Грибанов Д. Методы обработки результатов

i n

xi

d=

X

, которое затем сравнивается с теоретическими значениями

i 1

nSx

параметров d q1

и d1 q1 ,n , которые берутся из таблицы указанного выше ГОСТ,

,n

2

2

или рассчитываются по формулам [ ].

Гипотеза о нормальности по первой части составного критерия (d)

принимается, если выполняется условие:

d

q

≤ d ≤ d q .

1

1

,n

2 ,n

2

1

В противном случае гипотеза о нормальном законе распределения результатов измерения отвергается.

Вторая часть составного критерия введена для проверки так называемых «концов распределения». Предполагается, что распределение результатов наблюдения соответствует нормальному закону, если не более m разностей |xi- X | превзойдет значение tp·Sx, где tp – квантиль распределения нормированной функции Лапласа (коэффициент Стьюдента).

В том же диапазоне чисел измерений (15<n<50) для оценки соответствия распределения результатов измерений нормальному закону может быть использована статистическая функция. Для ее построения результаты измерений выстраивают в вариационный ряд в порядке возрастания и вычисляют F(xi) следующим образом:

	F(xi) =	i		(3.9).
		n 1

График этой функции представляет собой ступенчатую линию, каждая ступенька которой равна 1/(n+1) и соответствует переходу к следующему члену вариационного ряда. Если для некоторых значений xi = xi+1 =…=xi+k, то в точке

xi = xi+1 F(xi) возрастает на n k 1 , где k - число равных между собой членов ряда.

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений вычисляют значения ti, соответствующие значениям F(xi) = F(ti) .

Зависимости, определяемые выражениями 2.29 и 2.30, выбраны таким

11

образом, что колоколообразная кривая (гауссиана) в таких координатах преобразуется в прямую линию.

Если экспериментальная зависимость существенно отклоняется от прямой линии, гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений отвергается.

Таким образом, оценка истинного значения измеряемой физической величины сводится к определению этого значения Х как функции результата измерения и полученной суммарной погрешности: Х=f(xi+ i). Другими словами, необходимо получить оценку истинного значения измеряемой физической величины и границы доверительного интервала, внутри которого она находится с принятой доверительной вероятностью.

Алгоритм обработки результатов прямых результатов измерений с мнокократными наблюдениями следующий:

1. Если отсутствует надежная предварительная информация о том, что результаты мнокократных измерений являются равнорассеянными, проводится проверка этой гипотезы ( о равнорассеянности результатов измерений) любым способом. Например, с помощью критериев Фишера или Романовского.

Если полученный ряд результатов многократных наблюдений можно считать равнорассяным, дальнейшую обработку этих результатов проводят по следующему алгоритму:

1.1. Если есть подозрения на наличие в исправленном ряде результатов наблюдений грубых погрешностей, он проверяется на их наличие любыми известными способами, например, с помощью критериев Смирнова, Шовенье и др. Обнаруженные грубые погрешности исключаются из дальнейшего рассмотрения.

1.2. Ряд равнорассеянных результатов многократных наблюдений проверяется на наличие систематических погрешностей любым методом. Например, с помощью критериев Аббе, Бартлета и др.

1.3. Обнаруженные систематические погрешности исключаются из результатов наблюдений путем введения соответствующих поправок.

12

1.4. Полученный ряд результатов наблюдений выстраивается в вариационный ряд и проводится проверка гипотезы о том, что этот ряд соответствует закону нормального распределения.

1.5. В случае нормального закона распределения результатов наблюдений вычисляется среднее арифметическое значение X этих наблюдений, поскольку в этом случае оно является наиболее оптимальной истинного значения измеряемой физической величины.

1.6. Вычисляется среднее квадратическое отклонение результата измерений σ.

1.7. Рассчитывается оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения σх

1.7.1. Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения известна заранее, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |xi-

X |определяется следующим образом:
|xi - X | ≤ = tp· σ	(3.10).

1.7.2. Если среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения заранее неизвестна, то верхняя и нижняя границы доверительного интервала ±Δ среднего арифметического значения результатов измерений |xi -

X |определяется следующим образом:
|xi - X | ≤ = (tp· σх)/ n	(3.11),

где tp – коэффициент Стьюдента.

1.8. Определяются границы неисключенной систематической погрешности Θ.

1.8.1. Если отношение Θ/ σх < 0,8, то систематической погрешностью Θ пренебрегают и суммарная погрешность ∑ определяется случайной

погрешностью(tp· σх)/		, т.е.	∑ = (tp· σх)/		.
	n			n

1.8.2. Если отношение Θ/ σх >8, пренебрегают случайной погрешностью и суммарная погрешность определяется неисключенными систематическим

13

погрешностями ∑ = Θнсп.

