Мамаев А. и др. Определение передаточного

При определении передаточного отношения графическим способом решение можно начинать с любого звена для простого или сложного планетарного механизма. Исключение составляет замкнутый дифференциал, в котором нельзя задаваться скоростью его свободного звена. Во избежание ошибок можно рекомендовать начинать графическое решение дифференциала с его замыкающей цепи.

Пример № 2.

Для простого планетарного механизма, кинематическая схема которого представлена

на рис. 3.13, определить передаточное отношение от первого колеса к водилу U1в = ω1 .

ωв

Размещаем прямоугольную систему координат XOY на центральной оси механизма. Для удобства построения из полюсов зацепления колес и других характерных точек проводим тонкие горизонтальные линии до пересечения с вертикальной осью OY, что поможет избежать ошибок при изображении той или иной скорости . Задаемся окружной скоростью точки водила “в”, которая лежит на подвижной оси сателлита 2. Эту скорость Vв изображаем вектором произвольной длины и откладываем на уровне оси сателлита 2, параллельно горизонтальной оси в произвольную сторону. Поскольку на центральной оси механизма скорость водила равна нулю, то соединив конец вектора Vв c точкой О - началом координат, получаем линию распределения скоростей водила «в».

Переходим к построению линии распределения скоростей звена, сопряженного с водилом. Таким звеном является сателлит 2. Скорость V2 точки сателлита, лежащей на его оси, равна скорости рассмотренной точки водила Vв , поэтому отмечаем ее, проставляя в конце вектора Vв второе обозначение V2 . Таким образом, скорость одной точки сателлита 2

найдена. Второй	точкой		сателлита		2, скорость которой известна, является полюс Р23
зацепления сателлита 2 с опорным колесом 3. Поскольку опорное колесо 3 неподвижно, т.е.
его окружная скорость		равна нулю,			то	и скорость сателлита 2 в этой точке равна нулю,
так как согласно основной			теореме зацепления, окружные				скорости колес в	полюсе
зацепления равны	по	величине		и	по	направлению. Эти точки отмечаем на		уровне
полюса Р23 на вертикальной оси.				Соединив прямой линией			конец вектора V2 и точки на

оси 2,3, получаем линию распределения скоростей сателлита 2.

Затем переходим к построению линии распределения скоростей колеса 1, которое также входит в зацепление с колесом 2, т. е. является для него сопряженным.

В полюсе Р12 зацепления колеса 1 с сателлитом 2 окружные скорости одинаковы. Скорость сателлита 2 в полюсе Р12 найдем с помощью уже построенной линии распределения скоростей колеса 2. Для этого на уровне полюса Р12 необходимо провести

21

r

P2,3

3

2,3

2

â

uâ;u2

P1,2

u2;u1

ë

.

ð

.

A B

C

ñ

n

n

.

.

2.

u

.1

O

.ð.ñ

1

ë

"

â

"

.

ñ

.

ð

.

ë

Ðèñ.3.13

r

2

C

A

B

3

uâ;u2;u3

Ð12

Ð34

u2;u1

3,4

3

,

â

2

.

u

ñ

ð.

.

1

ë

"

ë

â

"

.

ð

.

.

ñ

ñ

.

.

1

.ð

ë

Ðèñ. 3.14

22

горизонталь до пересечения с линией распределения скоростей колеса 2; отрезок, заключенный между вертикальной осью и линией распределения скоростей колеса 2 будет представлять собой скорость колеса 2 в полюсе Р12. Этот же отрезок будет изображать и скорость колеса 1 в полюсе P12, поскольку в полюсе окружные скорости одинаковы. В конце полученного вектора ставим два обозначения V2 и V1.

Скорость оси колеса 1 равна нулю. Поэтому, соединяя конец полученного вектора с точкой 0, т. е. с началом координат, получаем линию распределения скоростей первого колеса.

Картина скоростей механизма построена. Для определения передаточного отношения U1в в произвольном месте проводим горизонталь n-n так, чтобы она пересекала линии распределения скоростей первого колеса и водила. Точки пересечения нормали с вертикальной осью и с указанными линиями пересечения обозначим A, B и C. Передаточное отношение определяем как

U1в=ω1/ωв=+АС/АВ. (3.18)

Передаточному отношению присвоен знак плюс, так как обе линии распределения скоростей лежат по одну сторону от оси радиусов.

Пример № 3

Для простого планетарного механизма, кинематическая схема которого изображёна на рисунке 3.14, определить передаточное отношение U1в графическим способом.

