1.Литературный обзор

1.1X-Ray Free Electron Lasers

Для полноценного постижения и понимания физических и биологических феноменов необходимо изучить, каким образом устроены и функционируют молекулы и отдельно взятые атомы, как внутри них перемещаются электроны. Имея возможность пристально пронаблюдать структуру и перемещения этих частиц позволило бы разработать лекарства для трудноизлечимых болезней и изучить влияние вредных химических веществ на окружающую среду.

С этой целью, человечество разрабатывает все более коротковолновые инструменты анализа, что позволяет детально изучать объекты все меньшего размера.

Рентгеновское излучение (X-Rays) является одним из этих рубежей. Оно было открыто в 1895 году Вильгельмом Рентгеном, и наиболее хорошо они известны людям за их применение в медицине. Рентген - это излучение с существенно более короткой длиной волны, нежели видимый свет. В дополнение к медицинскому применению, они также могут быть использованы для исследования микроструктур на атомарных и молекулярных масштабах.

Еще одним из ключей для получения качественной информации является когерентность излучения. Высоко когерентные фотоны позволяют получить существенно более качественные данные о молекулах, атомах, их структуре и движении. При использовании лазерного излучения, на выходе получается дифракционное изображение исследуемой атомарной структуры, что позволяет узнать гораздо больше о ее пространственном устройстве.

В отличии от традиционных источников света, XFEL-лазер использу-

5

ет быстро осциллирующие электроны для получения необходимой длины волны, разгоняя их до высоких энергий, и затем управля их траекторией с помощью мощных попеременных магнитных полей. Поскольку в процессе генерации такого излучения используются электроны, отделенные от атомов, лазер получил название “Лазер на свободных электронах”.

1.2Методы анализа

Более десятиления назад возниклки идеи определения структуры отдельных молекул посредством дифракции на сверхкоротких рентгенных импульсах, полученных из лазера на свободных электронах (X-Ray free electron laser, XFEL) и сверх пределов допустимого количества излучения (Neutze et al., 2000; Hajdu, 2000). И хотя ранние работы предвидели получение трехмерных структур отдельных молекул (Miao et al., 2001, 2004; Webster & Hilgenfeld, 2002; Huldt et al., 2003), недавние эксперименты показали лишь молекулы назмером в несколько сотен и разрешением порядка единиц (Chapman et al., 2006, 2011; Barty et al., 2008; Song et al., 2008; Mancuso et al., 2009, 2010; Bogan et al., 2010; Loh et al., 2010; Seibert et al., 2011). Тем не менее, прогресс не стоит на месте, а работоспособность этой идеи доказана.

Входе таких измерений производится последовательная запись большого числа дифракционных паттернов, полученных от реплик непериодичных объектов в неизвестной и случайной пространственной ориентации. В дальнейшем полученный набор данных путем сложных оценочных процессов преобразуется в трехмерную пространственную плотность рассеяния. Изначально концепция обработки данных представляет из себя три раздельных этапа: улучшение статистики низких интенсивностей путем группировки и усреднения, поиск общих пересечений для восстановления взаимной ориентации паттернов, и в заключение - восстановление трехмерной структуры в прямом пространстве посредством итеративных алгоритмов восстановления фазы.

Визложенная работа нацелена на использование метода Common Arc для поиска общих дуг пересечения и объединения его с иными подходами

6

для успешного поиска самосогласующегося набора абсолютных пространственных ориентаций диффракционных паттернов, проверки методов выборки на шумоустойчивость.

Метод Common Arc, используемый в этой работе, берет свое начало из области крио-электроной микроскопии (DeRosier & Klug, 1968; Hart, 1968; Crowther, 1971; van Heel, 1987; van Heel et al., 2000; Frank, 1996; Penczek et al., 1996), где плоские центральные секции трехмерного Фурьепреобразования объекта получались из измеренных томографических проекций (опираясь на Projection-slice теорему); они ориентируются путем определения прямых линий пересечения, проходящих через начало координат - общих линий. В случае же с диффракцией, ситуация обстоит иначе: измеренные диффракционные паттерны определяют случайно ориентированные сферы Эрвальда в обратном пространстве, такис образом их пересечениями являются не прямые линии, а окружности. Ориентация сфер Эрвальда может быть восстановлена путем поиска этих общих дуг; однако, вследствии существенно иной геометрии рассматриваемых объектов, алгоритм будет выглядеть иначе. И хотя концепция общих дуг была известна достаточно давно, (Huldt et al., 2003), метод для анализа таких объектов детально рассмотрен совсем недавно. Сперва была работа по анализу общих линий (аппроксимирующих общую дугу в окрестности начала координат) (Shneerson et al., 2008), - что было применено для ориентации диффракционных паттернов. Однако это решение применимо только для принебрежимо малых величин кривизны общей дуги, например для коротковолновых измерений с низким разрешением. Подобная геометрия также подразумевает рассмотрение триплетов дифракционных паттернов для определения взаимных ориентаций. Также были предложены методы для ориентации слабоинтенсивных дифракционных паттернов, основанные на generative topographic mapping (Fung et al., 2009) и expansion maximization compression (Loh & Elser, 2009), которые использовали схожесть паттернов близких ориентаций и не требовали предварительной классификации. Как впоследствии было показано, эти методы тесно связаны (Moths & Ourmazd, 2010), и, в целом, способны работать на очень низких интенсивностях и соотношении уровня сигнала к шуму, когда разница из-за шума или разности ориентаций различимы друг от друга (Elser, 2009).

