Мамаев А. и др. Определение передаточного

силовой метод не рассматривается в связи с тем, что при выполнении заданий требуется определить передаточное отношение аналитическим и графическим методами.

3.2.Определение передаточного отношения планетарных механизмов

Так как в планетарных механизмах имеются колёса, которые совершают сложное движение – сателлиты, а также водило, не являющееся зубчатым колесом, то расчёт передаточного отношения этих механизмов требует специальных методов.

3.2.1.Аналитический метод (метод Виллиса)

Аналитический метод основан на преобразовании планетарного механизма в зубчатую передачу с неподвижными осями вращения колёс с последующим определением передаточного отношения по формуле (2.9).

Метод Виллиса состоит в следующем: мысленно всем центральным звеньям механизма сообщается дополнительное движение, обратное движению водила. В результате сложения действительного и дополнительного движений водило останавливается и механизм преобразуется в зубчатую передачу с неподвижными осями вращения колес, после чего определяется передаточное отношение между центральными звеньями, которое выражается через радиусы или числа зубьев колёс по формуле (2.9). Полученный механизм называется приведенным или обращенным.

Если заданный механизм является простым планетарным, то полученное уравнение оказывается достаточным для непосредственного определения из него передаточного отношения заданного механизма.

Если механизм является сложным планетарным, то его мысленно разделяют на составляющие механизмы; далее, применяя метод обращения движения (метод Виллиса) к тем механизмам, которые являются планетарными, определяют передаточные отношения между центральными звеньями приведенных механизмов, связывая тем самым их угловые скорости в обращенном движении. Решая затем полученную систему из двух уравнений, находят искомое передаточное отношение заданного механизма.

Если один из составляющих механизмов не является планетарным, то к нему метод Виллиса не применяется, а передаточное отношение определяется сразу через числа зубьев или радиусы колес.

Пример № 1.

На рис.3.6 изображен простой планетарный механизм, состоящий из центрального колеса 1, блока сателлитов 2 и 3, опорного колеса 4 и водила “в”. Требуется определить передаточное отношение UIB от колеса 1 к водилу “в”, считая радиусы колёс известными.

11

2		3		2
	1	â		3
			â	1
				4
		Ðèñ. 3.6
2		3
â
1		â		2	3
				1

Ðèñ. 3.7

12

В действительном движении центральные звенья механизма имеют угловые скорости

ω1, ωв, ω4=0. Сообщим мысленно указанным звеньям механизма дополнительное движение,

обратное движению водила, т.е. (-ωB). В результате сложения действительного и дополнительного движений водило останавливается, а другие звенья приобретают движение с угловыми скоростями:

ω1в= ω1 - ωв,

ω4в= - ωв, ωв=0,

Знак “в” в обозначениях угловых скоростей показывает, что соответствующие скорости являются скоростями звеньев в приведённом механизме, у которого остановлено водило. Удобно вышеописанные преобразования угловых скоростей свести в таблицу:

		Таблица № 1
Звенья		Центральные звенья
Тип движения	1	4		«в»
Действительное	ω1	ω4=0		ωв
Дополнительное	- ωв	-ωв		-ωв
Суммарное	ω1 - ωв	-ωв		0

Далее составляется уравнение передаточного отношения между центральными звеньями в приведённом механизме, которое выражаем через радиусы или числа зубьев колес:

U в	=	ωв	=	ω		−ω		в =	r r
		1			1				2 4	.	(3.1)
		ωв			−ω
14							в		r r
		4							1 3

Делим почленно числитель третьего члена этого равенства на знаменатель:

	−ω		+1 =	r2 r4	,			(3.2)
	ω	в		r r
			1 3
	ω1		=U1в =1−			r2 r4	.	(3.3)
	ωв
						r1r3

13

В итоге искомое передаточное отношение U1в определим как:

U	1в	=	ω1		=1−	r2 r4	=	r1r3 −r2 r4	.	(3.4)
			ω			r r
				в				r r
					1 3		1 3

Из зависимости (3.1) можно получить известную формулу Виллиса для определения передаточного отношения простого планетарного механизма:

U в

=

ωв

=

ω

1

−ω

в = −

ω

+1 =1−U 4

,

1

ω

1

14

ωв

−ω

в

в

1в

4

U14в =1−U14в .	(3.5)
или
U14в =1 −U14в , где	(3.6)

U14в - передаточное отношение от первого колеса к четвертому в приведенном механизме с остановленным водилом.