Выбираем систему координат, которую располагаем на центральной оси механизма. Задаёмся окружной скоростью точки конца водила “в”, которая совпадает с подвижной осью блока сателлитов 2-3. Эту скорость изображаем вектором произвольной длины Vв, расположенным параллельно оси V на уровне выбранной точки. (рис. 3.14). Для построения линии распределения скоростей звена необходимо знать скорости двух его точек. На водиле скоростью одной точки мы задались, а скорость точки водила, лежащей на центральной оси механизма, равна нулю. Соединив конец вектора скорости водила Vв с началом координат – точкой О, получим линию распределения скоростей водила “в”. Скорость оси блока

сателлитов будет такой же, как у водила.	В конце выбранного	вектора, кроме обозначения
Vв, проставляем V2,3. Колесо 4 является	не только центральным, но и		опорным, т.е.
неподвижным. Поэтому скорость любой точки этого колеса равна нулю.			Поскольку в
полюсе зацепления окружные скорости равны, то окружная		скорость обоих колеса 3 в

полюсе P34 также равна нулю. На вертикальной оси, на уровне полюса P34 отмечаем точку 3,4. Соединив эту точку с концом вектора V3 получаем линию распределения скоростей колеса 3.

23

Блок сателлитов 2-3 состоит из двух колес, жестко связанных между собой, т.е. представляющих собой одно звено. Поэтому линия распределения колеса 3 является и линией распределения скоростей колеса 2. Построив эту линию, можно найти скорость колеса 2 в полюсе зацепления с первым колесом Р12. Для этого на уровне P12 проводим горизонталь до пересечения с линией распределения скоростей блока сателлитов 2-3. Отрезок, заключенный между этой линией и вертикальной осью будет представлять собой скорость колес 1 и 2 в их полюсе зацепления.. Так как колесо 1 является центральным, то, соединив конец построенного вектора с началом координат, получаем линию распределения скоростей первого колеса.

Затем проводим горизонталь n- n так, чтобы она пересекала линии распределения скоростей первого колеса и водила , и находим искомое передаточное отношение как:

U1в=	ω1	= −	АВ	.	(3.19)
	ωв
			АС

Поскольку линии распределения скоростей колеса 1 и водила лежат по разные стороны от вертикальной оси, то передаточному отношению присваивается знак минус.

3.3. Определение передаточного отношения сложных планетарных механизмов

Для определения передаточного отношения сложного планетарного механизма аналитическим методом, его мысленно разбивают на составляющие механизмы и определяют передаточное отношение каждого механизма отдельно. Затем решают полученную систему из двух уравнений.

Пример № 4

Для сложного планетарного механизма, кинематическая схема которого изображена на рис.3.15. Определить передаточное отношение U1в.

Представленный механизмможно разделить на две части. В правой части имеется колесо 6 (сателлит), которое может перемещаться в пространстве. Звено „в”, перемещающее сателлит, является водилом. Одно из центральных колес, а именно – колесо 7, неподвижно, т.е. является опорным. Таким образом, правая часть заданного механизма представляет собой простой планетарный механизм.

24

Ð67

	3	â
2
	6	7
	Ð34
Ð21	Ð56
		n
			.1
1	5	ë.	ð.ñ
4			,4
		.ð.ñ.5
		ë

Ðèñ. 3.15

r

6,7

uâ;u6

					2,3			u4;u3
					A	B	u6;u5
							C	n
								ë
								.
								ð
								.
					"			ñ
								6
			."	â				.
		.ñ
	.ð
ë

ë.ð.ñ.2,3

u2;u1

u

На схеме слева от него показан механизм, состоящий из двух пар зубчатых колес 1,2,3 и 4. Поскольку оси этих колес в пространстве не перемещаются, то механизм является простой двухступенчатой передачей с неподвижными осями вращения колес.

Таким образом, заданный механизм состоит из простого планетарного механизма и двухступенчатой передачи с неподвижными осями вращения колес, соединённых между собой валом, на котором закреплены колеса 4 и 5.

Найдем передаточное отношение каждого из механизмов, входящих в состав заданного.

Аналитический метод.

Передаточное отношение двухступенчатой передачи с неподвижными осями вращения колес от первого колеса к четвертому будет равно:

U14=U12 · U34= (

ω1

) (

ω3

) =

ω1

= (−

r2

) (−

r4

) =

r2

r4

.

