Сербо В. Г. Лекции по физике элементарных частиц

21

приводят к разумному результату:

Hˆ =	p	εp	nˆp + 2	,
	X		1

где оператор числа квантов

nˆp = aˆ+p aˆp

имеет собственные значения 0, 1, 2, 3, . . .. Отсчитывая энергию от бесконечной суммы

1	Pp εp, получим	Hˆ =
2			εp nˆp ,
			X
			p
Аналогично,			X
		ˆ
			p nˆp .
		P =

p

Отсюда видно, что nˆp имеет смысл оператора числа квантов с энергией εp и импульсом p.

Если бы мы выбрали правила квантования, соответствующие статистики Ферми,

ò. å.

+

ˆ

Â

aˆp, aˆp0

= δpp0, то оператор H вообще не зависил бы от nˆp.

гайзенберговском представлении

! ,

Φˆ (x) =

p

aˆp

2εp

+ aˆp+

2εp

X

e−ipx

eipx

p

p

V

V

p

px = εpt − pr, εp = + p2 + m2,

причем, волновая функция

e−ipx

p

2εpV

соответствует одной частице во вс¼м объ¼ме V.

5. Комплексное скалярное поле ϕ (x) 6= ϕ (x)

Как и выше, плотность функции Лагранжа комплексного скалярного поля выбираем

òàê

L(ϕ, ϕ , ∂µϕ, ∂µϕ ) = ∂µϕ ∂µϕ − m2ϕ ϕ ,

чтобы уравнения Лагранжа

∂

∂L

−

∂L

= ∂

∂µϕ + m2ϕ = 0 ,

∂xµ ∂(∂µϕ )

∂ϕ

µ

∂

∂L

−

∂L

= ∂

∂µϕ + m2ϕ = 0

∂xµ ∂(∂µϕ)

∂ϕ

µ

совпадали с уравнением Клейна-Фока-Гордона для функций ϕ(x) и ϕ (x). Далее находим

T µν = ∂µϕ ∂νϕ + ∂νϕ ∂µϕ − gµνL,

22 плотность энергии поля

T 00 = ϕ˙ ϕ˙ + (rϕ ) (rϕ) + m2ϕ ϕ ≥ 0,

энергию поля E = R T 00 d3r, импульс поля P n = R T n0 d3r, òîê

jµ = i [ϕ ∂µϕ − (∂µϕ ) ϕ] , j0 = i (ϕ ϕ˙ − ϕ˙ ϕ) ,

и заряд поля
Q = Z	j0d3r.

Проведем разложение по плоским волнам без условия действительности функции ϕ (x), ò. å.

	X					1	V
	ϕ (x) =	Np ap (t) eipr + ap (t) e−ipr		, Np =					,
ïðè÷¼ì a					p
	(t) = a (t), íî êàê è âûøå		e			2εp
ep	p
	6 p

ap (t) e−iεpt , eap (t) e+iεpt .

При квантовании ap(t) переходит в aˆp		оператор уничтожения частицы, но ap (t)
таким образом					e	ˆbp ,
переходит в оператор рождения другой частицы, поэтому мы обозначим его через						+
				ˆ+	,
ap (t) → aˆp, ap (t) → bp
ap	(t) → aˆp ,	ep	( ) → p
	+	a	t	ˆb	.
		e

В итоге операторы поля в гайзенберговском представлении имеют вид:

X

ϕˆ (x) =

p

X

ϕˆ+ (x) =

p

aˆp

2εp

+ ˆbp+

2εp

! ,

e−ipx

eipx

p

p

V

V

!

aˆp+

2εp

+ ˆbp

2εp

,

eipx

e−ipx

p

p

V

V

(5.1a)

(5.1b)

а операторы энергии, импульса и оператор заряда таковы:

Hˆ =	p	εp aˆp+aˆp + ˆbpˆbp+ , Pˆ =	p	p aˆp+aˆp + ˆbpˆbp+ , Qˆ =	p	aˆp+aˆp − ˆbpˆbp+ .
	X		X		X

Как и в предыдущем разделе, используем правила квантования, соответствующие статистике Бозе-Эйнштейна:

aˆp, aˆp+ = δpp0,

hˆbp, ˆbp+i = δpp0,

а все остальные пары операторов коммутируют

h i h i h i h i

ˆ + ˆ ˆ+ + ˆ+

aˆp, bp0 = aˆp , bp0 = aˆp, bp0 = aˆp , bp0 = 0,

h i h i

ˆ ˆ + + ˆ+ ˆ+

[ˆap, aˆp0] = bp, bp0 = aˆp , aˆp0 = bp , bp0 = 0 .