Если это передаточное отношение выразить через радиусы или числа зубьев колес,

то:

	U14в	=U12в	U34в = (−		r2	)(−	r4	).	(3.7)
					r1		r3
	Подставляя полученное выражение в (3.6), получим:
	U14в	=1 −	(r2 r4 )	.					(3.8)
			(r1r3 )

Таким образом, передаточное отношение от колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение от того же колеса к другому центральному, но в приведённом механизме, полученном из этого же планетарного механизма методом остановки водила. Далее передаточное отношение между центральными звеньями выражается через радиусы или числа зубьев колес.

Применение формулы Виллиса для схем простых планетарных механизмов.

Для механизма на рис.3.7:

U31в=1-Uв13,

(3.9)

14

3	4
2	3
1	2
â	â
	4
	1
	Ðèñ. 3.8

15

в

в

в

23= (−

Z2

Z3

) = −

Z3

U

13=U 12 U

)(

,

(3.10)

Z1

Z2

Z1

3

Z3

3

1

=

Z

1

U

1в=1+

Z1

;

U в1=

.

(3.11)

U13в

Z1 + Z3

Для механизма на рис.3.8:

	U41в=1-Uв14,										(3.12)
в	в	в		Z2			Z4		Z2 Z4
U	14=U	12U 34= (−			)(+			) = −		,	(3.13)
				Z1			Z3		Z1Z3
		в	Z2 Z4
	U 14=1+					.					(3.14)
			Z1Z3

3.2. Графический метод

Графический метод основан на использовании картины (плана) скоростей механизма. Если например, колесо вращается относительно неподвижной оси, проходящей через точку О (рис. 3.9), и известна скорость точки А, то соединив конец вектора скорости точки А с точкой О, у которой скорость равна нулю, получим так называемую линию распределения скоростей (л.р.с.) данного колеса. Если необходимо определить скорости других точек колеса, например, В,С,Д,Е и К, находящихся на вертикальном диаметре, то достаточно провести горизонтальные линии через эти точки до пересечения с линией распределения скоростей этого колеса. Отрезки, заключенные между этой линией и вертикальной осью

будут представлять собой			искомые	скорости точек Vb,Vc,Vd,Ve и Vk.					Определение
передаточного отношения			механизма		графическим		методом		сводится к
построению линий		распределения скоростей его отдельных						звеньев, которое всегда
может быть	выполнено, если известны				окружные	скорости		каких-либо	двух точек
на звеньях.	Это	положение лежит		в	основе графического			исследования		зубчатых
механизмов.
Пусть	для зубчатой		передачи,	изображенной		на рис.	3.10. известной			является

скорость точки А. Соединив конец вектора этой скорости VА с центром вращения колеса О1 , для которого скорость равна нулю, получаем линию распределения скоростей колеса 1. Теперь с её помощью можно найти скорость колеса в полюсе зацепления Р12 , для чего необходимо провести горизонталь на уровне полюса Р12 до пересечения с построенной

16

w

uD

uE

uK

uP1,2

3

		3
		.
	ñ
	.
ð
.
ë		uK

A

B uB

C uC

î

D

E

K

Ðèñ. 3.9

A

w1

î1

Ð1,2

w2

î2

Ð2,3

î3

w3

K

Ðèñ. 3.10

						.
					ñ
					.
uA	ð
	ë
	.

		1
	.
	ñ
.
ð
.
ë
uA
1

2

uP2,3

ë. ð. ñ. 2

17

линией распределения скоростей. Получаем скорость Vp12, которая является так же скоростью колеса 2 в той же точке Р12 (т.к. скорости колес в полюсе зацепления одинаковы).

Для колеса 2 известной является только что найденная скорость VP12, соединив которую с точкой О2 , находим линию распределения скоростей колеса 2 и, проведя горизонталь на уровне полюса Р23 до пересечения с построенной линией распределения, находим скорость колес 2 и 3 в полюсе зацепления VР23. Аналогичным образом определяется скорость точки «к».