1.8.3. Если выполняется условие 0,8 < Θ/σх < 8, то суммарная погрешность должна учитывать случайную и неисключенную систематическую погрешность:

∑ =	1	j m	(3.12).
		2j x2
	3	j 1

1.9. Результаты представляются в следующем виде: X ± Δ, Р=…..

Часто измерения проводятся в несколько этапов, разными наблюдателями, в различное время, в разных условиях с применением различных СИ. Каждому этапу соответствует своя группа измерений со своими средними арифметическими значениями в каждой группе X :

№ измерения в группе
от i=1 до i=n				№ № групп от j=1 до j=m
(Xi)j	(X1)1			(X1)2			….	(X1)m
	(X2)1			(X2)2			…	(X2)m
	.			.			.	.
	.			.			.	.
	.			.			.	.
	(Xn)1			(Xn)2			…	(Xn)j
Средние
арифметические	(		)1	(		)2	…	(		)j
		X			X				X
значения в группах

При этом необходимо найти наиболее достоверное значение ФВ и оценить его отклонение от истинного значения.

Как уже было указано ранее, группы результатов наблюдений называют неравноточными (неравно рассеянными), если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические значения групп являются оценкой одного и того же значения измеряемой ФВ.

4. Порядок выполнения работы

14

Перед началом выполнения лабораторно-практической работы студент получает у преподавателя вариант задания с массивом результатов измерений (Приложение А), либо выполняет поставленную измерительную задачу с получением измерительной информации при многократных измерениях реальным средством измерений и получает массив результатов.

Примечания к предлагаемым вариантам массивов:

-в вариантах заданий представлены результаты таких многократных измерений, которые содержат (могут содержать) все три составляющих суммарной погрешности;

-условно принимается, что если в варианте задания присутствует систематическая погрешность, она в данном случае объясняется влиянием температуры, изменяющейся по линейному закону. Поправки от влияния температуры одинаковы для всех вариантов заданий.

4.1.Определение и исключение грубой погрешности результатов измерений. Для определения тех результатов измерений, которые содержат грубую погрешность, необходимо:

4.1.1.Оценить среднее значение результатов измерений по формуле

i n

X i

X i 1 n

где: X - среднее значение неисправленных результатов измерений, Xi – значение i-го результата измерений,

n - количество результатов измерений.

4.1.2. Определить смещенную оценку дисперсии D результатов измерений по формуле:

i n

D = ( )2 = n1 1 ( xi/ x / )2 , i 1

где D=(σ′)2 - смещенная оценка дисперсии результатов

15

измерений.

4.1.3. Определить среднее квадратическое отклонение

неисправленных результатов измерений следующим образом:

/ = 2 ,

где σ′ - среднее квадратическое отклонение неисправленных результатов измерений.

4.1.4.Составить неравенство следующего вида:

xi/ - 3 / xi/ xi/ + 3 /

4.1.5.Проверить в соответствии с этим неравенством каждый из n результатов измерений. Те из них, которые не удовлетворяют неравенству, исключить, считая, что они содержат грубую погрешность.

4.2.Проверка наличия систематической погрешности в результатах измерений и её исключение.

4.2.1.Проверить наличие систематической составляющей суммарной погрешности результатов измерений по критерию Аббе. Сравниваем значения параметра qэксп с его табличным значением qтабл.

				n 1	X i 1 X i 2
q		1
	табл			1
				n
		2		X i			2
						X
				1
Значения qтабл	приведены в таблице 3. 1.

Если выполняется условие qэксп < qтaбл, то систематическая погрешность в результатах измерений присутствует, и ее необходимо исключить.

4.2.2.Исключить систематическую погрешность.

Систематическая погрешность, возникающая из-за влияния температуры, влажности и других внешних воздействующих факторов, исключается из результатов измерений путем введения поправки.

16

Примечание: В данной работе можно принять, что систематическая погрешность обусловлена влиянием изменения температуры, и ее изменение соответствует линейному закону:

∆li=αTi

где: ∆li - систематическая погрешность, α - коэффициент (α =152·10­5), Ti - температура в Кельвинах.

Изменение систематической погрешности, обусловленная влиянием изменения температуры представлено в таблице 3.2.