23

В этом случае получим (отбрасывая бесконечные константы)

X		ˆ		X		ˆ		X	ˆ
ˆ				ˆ			, Q =			,
H = εp		nˆp + np		, P = p nˆp + np					nˆp − np
p				p				p

ãäå

nˆp = aˆ+p aˆp

операторы числа частиц сорта a, à

ˆ ˆ+ˆ np = bp bp

операторы числа частиц сорта b. Отсюда видно, что частицы сорта a (b) имеют

энергию εp (εp), импульс p (p), заряд +1 (−1). Частицы сорта b называются антича- стицами. В разложении (1) волновая функция

e−ipx

p

2εpV

соответствует одной частице во всем объ¼ме V.

6. C, P , T -преобразования комплексного скалярного поля

C-преобразование зарядовое (C charge) преобразование определяется соотноше-

ниями	ˆ		ˆ+	ˆ+
ˆ		+			+	,
aˆp → bp, bp → aˆp, aˆp			→ bp	, bp	→ aˆp
т. е. частицы заменяются на античастицы и наоборот. При этом
	ϕˆ (x) → ϕˆC (x) = ϕˆ+ (x) .					(6.1)

P -преобразование пространственная инверсия (P parity) отражение тр¼х осей r → −r, при этом

ϕ (t, r) → ϕP (t, r) = ηP ϕ (t, −r) ,

ãäå ηP фазовый множитель. Двойное применение операции P да¼т ηP2 ϕ (t, r) = ϕ (t, r), ò. å. ηP = ±1. Åñëè ηP = +1 поле называется скалярным, если ηP = −1 поле называется

псевдоскалярным.

Преобразование операторов поля:

ϕˆ (t, r) → ϕˆP (t, r) = ηP X p 1

p 2εpV

−i(ε t+pr) ˆ+ i(ε t+pr)

aˆpe p + bp e p

Изменим знак индекса суммирования p, тогда

ϕˆP (t, r) = ηP		1		aˆ−pe−ipx + ˆb−+peipx , px = εpt − pr,
	p	2εpV
ò. å.	X p			ˆ+		ˆ+
					→
		aˆp → ηP aˆ−p, bp				ηP b−p,

24
аналогично		ˆ	ˆ
+	+
aˆp	→ ηP aˆ−p, bp → ηP b−p.

Отсюда операторы рождения (уничтожения) частиц и античастиц преобразуются одинаково, т. е. внутренние ч¼тности частиц и античастиц скалярного поля одинаковы.

→ 0 ˆ 0 ν ν

Преобразования Лоренца: x x = Λx, èëè xµ = Λµxν, матрица Λµ зависит непрерывным образом от параметров группы Лоренца углов поворота в шести плос-

костях xy, yz, zx, tx, ty, tz. Определитель этой матрицы det Λνµ = +1. Скалярная (и псевдоскалярная) функция не изменится при таком преобразовании:

ϕ (x) → ϕΛ (x) = ϕ Λˆ−1x .
Отражение всех четыр¼х осей x → x0 = −x имеет det Λµν	= +1 и формально-

математически может быть отнесено к непрерывным преобразованиям, поэтому для него

ϕ (t, r) = +ϕ (−t, −r) .

Для операторов поля отсюда получим

ˆ+	ˆ	+	,
aˆp → bp	, bp → aˆp

т. е. это преобразование включает также и замену частиц античастицами.