Рассмотрим рис. 3.11. Если в точке О находится центр вращения звена, то геометрическое место концов векторов скоростей точек звена, расположенных на оси ОУ, представляет собой прямую, соединяющую конец вектора скорости точки А и начало координат , т.е. линию распределения скоростей точек звена.

Выразим угловую скорость звена 1 через скорость точки А:

	ω1 = VA / rOA =	Х		µν	= tg δ (µv /µl),	(3.15)
		Y		µl

Здесь µv [м /с мм] и µl[м/мм] - соответственно масштабные коэффициенты по осям абсцисс (скоростей) и ординат (радиусов).

Эта формула показывает, что угловая скорость звена пропорциональна тангенсу угла наклона линии распределения скоростей точек звена к оси радиусов.

Для двух звеньев А и В (рис. 3.12) передаточное отношение с учётом последней формулы будет иметь вид:

U

Ае

=

ωА

=

(ХА

µν )

(rОВ

µl )

=

ХАrОВ

=

tgδА

.

(3.16)

µ )

ω

В

(r µ

) (Х

В

Х

r

tgδ

В

ОА

l

ν

В ОА

Выразим тангенсы углов

δA

и

δB

через другие треугольники.

Для этого в

произвольном месте проведем горизонталь n-n так, чтобы она пересекала линии рапределения скоростей обоих колес. Обозначим точки пересечения этой нормали с осью радиусов и линиями распределения скоростей соответственно точками С, Д и Е. Тогда из треугольников ОСД и ОСЕ будем иметь:

tgδA= СД/СО и tgδВ=СЕ/СО.

В результате передаточное отношение UАВ можно представить отношением соответствующих отрезков:

18

rOB

y	m
	r,	e
		d
	A	uA

y

1

î

x

w1

Ðèñ. 3.11

y,r,me

C

n

B

wB	A	uA

wA

rOA O

XA

XB

x

u,mv

D

uB

u

E

n

x

,mv

1

		.2	1
	.ñ
ð			.ñ
.
ë			.ð
			ë

t	2
gdA
t
g
d
B

Ðèñ. 3.12

19

UАВ=ωа/ωв=tgδА/tgδВ=(СД/СО)·(СО/СЕ)=СД/СЕ. (3.17)

Таким образом, для определения передаточного отношения графическим методом, необходимо в произвольном месте картины скоростей механизма провести горизонталь п-п так, чтобы она пересекала линии распределения тех колес, между которыми определяется

передаточное	отношение, а затем обозначить точки пересечения		горизонтали	с
вертикальной	осью и линиями распределения тех	колес,	между которыми
определяется	передаточное отношение, после чего найти	отношение соответствующих

отрезков, которое равно искомому передаточному отношению.

При этом, если углы (как и соответствующие им отрезки) расположены в одной четверти, то передаточному отношению присваивается знак плюс «+», если в разных, то знак минус «-».

Последовательность определения передаточного отношения графическим методом следующая:

1.Размещают начало прямоугольной системы координат V и r на центральной оси механизма.

2.Задаются окружной скоростью какой-либо точки одного из центральных звеньев, изображая эту скорость в выбранной системе координат отрезком произвольной длины, параллельно оси V в произвольном направлении, на соответствующем расстоянии от оси абсцисс.

3.Соединяют конец выбранного вектора с началом координат, где все центральные звенья имеют скорость, равную нулю, т.е. проводят линию распределения скоростей точек этого колеса.

4.Используя точки (полюса зацеплений), в которых скорости сопряжённых звеньев равны между собой, последовательно строят линии распределения скоростей для всех остальных звеньев механизма.

5.По построенной картине скоростей определяют передаточное отношение, для чего на произвольном расстоянии от оси абсцисс пересекают горизонталью вертикальную ось и линии распределения скоростей тех звеньев, между которыми определяется передаточное отношение. Измеряют длины полученных отрезков и рассчитывают передаточное отношение как их отношение. Передаточное отношение считается положительным, если отрезки, изображающие скорости звеньев, расположены по одну сторону от оси радиусов и

отрицательным – если по разные. Необходимо указать, что масштабы µе и µr при построении картины скоростей могут быть произвольными и их определять не следует, так как передаточное отношение определяется лишь как отношение соответствующих отрезков.

20