Грибанов Д. Методы обработки результатов
.pdf∆в(н) =±(tp ·σ ) ,
где: ∆в(н) - границы доверительного интервала (символами «в» и «н» обозначаются верхняя и нижняя границы, соответственно);
tp - коэффициент Стьюдента, значение которого находят из таблицы 5 в зависимости от числа измерений п и принятой доверительной вероятности р;
σ - несмещенное среднее квадратическое отклонение, определяемое по
формуле (3.7). |
|
|
Таблица 3.3 - Значения кокоэффициен а |
Стьюдента tp |
|
п-1 |
Р=0,95 |
Р=0,99 |
22 |
2,074 |
2,890 |
23 |
2,070 |
2,8033 |
24 |
2,067 |
2,7876 |
25 |
2,063 |
2,7720 |
26 |
2,060 |
2,7563 |
27 |
2,056 |
2,7406 |
28 |
2,053 |
2,7250 |
29 |
2,049 |
2,7093 |
30 |
2,043 |
2,7500 |
После определения границ доверительного интервала с принятой доверительной вероятностью Р результат измерений записывается в следующем виде:
X ± Δ, Р=…..
где: ∆ - половина доверительного интервала.
В приложении Б представлен пример оформления отчета по лабораторно-практической работе.
Список рекомендуемой дополнительной литературы
1 ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».
2 РМГ 22-29 «Метрология. Термины и определения».
3 Вентцель B.C. Теория вероятностей. - М: Изд-во «Наука», 1960 г.
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
21
М: Изд-во Высшая школа. 1998 г.
5 Грибанов Д.Д., Зайцев С.А., Митрофанов А.В. Основы метрологии. Труды Академии проблем качества, М: 1998 г.
6.Зайцев С.А., Грибанов Д.Д., Греку М.В. Однократные измерения. Методические указания по выполнению лабораторной работы М.МГТУ.2008г.
22
Приложение А.
Варианты заданий
|
|
|
|
|
№1 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X |
42,963 |
42,917 |
42,873 |
41,125 |
43,033 |
42,971 |
41,107 |
43,045 |
43,022 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′i |
42,903 |
42,809 |
42,932 |
42,946 |
42.976 |
43,039 |
42,853 |
42,936 |
42,958 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,998 |
42,995 |
42,890 |
42,981 |
43,001 |
42,943 |
42,882 |
42,914 |
42,920 |
|
|
|
|
|
№2 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′l |
43,000 |
43,016 |
43,025 |
53,045 |
46,012 |
42,900 |
42,845 |
42,889 |
42,959 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′l |
42,971 |
42,930 |
42,860 |
42,874 |
42,945 |
43,003 |
42,952 |
42,833 |
42,903 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,996 |
46,001 |
42,896 |
42,839 |
42,982 |
43,035 |
43,133 |
42,911 |
42,936 |
|
|
|
|
|
№3 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′l |
42,943 |
43,000 |
43,017 |
42,849 |
42,852 |
42,870 |
42,914 |
42,975 |
43,052 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′l |
39,998 |
40,012 |
42,921 |
42,985 |
42,805 |
42,874 |
42,926 |
42,961 |
42,991 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
43,022 |
42,950 |
42,836 |
42,899 |
42,955 |
43,012 |
43,082 |
42,972 |
42,934 |
|
|
|
|
|
№4 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′i |
42,953 |
42,888 |
42,868 |
45,990 |
43,000 |
42,908 |
42,926 |
42,970 |
42,781 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′i |
42,973 |
43,007 |
45,998 |
42.960 |
42,808 |
42,895 |
42,981 |
43,039 |
42,989 |
I |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
43,064 |
42,877 |
42,903 |
42,912 |
42,957 |
42,967 |
42,849 |
42,881 |
42,942 |
|
|
|
|
|
№5 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′l |