T (time)-преобразование отражение времени t → −t. В квантовой механике

∂Ψ ˆ

уравнение Шр¼дингера i ∂t = HΨ не изменяет своего вида, если одновременно с изменением знака t сделать комплексное сопряжение, т. е. t → −t è Ψ → Ψ . Поэтому

ϕˆ (t, r) → ϕˆT (t, r) = ηT ϕˆ+ (−t, r) ,

	+	ˆ+	ˆ
	aˆp → ηT aˆ−p, bp		→ ηT b−p.
Если далее сделать C è P преобразования, то
	ϕˆ (t, r) → ϕˆP CT (t, r) = ηP ηT ϕˆ (−t, −r) ,
е. фактически это будет преобразование			→ −x	с определителем	, поэтому
ò.P CT	(t, r) = ϕˆ (t, r), ò. å. ηP ηT = +1, ηT = ηP	x			+1
ϕˆ		= ±1.

7. C, P , T -преобразования для электромагнитного поля

Для полноты привед¼м очевидные формулы C, P è T -преобразования для электромаг-

нитного поля:

ACµ (x) = −Aµ (x) ,

A0P (t, r) = A0 (t, −r) ,	AP (t, r) = −A (t, −r) ,
A0T (t, r) = A0 (−t, r) ,	AT (t, r) = −A (−t, r) .

Отсюда, в частности следует, что конечные состояния в γγ-соударениях имеют положительную C-ч¼тность. Напротив, если конечные состояния в e+e− аннигиляции об- разуются через однофотонное виртуальное состояние, то они имеют отрицательную C-ч¼тность.

25

8. Спинорное поле Дирака

Легко проверить, что при выборе плотности функции Лагранжа в виде

L Ψ(x), Ψ(x), ∂µΨ(x), ∂µΨ(x) = 12 Ψγµ i∂µΨ − (i∂µΨ)γµΨ − mΨΨ,

уравнение Лагранжа совпадает с уравнением Дирака, свойства которого подробно обсуждаются в C F. В частности, в E было показано, что волновые функции

e−ipx eipx

p2εpV upσ è p2εpV vpσ

образуют полный набор, нормировка этих волновых функций соответствует одной ча- стицы в объ¼ме V. Разлагая по этим функциям операторы спинорного поля так же, как

это было сделано для комплексного скалярного поля, получим

Ψˆ (x) =

pσ

aˆpσ

e−ipx

eipx

vpσ! ,

2εp

upσ + ˆbp+σ

2εp

X

p

p

V

V

ˆ

+

eipx

e−ipx

upσ + ˆbpσ

vpσ! .

Ψ (x) =

pσ

aˆpσ

2εp

2εp

Здесь +

X

V

V

рождения (уничтожения) свободной частицы с импуль-

aˆpσ (aˆpσ) оператор

p

p

ˆ+

ˆ

ñîì p, энергией εp = +

p

2

+ m

2

и поляризацией σ, à bpσ (bpσ) оператор рождения

свободной античастицы с импульсом

2

2 è

(уничтожения)

p, энергией εp

= + p + m

p

поляризацией σ.

p

Энергию поля удобно рассчитать, стартуя от гамильтоновой формы уравнения Дирака (см. C.5):

	∂Ψ (x)							∂Ψ (x)
E = Z Ψ+ i				d3r = Z		Ψγ0i				d3r .
		∂t						∂t
Далее обычным образом получим
		X
ˆ			εp		+		ˆ	ˆ+
E → H =					aˆpσaˆpσ − bpσbpσ .

