер дейтерия и лития идет в два этапа:

1 этап:	6 Li 1 n 4 He 3 H,				2 этап:	2 H 3 H 4 He 1 n.
	3	0	2	1		1	1	2	0

Нейтроны, подобно катализаторам в химических реакциях, используются только как промежуточное звено и, прореагировав в одном цикле, могут вступать в другой.

Решение. Оценим энергию связи исходных (1) и конечных (2) продуктов:

Eсв (1) Eсв (Li) Eсв (D), откуда

Eсв (1) 5 нуклонМэВ 6 нуклон 1 нуклонМэВ 2 нуклон 32 МэВ,

Eсв 2 Eсв He Eсв He , откуда

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

20