Таблица 3.2 - Изменение систематической погрешности, обусловленная влиянием изменения температуры

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ti	283,15	285,15	287,15	289,15	291,15	293,15	295,15	297,15	299,15
li	0.430	0,433	0,436	0,439	0,442	0,445	0,449	0,452	0,455
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Ti	301,15	303,15	305,15	307,15	309,15	311,15	313,15	315,15	317,15
li	0,458	0,461	0,464	0,467	0,470	0,473	0,476	0,479	0,482
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Ti	319,15	321,15	323,15	325,15	327,15	329,15	331,15	333,15	335,15
li	0,485	0,488	0,491	0,494	0,497	0,500	0,503	0,506	0,509

Исправление ряда результатов измерений получаем путем введения поправок Θi численно равных значениям ∆li.

Исправленные значения	Хi = Хi′ - Θi	,
где: Хi - исправленные	значения	результатов измерений, Хi′ -

полученные (не исправленные) результаты измерений, Θi - поправка.

4.2.3. Расположить результаты измерений в вариационный ряд, т.е.:

х′ i ≤ х′i+1 ≤... х′п

и повторить операции по пунктам 4.1.1…4.1.3 для исправленных результатов измерений, взяв вместо X′ i и X ′i, xi и xi соответственно.

4.3 Проверка соответствия распределения результатов измерений нормальному закону. Эта проверка может быть проведена с помощью различных методов, например, с помощью гистограммы, составного критерия

17

или вероятностной бумаги.

Наиболее важным при многократных измерениях является эффективное использование априорной информации. Ее анализ начинается с выдвижения и проверки статистической гипотезы, т.е. предположения, что распределение результатов измерений соответствует нормальному закону.

4.3.1Проверка статистической гипотезы с помощью гистограммы.

4.3.1.1Для числа измерений п=25 устанавливается число интервалов группирования h в диапазоне значений от 5 до 7.

4.3.1.2Определяется ширина интервала группирования

∆х=(xmax-xxmin)/h	,
где: h - число интервалов, Хmax - максимальное	значение

результата измерений (последнее в вариационном ряду), xmin - минимальное значение результата измерений (первое в вариационном ряду).

4.3.1.3 Определяется половина ширины интервала группирования q= ∆х/2

4.3.1.4 Определяется количество k результатов измерений xi, содержащихся в каждой группе, соответствующей каждому интервалу hj,

где j - порядковый номер интервала.

Примечание: Масштаб гистограммы выбирается таким образом, чтобы ее высота относилась к основанию, примерно, в соотношении 5/8.

4.3.2 Проверка закона распределения с помощью составного критерия.

Суть составного критерия состоит в том, что в начале проверяется первый критерий {критерий I), а затем - второй (критерий 2),

4.3.2.1 Проверка первого критерия.

i n

xi X

Определяется значение d= i 1 ,

nSx

18

Можно считать, что распределение результатов измерений соответствует нормальному закону, если выполняется условие:

				d	q		≤ d ≤	d q .
				1		,n		1		,n
					2				2
					1
где: d q1		,n	и d1 q1	,n , - квантили распределения, представленные в таблице 3.3.
	2		2

19

Таблица 3.3 - Квантили распределения в зависимости от числа измерений п и доверительной вероятности P

п					Р=0,95								Р-0,99
		d	1	q1	,n		d q1		,n	d	1	q1	,n		d q1		,n
				2								2
								2								2
21		0,7304					0,8768					__			0,9001
22		0,7315					0.8751			0,6968					0,8981
23		0,7326					0,8735			0,6986					0,8961
24		0,7337					0,8718			0,7004					0,8941
25		0,7348					0,8702			0,7022					0,8921
26		0,7360					0,8686			0,7040					0,8901
27		0,7368					0,8673			0,7054					0,8862
4.3.2.2 Проверка второго критерия.
Определяются			значения				разностей			(xi- x ).			Можно		считать, что

распределение результатов измерений соответствует нормальному закону, если не более т разностей превзошли значения (Zp/2 · S ), где S= σ′ , определяемое по формуле (4), Zp/2- квантиль распределения функции Лапласа, соответствующий вероятности Р/2. Значения квантилей Zp/2 определяют по табл. 3.4.

Таблица 3.4 - Значения квантилей Zp/2

п	m		Р
		0,95		0,99
24-27	2	0,97		0,98

Если хотя бы один критерий из составного критерия не удовлетворяется, можно считать, что распределение результатов измерений нормальному закону распределения не соответствует.

4.4 Определение границ доверительного интервала.

Доверительный интервал - интервал со случайными границами, который с принятой доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой величины. Половина доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов измерений. В случае нормального закона распределения случайной погрешности доверительные границы вычисляют по следующей формуле:

20