2.4. Ранговая корреляция

До сих пор мы анализировали зависимости между количественными переменными. Однако на практике часто встречаются с необходимостью изучения связи между качественными признаками. В этих условиях могут быть использованы и другие показатели для определения степени тесноты связи.

Элементарной характеристикой степени тесноты связи является коэффициент Фехнера:

, (2.24)

где количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин факторного признакаи результативного признакаот их средней арифметической величины (например, «плюс» и «плюс», «минус» и «минус», «отсутствие отклонения» и «отсутствие отклонения»); количество несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений изучаемых признаков от значения их средней арифметической.

Коэффициент Фехнера целесообразно использовать для установления факта наличия связи при небольшом объеме исходной информации. Он изменяется в пределах .

Пример 2.3. По группе однородных предприятий имеются данные об объеме выпущенной продукции и уровне механизации трудоемких и тяжелых работ:

№ предприятия	Уровень механизации трудоемких и тяжелых работ, %	Объем продукции, млн. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	22 85 67 36 21 40 39 39 31 62 36 50	117 186 86 112 52 132 141 158 120 197 106 189

Требуется оценить степень тесноты связи между показателями механизации трудоемких и тяжелых работ и объемом продукции при помощи коэффициент Фехнера.

Предварительно вычислим среднеарифметические значения признаков:

млн. руб.;

Для расчета коэффициента Фехнера составляется вспомогательная таблица, которая имеет вид:

Уровень механизации работ, %		Объем продукции, млн. руб.
22 85 67 36 21 40 39 39 31 62 36 50	-22 41 23 - 8 -23 - 4 - 5 - 5 -13 18 - 8 6	117 186 86 112 52 132 141 158 120 197 106 189	-16 53 -47 -21 -81 - 1 8 25 -13 64 -27 56

Коэффициент Фехнера вычислим по формуле (3.24):

Полученное значение коэффициента свидетельствует о наличии связи между уровнем механизации работ и объемом продукции.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значения этих признаков могут быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется ранговый коэффициент корреляции Спирмена:

,(2.25)

где разность между величинами рангов признака – фактора и результативного признака;число показателей (рангов) изучаемого ряда.

Он варьирует в пределах от – 1,0 до + 1,0.

При проверке значимости исходят из того, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи между переменными статистика

имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Поэтомузначим на уровне, если фактически расчетное значениебудет больше критического, т. е., гдетабличное значениекритерия Стьюдента, определенное на уровне значимостипри числе степеней свободы.

Пример 2.4. По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные:

№ банка	Активы банка, млн. руб. x	Прибыль, млн. руб. y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	866 328 207 185 109 104 327 113 91 849	39,6 17,8 12,7 14,9 4,0 15,5 6,4 10,1 3,4 13,4

Исчислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена для оценки тесноты связи между суммой прибыли и размером его активов.

Решение

Для расчета коэффициента корреляции рангов предварительно выполняется ранжирование банков по уровню каждого признака (табл. 2.4).

Таблица 2.4

№ банка	Активы банка, млн. руб.	Ранг по x	№ банка	Прибыль, млн. руб.	Ранг по y
9 6 5 8 4 3 7 2 10 1	91 104 109 113 185 207 327 328 849 866	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	9 5 7 8 3 10 4 6 2 1	3,4 4,0 6,4 10,1 12,7 13,4 14,9 15,5 17,8 39,6	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Дальнейшие расчеты приведем в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Расчет коэффициента корреляции рангов

№ п/п	Активы банка, млн. руб. x	Прибыль, млн. руб. y	Ранги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	866 328 207 185 109 104 327 113 91 849	39,6 17,8 12,7 14,9 4,0 15,5 6,4 10,1 3,4 13,4	10 8 6 5 3 2 7 4 1 9	10 9 5 7 2 8 3 4 1 6	0 -1 1 -2 1 -6 4 0 0 3	0 1 1 4 1 36 16 0 0 9
Итого	-	-	-	-	0	68

На основании данных табл. 2.5 по формуле (2.25) получим коэффициент корреляции рангов:

Для проверки значимости по формуле (2.26) вычислим

и найдем по таблицам теории вероятностей критическое значение . Так как, поэтому общий вывод по результатам анализа: есть необходимость увеличивать объем выборки.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона.

Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек («таблица четырех полей»), статистическое сказуемое которой схематически может быть представлено в следующем виде:

Признак	А (да)	(нет)	Итого
В (да)	a	b	a+b
(нет)	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	n

В расчетной таблице:

a, b, c, d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков – A – и B – ;n – общая сумма частот.

Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:

.(2.27)

Коэффициент контингенции:

,(2.28)

где ,,,числа в четырехклеточной таблице.

Коэффициент контингенции также изменяется от – 1,0 до + 1,0, но всегда его величина для тех же данных меньше коэффициента ассоциации.

Пример 2.5. В результате обследования работников предприятия получены следующие данные (чел.):

Образование	Удовлетворены своей работой	Не удовлетворены своей работой	Итого
Высшее и среднее	300	50	350
Незаконченное среднее	200	250	450
Итого	500	300	800

Решение

Коэффициент ассоциации –

Коэффициент контингенции –

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда бывает меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноты связи.