(3.20)

ω

ω

ω

r

r

r

2

4

4

r

1

3

1

3

Колеса 2 и 3 выполнены в виде блока, имеют одинаковые угловые скорости ω2 и ω3, которые в выражении передаточного отношения (3.20) сокращаются.

Для определения передаточного отношения простого планетарного механизма применяем метод остановки водила. Составим таблицу:

				Таблица № 2
	Звенья		Центральные звенья
	Тип
	движения	5	7	«в»
	Действительное	ω 5	ω7=0	ωв
		–ωв	–ωв	–ωв
	Дополнительное
		ω5 – ωв	–ωв	0
	Суммарное

Записываем	уравнение передаточного	отношения между	центральными
звеньями в приведенном механизме и выражаем		его через радиусы или	числа зубьев
колес:

		ωв		ω		−ω			r
U в	=	5	=		5			в = −	7	.	(3.21)
		ωв			−ω				r
57							в
		7							5

Третий член уравнения делим на знаменатель и получаем
1 −ω5			= −	r7				(3.22)
					r
ω		в
или:			5
					r7
ω5		=1 +					.	(3.23)
ω
	в				r
			5

В итоге получили два уравнения (3.20 и 3.23), связывающие угловые скорости центральных звеньев в обеих частях заданного механизма.

Перемножим левые и правые части выражений (3.20) и (3.23)

U

14

U

5в

=

ω1

ω5

= (

r2 r4

)(1 +

r7

) .

(3.24)

ω

r r

4

ω

в

r

1 3

5

В результате, учитывая, что ω4

=ω5 , получаем выражение для определения

передаточного

отношения заданного механизма:

U

1в

= ω1

=

r2 r4 r5

.

r r (r + r )

ω

в

1 3 5

7

Графический способ.

Для

определения передаточного

отношения графическим способом (рис. 3.15)

выбираем

прямоугольную систему

координат,

которую

размещаем

на центральной

оси механизма. Поскольку

заданный

механизм

не является

дифференциальным, то

начинать

построение картины скоростей можно с любого

из

звеньев.

Зададимся окружной скоростью колеса 1 в полюсе

Р12

его зацепления с

колесом 2 и изобразим эту скорость направленным							отрезком V1. Такую же скорость
будет иметь	и колесо 2 в полюсе Р12. Поэтому в конце отрезка V1								ставим
обозначение	V2. Поскольку		скорость		колеса	1 на центральной оси равна нулю,				то
соединив конец		отрезка V1,V2 с началом координат, получаем линию распределения
скоростей колеса 1. С колесом			1	сопряжено колесо 2.
Скорость		оси колеса	2	равна	нулю,	так	как она	не	перемещается	в
пространстве. На		вертикальной	оси отмечаем точку				2. Соединяя	конец отрезка V1,V2

с точкой 2	на оси, получаем линию распределения скоростей колеса 2. Колесо 3
жестко связано с колесом 2, так как			это блок колес. Эти колеса имеют одну и ту же
линию распределения		скоростей.	На вертикальной оси рядом	с	цифрой	2
проставляем	цифру 3.	С колесом	3 сопряжено колесо 4, поэтому	переходим		к
построению	его линии распределения		скоростей. В полюсе зацепления	Р34	окружные
						27

скорости V3 и V4	одинаковы. Проведя горизонталь на уровне полюса Р34 до
пересечения с линией	распределения скоростей блока колес 2-3, находим скорость

третьего колеса V3. Эта скорость представляет собой отрезок, заключенный между вертикальной осью и линией распределения скоростей колеса 3. Этим же отрезком

изображается	и	скорость	четвертого колеса V4 в полюсе Р34.	Поскольку	на
центральной	оси	скорость колеса 4 равна нулю, то соединив конец		отрезка V3,V4	с
началом координат, получим			линию распределения скоростей колеса	4. Она же будет

и линией скоростей колеса 5, так как эти колеса жестко связаны между собой. Далее строим линию распределения скоростей колеса 6, сопряженного как с колесом 5, так и с колесом 7. В полюсе зацепления Р67 скорости колес 6 и 7 одинаковы и равны нулю, так как колесо 7 неподвижно. На уровне полюса Р67 проводим горизонталь до пересечения с вертикальной осью и отмечаем точки 6, 7.