pσ

При выводе последнего равенства использовались нормировка и ортогональность биспиноров (см. (E.3), (E.8), (E.11)) и соотношения (E.12), ÷òî äà¼ò:

upσγ0upσ0 = 2εpδσσ0, vpσγ0vpσ0 = 2εpδσσ0, upσγ0v−pσ0 = vpσγ0u−pσ0 = 0,

Чтобы выражение для ˆ
	H имело смысл, необходимо квантовать по Ферми-Дираку:
		aˆpσ, aˆp+σ		= 1,	nˆbpσ, ˆbp+σo = 1,
				+, ˆ ˆ+ антикоммутируют. В этом случае
а все остальные пары операторов aˆ, aˆ				b, b
X		ˆ				ˆ	ˆ+ ˆ
ˆ					+
H =	εp nˆpσ + npσ		− 1 , nˆpσ = aˆpσaˆpσ , npσ = bpσbpσ ,

pσ

26 а для заряда

ZZ

Q = j0 (x) d3r = Ψ (x) γ0Ψ (x) d3r

аналогично		aˆp+σaˆpσ		+ ˆbpσˆbp+σ	= pσ	nˆpσ − nˆpσ + 1 ,
	Q → Qˆ = pσ
	X		ˆ		X
ãäå	nˆpσ оператор числа частиц, а
			npσ оператор числа античастиц.

9. Представление взаимодействия

Напомним, что в шр¼дингеровском представлении операторы физических величин не зависят от времени, а зависящий от времени вектор состояния Ψ (t) удовлетворяет уравнению Шр¼дингера

	∂Ψ (t)		ˆ
i	∂t		= HΨ (t) .
				ˆ
Разложим Ψ (t) по стационарным состояниям Ψn (0), таким, что HΨn (0) = EnΨn (0),
тогда	X
			cnΨn (0) e−iEnt.
Ψ (t) =				(9.1)

n

Òàê êàê

− ˆ −

e iHtΨn (0) = e iEntΨn (0) ,

то (1) можно представить в компактном виде

X

ˆ

Ψ (t) = U (t)

ˆ	(9.2)
cnΨn (0) = U (t) Ψ (0) ,

n

где унитарный оператор

Uˆ	ˆ	(9.3)
	(t) = e−iHt

полностью определяет зависимость вектора состояния от времени. Используя соотношение (2), среднее значение оператора ˆ

A

DE

h i | ˆ|

A (t) = Ψ (t) A Ψ (t) ,

можно переписать в таком виде

D E

h i | ˆ |

A (t) = Ψ (0) A (t) Ψ (0) ,

ˆ	ˆ−1	ˆ ˆ	(9.4)
A (t) = U		(t) AU (t) ,

в котором от времени зависит оператор ˆ

A (t), а вектор состояния Ψ (0) не зависит от

времени. Такая картина развития системы во времени называется гайзенберговским представлением.

Пусть

ˆ ˆ	ˆ
H = H0	+ V ,

ãäå ˆ

V взаимодействие. Если взаимодействие можно рассматривать как малое возмущение, то строительство теории возмущений удобно производить в представлении

27

взаимодействия, которое определяется так. Введем новый унитарный оператор разви-

òèÿ		ˆ
ˆ
	(t) = e	−iH0t	(9.5)
U0

и новый вектор состояния

ˆ−1

Φ(t) = U0 (t) Ψ (t) .

Этот вектор состояния подчиняется уравнению

∂Φ (t)

∂Uˆ−1

(t)

ˆ−1

∂Ψ (t)

−1

ˆ

−1

ˆ

0

i

= i

Ψ (t) + iU0

(t)

= −U0

(t) H0

Ψ (t) + U0

(t) HΨ (t)

∂t

∂t

∂t

èëè

ãäå

	∂Φ (t)		ˆ
i	∂t	= V (t) Φ (t) ,			(9.6)
ˆ		ˆ−1	ˆ ˆ	(t) .
V (t) = U0			(t) V U0

Представление взаимодействия очень удобно по следующим соображениям:

• ïðè ˆ

V = 0 оно переходит в гайзенберговское представление, которое мы использовали до сих пор для ковариантного описания операторов полей;

•вектор состояния Φ (t) удовлетворяет уравнению (6), в котором правая часть содержит малый параметр, что очень удобно для построения теории возмущений.

10. Инвариантная теория возмущений

В предыдущем параграфе формальное решение уравнения Шр¼дингера i∂Ψ(∂tt) было получено в компактном виде

ˆ

= HΨ (t)

− ˆ

Ψ (t) = e iHtΨ (0) ,

используя разложение Ψ (0) по стационарным состояниям. Этот же ответ можно получить иначе. Временной интервал от 0 äî t разобь¼м на маленькие участки δtα. Íà участке от tα äî (tα + δtα) можно записать

− ˆ

Ψ (tα + δtα) = e iHδtα Ψ (tα) .