42,890 |
42,884 |
42,922 |
42,967 |
43,003 |
43,064 |
42,934 |
42.980 |
40.006 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′l |
42,862 |
42,960 |
43,052 |
42.971 |
42,779 |
42,857 |
42,907 |
42,943 |
40,017 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,877 |
42,903 |
42,925 |
42,987 |
43,035 |
43,076 |
42,883 |
42,791 |
42,886 |
23
|
|
|
|
|
№6 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′i |
42,970 |
43,034 |
43,073 |
43,096 |
42,951 |
42,018 |
42,842 |
42,867 |
42,914 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′i |
42,985 |
43,009 |
43,043 |
43,076 |
42,988 |
42,936 |
42,818 |
42,848 |
42,894 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,942 |
43,005 |
43.026 |
43,065 |
43,818 |
42.998 |
42.958 |
42,883 |
42,828 |
|
|
|
|
|
№7 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′i |
42,967 |
43,001 |
43,052 |
42,933 |
42,889 |
42,814 |
42,021 |
43,038 |
42,971 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′i |
42,942 |
42.900 |
42,807 |
42,964 |
42,993 |
43,009 |
42,980 |
42,863 |
42,789 |
i |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,958 |
43,072 |
42,955 |
42,880 |
42,920 |
43,803 |
42,928 |
42,916 |
42,884 |
|
|
|
|
|
№8 |
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
X′i |
42,961 |
42,995 |
43,015 |
43,057 |
43,179 |
42,857 |
42,010 |
42,839 |
42,882 |
i |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
X′i |
42,926 |
42,905 |
42,819 |
43,033 |
43,900 |
42,935 |
42,870 |
42,890 |
42,811 |
I |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
X′i |
42,929 |
42,071 |
42,909 |
42,847 |
42,879 |
42,966 |
42,998 |
43,020 |
43,047 |
24
Приложение Б
Пример оформления отчета по лабораторно-практической работе
Пояснения по выполнению лабораторно-практической работы даны курсивом.
Цель работы _____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Исходный массив результатов многократных измерений.
Исходный массив результатов многократных измерений выдается преподавателем из заданий № 1-8, либо формируется самим студентом, выполняя поставленную измерительную задачу с получением измерительной информации при многократных измерениях реальным средством измерений. Массив заносится в таблицу 1 в виде вариационного ряда.
Таблица 1
|
|
i |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
8 |
|
9 |
|
|
|
|||||
|
|
Xi/ |
|
42,866 |
42,777 |
|
43,852 |
42,86 |
|
|
|
42,89 |
|
42,952 |
42,93 |
42,922 |
42,201 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
i |
|
10 |
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
15 |
16 |
17 |
|
18 |
|
|
|||||||||
|
|
Xi/ |
|
43,033 |
42,959 |
|
|
42,89 |
42,934 |
|
|
|
42,902 |
|
42,965 |
42,819 |
42,831 |
42,906 |
|
|
||||||||||||||
|
|
i |
|
19 |
|
20 |
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
24 |
25 |
26 |
|
27 |
|
|
|||||||||
|
|
Xi/ |
|
43,011 |
43,039 |
|
42,906 |
42,905 |
|
|
|
42,885 |
|
42,891 |
42,998 |
42,879 |
42,876 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Заполняется сводная таблица результатов измерений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Таблица 2 |
|
Сводная таблица обработки результатов измерений |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
№ |
|
xi |
|
xi x |
2 |
|
|
/ |
|
/ |
|
2 |
|
/ |
/ |
|
2 |
|
xi - i |
|
xi |
|
xi x |
|
