4.1.4. Пересечение многогранников с проецирующей плоскостью. Построение натурального вида фигуры сечения.

При решении многих задач прикладной геометрии (развертка многогранников, разрезов и сечений деталей и сооружений) встречается необходимость построения линии пересечения поверхности плоскостью.

Как известно, проецирующей плоскостью называется плоскость, расположенная перпендикулярно к одной из плоскостей проекций и под углом к двум другим плоскостям проекций. Основное свойство проецирующей плоскости заключается в том, что любая линия или плоская фигура, расположенная в проецирующей плоскости, проецируется на плоскость проекций, которой она перпендикулярна, в прямую, совпадающую со следом плоскости.

На рис.7 показано пересечение пирамиды SABC фронтально проецирующей плоскостью   П₂.

По указанному выше свойству линия пересечения 123 этой пирамиды плоскостью  проецируется на фронтальную плоскость проекции П₂ в виде прямой 1₂2₂3₂, которая совпадает с фронтальным следом плоскости , ₂≡1₂2₂3₂. Поэтому для определения точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью  достаточно найти точки пересечения фронтальных проекций этих ребер (S₂А₂, S₂ В₂ и S₂С₂) с фронтальным следом плоскости.

Для определения горизонтальной проекции 2₁ точки 2, применяем вспомогательную секущую плоскость уровня H(H₂), которая пересекает пирамиду, а в сечении получается треугольник подобный основанию. Плоскость уровня H(H₂) пересекает ребро S₂А₂ в точке 4₂. С помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию промежуточной точки 4₁ . Горизонтальную проекцию 2₁, точки 2, находим на пересечении прямой, проведенной из точки 4₁ параллельно проекции А₁В₁ , с проекцией В₁S₁. Строим горизонтальную проекцию сечения 1₁2₁3₁. Точки 1₁, 2₁, 3₁ определяют плоский треугольник, представляющий собой сечение пирамиды SABC плоскостью .

Во многих случаях требуется не только найти проекции сечения многогранника проецирующей плоскостью, но и определить по этим проекциям натуральный вид и размеры сечения.

Определение натурального вида сечения пирамиды SABC фронтально проецирующей плоскостью  показано на рис. 7. Эта задача решена двумя способами: заменой плоскостей проекций и вращением вокруг оси перпендикулярной к плоскости проекции.

Для определения натурального вида сечения способом замены плоскостей проекций выбираем новую плоскость проекций П₅  П₂ и параллельную секущей плоскости . На эту плоскость проекций П₅ сечение пирамиды плоскостью  проецируется без искажения.

Для нахождения новой проекции какой-либо точки сечения (например точки 1) необходимо выполнить следующие построения: из точки 1₂ восстановить перпендикуляр к новой оси Х₂₅ и отложить на нем расстояние от оси Х₂₅, равное расстоянию от заменяемой оси Х₁₂ до заменяемой горизонтальной проекции 1₁ точки 1. В результате получим проекцию 1₅ точки 1. Затем строим проекции 2₅ и 3₅ точек 2, 3 соответственно, получим натуральный вид сечения 1₅2₅3₅.

Рассмотрим построение натурального вида сечения способом вращения вокруг оси перпендикулярной к плоскости проекций.

В качестве оси вращения примем фронтально-проецирующую прямую q(q₁,q₂)  П₂, лежащую во фронтально-проецирующей плоскости . Затем вокруг точки q₂ поворачиваем фронтальную проекцию 1₂2₂3₂ до совмещения с горизонтальной плоскостью уровня H(H₂), расположенной параллельно плоскости проекций П₁. Проекция 1₂2₂3₂  x ₁₂ – новое положение сечения. Для построения новой горизонтальной проекции сечения1₁2₁3₁ из точек 1₂,2₂,3₂ проводим линии связи, перпендикулярные оси x₁₂, а из точек 1₁, 2₁, 3₁ – прямые, параллельные оси x₁₂. Соединив полученные точки 1₁,2₁,3₁ прямыми линиями, получим натуральный вид сечения, так как в новом перемещенном положении – горизонтальная плоскость уровня, следовательно– натуральная величина:=123.

Рис.7