Повторяя эту процедуру, получим

Y− ˆ

Ψ(t) = e iHδtα Ψ (0) .

			α
		ˆ		ˆ
Пользуясь тем, что операторы e−iHδtα			è e−iHδtβ коммутируют, перепишем
e−	iHδtˆ	= e	ˆ	P	= e−	iHtˆ	= Uˆ (t) .
Y

α

Так же можно действовать и при решении уравнения для вектора состояния в пред-

	∂Φ(t)	ˆ
ставлении взаимодействия Φ (t), для которого i		= V (t) Φ (t). Именно, интервал от
	∂t

28

начального времени ti до конечного tf разобьем на малые участки δtα, ïðè ýòîì êàê è

âûøå

− ˆ

Φ (tα + δtα) = e iV (tα)δtα Φ (tα) .

Повторяя эту процедуру, получим

Y − ˆ

Φ (tf ) = e iV (tα)δtα Φ (ti) .

α

Существенная разница с предыдущим заключается в следующем: операторы

ˆ

V (tα) è

ˆ

V (tβ), вообще говоря, не коммутируют друг с другом. Введем формально оператор

упорядочивания по времени ˆ

T , под знаком этого оператора можно переписать

tf

P

Y

− R ˆ

− ˆ i V (t) dt − ˆ ˆ i V (tα) δtα ˆ

e iV (tα) δtα = T e α = T e ti

α

ˆ

= U .

Конструктивный смысл этому формальному выражению можно придать, разложив экспоненту в ряд и проведя в полученных многократных интегралах упорядочивание

ïî tk,

				tf		tf
Uˆ =	∞	(−i)n	Tˆ	Z	Vˆ (t ) dt . . .	Z	Vˆ (t ) dt .
	n=0	n!			1 1		n n
	X			ti		ti

Если теперь устремить ti → −∞, tf → ∞, òî

Uˆ	→	Sˆ = Tˆe−i Vˆ (t)dt =	∞	(−i)n	Tˆ	Z	Vˆ (t ) dt . . .	Z
		R	n=0 n!				1 1
			X

ˆ

V (tn) dtn.

Элементы S-матрицы, соответствующие переходу из начального состояния |ii в конеч- ное состояние |fi, суть матричные элементы

h | ˆ | i

Sfi = f S i .

Пример КЭД:

L = 12 Ψγµ (i∂µ − eAµ) Ψ + (−i∂µ − eAµ) Ψ γµΨ − mΨΨ,

так что плотность функции Лагранжа, соответствующая взаимодействию электронов и фотонов, имеет вид:

LI = −eΨ(x)γµΨ(x)Aµ(x)

(если частица электрон, то e < 0). В итоге в КЭД

	Z		Z			ˆ
ˆ	3	r =	ˆ	3	ˆ		ˆ ˆµ	(x)
V (t) = − LI d			V (x)d r , V (x) = eΨ(x) (x) γµΨ (x) A

è
Sˆ = Tˆe−i R Vˆ (x) d4x = Tˆe−ie R	ˆ
	Ψ(x)γµΨ(ˆ x)Aˆµ(x) d4x

унитарный, релятивистски инâариантный оператор. Так как константа электромагнитного взаимодействия |e| = √α мала, теория возмущений оказывается очень эффек-

тивным способом расчетов в КЭД.

29

Пример скалярных полей взаимодействие комплексного скалярного поля ϕ (x) и действительного скалярного поля Φ (x):

ˆ ˆ − R ˆ+ ˆ 4

S = T e ig φ (x)ϕˆ(x)Φ(x) d x ,

ãäå g константа взаимодействия.

Взаимодействие спинорного поля Ψ (x) и действительного скалярного поля Φ (x):

Sˆ = Tˆe−ig R	ˆ
	Ψ(x)Ψ(ˆ x)Φ(ˆ x) d4x.