x x |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
x |
|
|
|
|
xi 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
9 |
|
|
||
1 |
|
42,866 |
|
0,003074 |
|
0,002213 |
|
0,007921 |
|
|
42,436 |
|
|
42,343 |
0,098320 |
|
0,00967 |
|||||||||||||||||
2 |
|
42,777 |
|
0,020864 |
|
0,018507 |
|
0,006889 |
|
|
42,344 |
|
|
42,344 |
0,097320 |
|
0,00947 |
|||||||||||||||||
3 |
|
43,852 |
|
0,865934 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42,352 |
0,089320 |
|
0,00798 |
||||||||||
4 |
|
42,86 |
|
0,003775 |
|
0,002813 |
|
0,000900 |
|
|
42,421 |
|
|
42,367 |
0,074320 |
|
0,00552 |
|||||||||||||||||
5 |
|
42,89 |
|
0,000989 |
|
0,000531 |
|
0,003844 |
|
|
42,448 |
|
|
42,373 |
0,068320 |
|
0,00467 |
|||||||||||||||||
6 |
|
42,952 |
|
0,000934 |
|
0,001518 |
|
0,000484 |
|
|
42,507 |
|
|
42,388 |
0,053320 |
|
0,00284 |
|||||||||||||||||
7 |
|
42,93 |
|
0,000073 |
|
0,000288 |
|
0,000064 |
|
|
42,481 |
|
|
42,391 |
0,050320 |
|
0,00253 |
|||||||||||||||||
8 |
|
42,922 |
|
0,000000 |
|
0,000080 |
|
0,012321 |
|
|
42,470 |
|
|
42,411 |
0,030320 |
|
0,00092 |
|||||||||||||||||
9 |
|
42,201 |
|
0,519040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42,415 |
0,026320 |
|
0,00069 |
||||||||||
10 |
|
43,033 |
|
0,012445 |
|
0,014390 |
|
0,005476 |
|
|
42,575 |
|
|
42,421 |
0,020320 |
|
0,00041 |
|||||||||||||||||
11 |
|
42,959 |
|
0,001410 |
|
0,002112 |
|
0,004761 |
|
|
42,498 |
|
|
42,424 |
0,017320 |
|
0,00030 |
|||||||||||||||||
12 |
|
42,89 |
|
0,000989 |
|
0,000531 |
|
0,001936 |
|
|
42,426 |
|
|
42,426 |
0,015320 |
|
0,00023 |
|||||||||||||||||
13 |
|
42,934 |
|
0,000158 |
|
0,000439 |
|
0,001024 |
|
|
42,467 |
|
|
42,432 |
0,009320 |
|
0,00009 |
|||||||||||||||||
14 |
|
42,902 |
|
0,000378 |
|
0,000122 |
|
0,003969 |
|
|
42,432 |
|
|
42,436 |
0,005320 |
|
0,00003 |
|||||||||||||||||
15 |
|
42,965 |
|
0,001897 |
|
0,002700 |
|
0,021316 |
|
|
42,492 |
|
|
42,448 |
0,006680 |
|
0,00004 |
|||||||||||||||||
16 |
|
42,819 |
|
0,010495 |
|
0,008844 |
|
0,000144 |
|
|
42,343 |
|
|
42,467 |
0,025680 |
|
0,00066 |
|||||||||||||||||
17 |
|
42,831 |
|
0,008180 |
|
0,006731 |
|
0,005625 |
|
|
42,352 |
|
|
42,470 |
0,028680 |
|
0,00082 |
|||||||||||||||||
18 |
|
42,906 |
|
0,000239 |
|
0,000050 |
|
0,011025 |
|
|
42,424 |
|
|
42,481 |
0,039680 |
|
0,00157 |
|||||||||||||||||
19 |
|
43,011 |
|
0,008020 |
|
0,009596 |
|
0,000784 |
|
|
42,526 |
|
|
42,492 |
0,050680 |
|
0,00257 |
25
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
20 |
43,039 |
0,013819 |
0,015866 |
0,017689 |
42,551 |
42,495 |
0,053680 |
0,00288 |
21 |
42,906 |
0,000239 |
0,000050 |
0,000001 |
42,415 |
42,498 |
0,056680 |
0,00321 |
22 |
42,905 |
0,000270 |
0,000065 |
0,000400 |
42,411 |
42,507 |
0,065680 |
0,00431 |
23 |
42,885 |
0,001328 |
0,000786 |
0,000036 |
42,388 |
42,526 |
0,084680 |
0,00717 |
24 |
42,891 |
0,000927 |
0,000486 |
0,011449 |
42,391 |
42,551 |
0,109680 |
0,01203 |
25 |
42,998 |
0,005861 |
0,007218 |
0,014161 |
42,495 |
42,575 |
0,133680 |
0,01787 |
26 |
42,879 |
0,001802 |
0,001159 |
0,000009 |
42,373 |
|
|
|
27 |
42,876 |
0,002065 |
0,001372 |
0,000100 |
42,367 |
|
|
|
|
1158,879 |
1,4852 |
0,098 |
0,1323 |
1061,033 |
1061,033 |
1,3109 |
0,0985 |
Примечание: В третью колонку заносятся все результаты измерений, а в четвертую - за исключением грубых погрешностей.