7

2

( −1)

1.3Common arc

Сферы Эрвальда представляют из себя двухмерные сферические срезы обратного пространства через его начало координат. Они соответствуют области, достижимой для однократного измерения диффракционного паттерна с постоянной энергией. Метод Common Arc позволяет решить основную проблему такого эксперимента - восстановить относительные пространственные ориентации этих диффракционных паттернов в обратном пространстве путем поиска дуг пересечения соответствующих сфер Эрвальда. Действия, которые необходимо совершить в соответствии с данным методом можно условно разделить на две группы:

(i) Определение относительной ориентации для каждой пары паттернов. На этом этапе, для каждой отдельно взятой пары диффракционных паттернов подсчитывается корреляция распределений интенсивности вдоль арок пересечения как функция, зависящая от относительной ориентации этих паттернов. Наилучший кандидат на относительную ориентацию ищется исходя из критерия наибольней корреляции этих распределений. Отсюда следует, что операция будет производиться для уникальных относительных ориентаций, что соответствует максимальному количеству информации для пар изображений, которую возможно получить, где является количеством диффракционных паттернов, подлежащих сравнению. Тем не менее, нам потребуется будет вполне достаточно

− 1 относительных ориентаций для однозначного восстановления всех пространственных ориентаций. Это подразумевает /2-кратный запас, отражающий тот факт, что каждый отдельно взятый паттерн пересекается со всеми остальными паттернами (и наоборот), тем самым предоставляя информацию обо всех ориентациях. Таким образом у нас появляется аозможность для проверки согласованности пространственных ориентаций и их усреднения, которые будут выполнены на следующем этапе.

(ii) Определение согласовонной абсолютной ориентации для каждого паттерна путем выборки и усреднения. Примем за нулевую абсолютную ориентацию одного случайно выбранного паттерна, а ориентации всех остальных паттернов будем отчитывать относительно изначально выбранного паттерна, с использованием всей имеющейся информации об относи-

8

тельных ориентациях. Получившийся набор абсолютных ориентаций за тем проверяется на согласованность; “надежные” наборы ориентций, которые точно согласуются друг с другом, затем выбираются и усредняются. После этого, полученные абсолютные ориентации всех паттернов могут быть использованы для построения трехмерного скалярного поля в обратном пространстве для дальнейшего восстановления фаз и реконструкции трехмерной пространственной структуры.

Изначально, все паттерны диффракционного рассеяния берутся в “лабораторной” прямоугольной системе координат, в которой “плоскость детектора” перпендикулярна “оси излучения” . Данные полученные от паттерна располагаются в пространстве проекцией на сферу Эрвальда с необходимой ориентацией. Тем не менее, не имея информации о настоящей ориентации образцов, правильная ориентация сферы Эрвальда становится невозможной. Таким образом, для начала все паттерны проецируются на одну и туже сферу Эрвальда в начальной ориентации. Чтобы привести пару таких проекций паттернов ( и ) в корректное относительное положение, в котором их пересечение вдоль общей дуги становится явным, потребуется повернуть хотя бы отду их них. Для описания такого вращения, т.е. относительной ориентации, мы воспользуемся тремя углами Эйлера, ,

и (определенных также, как показано на рисунке рис. 1 из Shneerson et al., 2008). Три вращения будут описаны как rot ( )×rot ( )×rot (−)

проиллюстрированы на рис. 1 и могут быть объяснены следующим образом: один из паттернов в стандартной конфигурации (например, ) поворачивается вокруг оси пучка на азимутальный угол − , который приводит касательную к общей дуге, проведенную через начало координат (т.е. общую линию) данного паттерна к оси x. Затем этот паттерн поворачивается относительно оси x на угол . Этот угол называется шарнирный угол (hinge angle), так как он определяет “наклонение” двух пересекающихся сфер Эвальда относительно друг друга и в конечном счете определяет кривизну общей дуги. Далее в работе этот угол будет называться “угол схождения” (сфер Эрвальда). Наконец, наклоненный паттерн снова вращают вокруг оси пучка на азимутальный угол , чтобы привести общую дугу из в точное совпадаение с , который все еще находится в своей начальной конфигурации. С обратной точки зрения, инверсия этого

9

последнего вращения может быть эквивалентно применена к паттерну . Хотя углы Эйлера не всегда являются лучшим выбором для параметризации ориентации или вращения (по сравнению, например, с кватернионным представлением), в в этом случае они точно соответствуют относитильным поворотам и углам наклона двух сравниваемых паттернов. Поэтому, а также по причине их наглядности, мы находим них наиболее подходящими для решения этой проблемы. После выполнения описанных выше вращений мы установили два диффракционных паттерна в правильное взаимное расположение и ориентацию, как показано выше на рисунке рис. 2. Эти две сферы являются пересекающимися сферами Эвальда; районы с полярной сеткой иллюстрируют области с измеренными значениями диффракционных паттернов. Их пересечения, общие дуги ( ), отображены в виде красных линий, а касательная линия к общей дуге через начало координат ( ) является аппроксимирующей общей линией ( ) и отображена в виде линии зеленого цвета. На этом рисунке наглядно отображено, насколько мылой является область, в которой общая линия хорошо аппроксимирует общую дугу.

10