11. Амплитуды и вероятности переходов 11.1. Амплитуда рассеяния

Рассмотрим переход из начального состояния

|ii ñ

суммарным 4-импульсом Pi =

i pi

в конечное состоя-

íèå

|

f

i

ñ P

f

=

f

p

f0

(ðèñ. 5).

Амплитуда вероятности

P

такого переходаPf

|

Sˆ

i

i

= Sfi

матричный элемент

h

|

оператора перехода ˆ

ратор имеет вид

S, в теории возмущений этот опеРис. 5. Переход |ii → |fi

Sˆ = Tˆe−i R Vˆ (x)d4x,

ãäå

ˆ

Sfi тривиальный

V (x) плотность оператора возмущения. Удобно выделить из

вклад, δfi, а в остатке в явном виде учесть закон сохранения 4-импульса:

Sfi = δfi + i (2π)4 δ (Pi − Pf ) Tfi.

Пусть начальному состоянию отвечает время

ti, а конечному время tf (затем

ti → −∞, tf

→ ∞) и пусть t = tf − ti, тогда вероятность перехода в единицу времени

ïðè |ii 6= |fi равна

Sfi

2

Yf

V

d3p0

4

2

Tfi

2

Yf

V

d3p0

˙

f

f

dWi→f

=

|

|

= (2π)

δ (Pi

− Pf )

|

|

.

t

(2π)3

t

(2π)3

Квадрат δ-функции в этом выражении может быть расшифрован следующим образом:

(2π)4 [δ (Pi − Pf )]2 = δ (Pi − Pf ) · (2π)4δ(0)

и далее

tf

ZZ

(2π)4δ(0) = dt d3r ei(Pi−Pf )x = V t.

Pi=Pf

ti V

Таким образом,

dW˙ i→f = (2π)4δ (Pi − Pf ) V |Tfi|2 Y Vd3p0f . f (2π)3

30

Число состояний

Vd3pf0

V

.

(2π)3

соответствует нормировке на одну частицу во вс¼м объ¼ме

Это отвечает волновой функции

e−ipx

для скалярных частиц,

e− p

√4π eµ

,

2εpV

ikx

kλ

для фотона

p e−Vipx

для электрона

2ωk

upσ

.

p

2εpV

Удобно вынести множитель

1

p2εpV

для всех частиц, введя новую величину ампли-

туду рассеяния Mfi:

Y

1

p

V

Sfi = δfi + i (2π)4 δ (Pi − Pf ) Mfi

if

2εp

.

11.2. Ширина распада

Вероятность распада частицы в единицу времени или ширина распада равна

i→f ≡

i→f

−

f

2εV

|

fi|

Yf

d3p0

2εf0 (2π)3

dW˙

d

= (2π)4

δ (p

P

)

V

M

2

f

.

Вспомогательное понятие, объ¼м V, исчезло из этого выражения.

Если ид¼т распад в системе покоя начальной частицы с массой m на две частицы с энергиями ε01 + ε02 = m и импульсами p01 = −p02 (ðèñ. 6), òî

d

=

|Mfi|2

p0

dΩ0 .

i→f

32π2m2 |

|

1

1

Рис. 6. Кинематика рас-

11.3. Сечение рассеяния

ïàäà

Две частицы, соударяясь,

переходят

в конечное состояние из n

частиц (рис. 7). Вероятность такого перехода в единицу

времени равна

Mfi

2

V Yf

d3p0

dW˙ i→f = (2π)4 δ (p1 + p2 − Pf )

| |

f

2ε1V2ε2V

2εf0 (2π)3

Сечение

Рис. 7. Кинематика рас-

˙

сеяния

dσ =

dW

,

j

ãäå j плотность потока. При нормировки на одну частицу в объ¼ме V плотность потока в с.ц.и. равна

j =

+

=

|ε1 |

+

|ε2 |

= |

|

ε1

ε2 .

v1

v2

1

p1

p2

p1

(ε1

+ ε2)

V

V

V

V