1. Определение наличия и исключение грубых погрешностей из результатов измерений.
Вычисляется среднее арифметическое значение не исправленных результатов измерений:
x 1 |
xi |
1158,879 |
42,921. |
|
i 27 |
|
|
n |
i 1 |
27 |
|
Из каждого значения xi вычитается |
x и возводятся полученные разности в |
квадрат, результаты заносятся в третью колонку сводной таблицы.
Используя сумму значений третьей колонки сводной таблицы вычисляется смещенная оценка дисперсии результатов измерений:
D = 2= |
= |
1,4852 |
0,0571. |
|
|
26 |
|
Вычисляется оценка среднего квадратического отклонения не исправленных результатов измерений
/ = 2 = 0,0571 0,239.
По правилу «трех сигм» определяются верхняя и нижняя границы результатов измерений, вне которых содержатся погрешности, принимаемые за грубые:
x - 3 =42,921-(3 0,239)=42,204, x +3 =42,921+(3 0,239)=43,638.
Результаты измерений, не удовлетворяющие неравенству 42,204 x 43,638, исключаются из дальнейшей обработки. Таким образом, результаты первого 42,201 и последнего 43,852 измерений, содержащие грубую погрешность, исключаются из ряда измерений.
Для нового ряда, содержащего 25 значений, заново определяется среднее арифметическое значение:
x 1 |
xi 1072,826 |
42,913. |
|
|
i 25 |
|
|
n |
i 1 |
25 |
|
После этого проводятся вычисления и заполняется четвертая колонка сводной таблицы.
2. Проверка наличия систематической погрешности в результатах измерений.
Для проверки наличия систематической погрешности в результатах измерений
вычисляются квадраты разности последующего x |
и предыдущего x значений. |
i 1 |
i |
26
Результаты заносятся в пятую колонку сводной таблицы. Используя сумму пятой и четвертой колонок сводной таблицы вычисляют параметр qэксп:
|
1 |
i 25 x |
x 2 |
|
|
1 |
|
0,1323 |
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
0,6719. |
|||
qэксп:= |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
i 25 |
xi x 2 |
|
2 |
0,0984 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для числа измерений n=25 по таблице 3.1 определяется qтабл.=0,6836. |
||||||||||
Поскольку qэксп qтабл,, результаты |
измерений содержат систематическую |
погрешность, которую необходимо исключить. Для этого, приняв изменение систематической погрешности по линейному закону, по формуле li= Ti, для каждого значения xi , взяв значение температуры Ti из таблицы 2, определяют li. Полученные
результаты заносят в таблицу 3.
Из результатов измерений по формуле Xi=X /i - i исключается систематическая
погрешность путем внесения поправки i,, численно равной li. Полученные таким образом результаты измерений xi, называемые исправленными, заносятся в шестую колонку сводной таблицы 2.