	В полюсе		Р56	зацепления сателлита 6					с колесом 5 скорость	сателлита 6	равна
скорости		колеса	5.	Скорость		колеса 5 в			полюсе Р56 изображается отрезком V5,
проведенном горизонтально					на	уровне полюса Р56 и ограниченном				вертикальной	осью
и	линией	скоростей		колеса	5. Этим		же	отрезком изображается и		скорость сателлита
6	в полюсе Р56. В			конце	отрезка		V5	ставим второе обозначение		V6 . В результате

найдены скорости двух точек колеса 6; вектора скоростей этих точек должны лежать на одной прямой – линии распределения скоростей. Для получения линии скоростей сателлита 6 проводим прямую через конец отрезка V5,V6 и точки 6,7 на вертикальной оси.

Переходим к построению линии распределения скоростей водила «в». В точке на оси сателлита 6 скорость водила равна скорости сателлита. На уровне оси сателлита 6 проводим горизонталь до пересечения с его линией распределения скоростей и получаем скорость сателлита V6 в этой точке и одновременно скорость водила Vв на оси сателлита. Отрезок, ограниченный вертикальной осью и линией

скоростей	колеса 6	представляет скорости	V6,Vв . Скорость	водила	«в» на
центральной оси равна нулю, поэтому, соединив конец отрезка				V6,Vв с	началом
координат,	получаем линию распределения скоростей водила «в».

Для определения передаточного отношения в произвольном месте проводим горизонталь п-п, так, чтобы она пересекала вертикальную ось и линии скоростей колеса 1 и водила «в». Передаточное отношение определяется как:

U1В=ω1/ωв=АС/АВ.

28

При определении передаточного отношения планетарных механизмов аналитическим методом приходится применять различные приемы в зависимости от того, какого типа является планетарный механизм и какие механизмы, входят в его состав. Знание типа механизма требуется также и при использовании графического метода.

В связи с этим решение задач по определению передаточного отношения механизма необходимо начинать с выяснения его типа и состава и лишь затем приступать к составлению уравнений и графическим построениям.

Пример № 5.

Для механизма, кинематическая схема которого изображена на рис.3.16, определить передаточное отношение от водила «а» к водилу «в».

Решение начинаем с выяснения структуры заданного механизма. Из схемы видно, что механизм содержит два водила «а» и «в» и, следовательно, включает два планетарных механизма. На водиле «а» установлен блок сателлитов 2-3. Этот блок обкатывается по центральным колесам 1 и 4, одно из которых – колесо 4, неподвижно. Из этого можно сделать вывод, что механизм, состоящий из водила «а», блока

сателлитов 2-3 и центральных колес 1 и 4, является		простым	планетарным
механизмом. Механизм, состоящий из водила «в», сателлита 6		и центральных колес 5
и 7, также является простым планетарным,	поскольку колесо 7 также неподвижно.
В целом заданный механизм	состоит из двух	простых	планетарных

механизмов, последовательно соединенных между собой валом, на котором жестко закреплены центральные колеса 1 и 5.

Аналитический метод.

Определим передаточное отношение каждого из двух простых планетарных механизмов, входящих в состав заданного.

В первом простом планетарном механизме будем искать передаточное отношение от водила «а» к центральному колесу 1, которое жестко закреплено с центральным колесом 5. Во втором механизме будем искать передаточное отношение от колеса 5 к водилу «в».

Применяя метод остановки водила, составим таблицу угловых скоростей центральных звеньев для первого механизма:

29

Таблица № 3

Звенья

Центральные

звенья

Тип

Движения

«а»

1

4

Действительное

ωа

ω1

ω4=0

Дополнительное

-ωа

-ωа

-ωа

Суммарное

0

ω1-ωа

-ωа

Записываем выражение для

передаточного

отношения

от

первого

колеса

к

четвертому в приведенном механизме:

U a

=

ωa

=

ω

1

−ω

a =

r r

(3.25)

1

2 4 .

14

ωa

−ω

a

r r

4

1 3

Делим почленно числитель

третьего члена на его

знаменатель:

1 −

ω1

= r2 r4 .

(3.26)

ω

a

r r

1

3

Откуда

ω1

=1 − r2 r4

= r1r3 −r2 r4

,

(3.27)

ω

a

r r

r r

1

3

1

3

	ωa		=	r r		r1r3			.		(3.28)
	ω	1				−r	2	r
				1	3			4
Далее переходим к рассмотрению второй – правой части исходного механизма.											Составим
таблицу на основе метода остановки				водила:
										Таблица № 4
Звенья									Центральные звенья
Тип
движения	«в»								5	7
Действительное	ωв								ω5	ω7=0
Дополнительное	–ωв								–ωв	–ωв
Суммарное	0								ω5–ωв	–ωв
											30