3. Определение среднего значения и среднего квадратического отклонения исправленных результатов измерений.
x 1061,033 42,441, 25
2= 0,098524 0,0041= 0,004 0,064
x3 42,441-(3 0,064)=42,249,
x3 42,441+(3 0,064)=42,634
Запись результата измерений:
42,249 xi 42,634, Р=0,95.
4. Построение гистограммы.
Построение гистограммы начинается с определения числа интервалов h, на которые разбивается исправленный вариационный ряд результатов наблюдений xi. В данном примере принимается h=5.
Определяются ширина x и половина ширины q интервала группирования:
x= |
x25 x1 |
|
|
42,575 42,343 |
=0,0464, |
|||
|
|
5 |
|
|||||
|
h |
x |
|
|
|
|||
|
q= |
|
0,0464 |
=0,0232. |
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Определяется количество результатов измерений k, содержащихся в каждом интервале. Результаты заносятся в таблицу 3.
27
Таблица 3
Таблица интервалов
j |
Интервал |
k |
1 |
- ... 42,366 |
3 |
2 |
42,366...42,413 |
5 |
3 |
42,413...42,459 |
7 |
4 |
42,459...42,505 |
6 |
5 |
42,505...42,552 |
3 |
6 |
42,552...+ |
1 |
Построение гистограммы:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
42,366 |
42,413 |
42,459 |
42,505 |
42,552 |
+ бескон |
- бескон |
42,366 |
42,413 |
42,459 |
42,505 |
42,552 |
Заключение: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Проверка соответствия распределения результатов измерений нормальному закону по составному критерию.
Вид гистограммы не дает однозначного ответа на вопрос какому закону распределения вероятностей подчиняются результаты измерений. Поэтому воспользуемся составным критерием.
Критерий 1.
C помощью итога восьмой колонки сводной таблицы 2 определяется несмещенная оценка среднего квадратического отклонения:
28
|
|
i n |
|
|
|
|
||
|
|
|
( xi x )2 |
|
|
|
|
|
s = |
= |
0,09851 |
=0,06277. |
|||||
i 1 |
|
|||||||
|
n |
25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Воспользовавшись итогом седьмой колонки сводной таблицы, вычисляется параметр |
~
d
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
xi x |
|
|
1,3109 |
0,8353. |
||
|
|
||||||||
i 1 |
|
||||||||
d |
= |
|
|
|
|||||
n S |
|
25 |
0,6277 |
||||||
|
|
|
|
|
По таблице 3.3 выбираются квантили d1-q/2 и dq/2 при принятой в технике доверительной вероятности Р=0,95. Для приведенных в примере значений результатов
измерений неравенство d1-q/2 d~ dq/2, выглядит следующим образом:
0,7348 0,8353 0,8718.
Таким образом, первый критерий составного критерия удовлетворяется, т.е. закон распределения соответствует нормальному.
Заключение о соответствии по критерию 1:
___________________________________________________
Критерий 2.
По таблице 3.4 для числа измерений n=25 и вероятности Р=0,95 определяется число разностей m и значение верхней квантили zp/2: m=2, zp/2 =1,960.
Определяется произведение zp/2 :
zp/2 = 1,960 0,064=0,1255.
Полученное значение произведения сравнивается с разностями седьмой колонки сводной таблицы.
Заключение о соответствии по критерию 2:
_____________________________________________________
Общее заключение по составному критерию:
_____________________________________________________________________________
6.Определение границ доверительного интервала.
Для нормального закона распределения при n=25 и Р=0,95 по таблице 3.3 определяется коэффициент Стьюдента tp=2,063.
Рассчитываются верхняя и нижняя границы доверительного интервала:в = tp =2,063 0,064=0,013,
н = tp =2,063 0,064=0,013.
7. Запись результатов измерений и их обработки.
Результаты записываются по форме:
42,441 0,013, Р=0,95.
29
Выводы по лабораторно-практической работе:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Студент |
Группа |
Работа выполнена |
Работа защищена |
30