Сербо В. Г. Лекции по физике элементарных частиц

единицах). Однако собственные функции оператора

71

частица той же массы, что и электрон, но с противоположным зарядом, прич¼м отсутствующему электрону с энергией (−ε) и импульсом (−p) соответствует частица-дырка

с энергией (+ε) и импульсом (+p). В квантовой теории поля частица-дырка выступа-

ет как античастица, а представление о дираковском море оказалось излишним. Такая античастица для электрона была вскоре обнаружена (К. Андерсон, 1932 г.) и названа

позитроном.

Таким образом, свободному электрону соответствует плоская волна

Ψp(x) = N up e−ipx , p x = εt − pr ,

(D.5)

где биспинор up определ¼н в (4), а множитель N при нормировке на одну частицу во вс¼м объ¼ме V равен

			N =	√	1	.	(D.6)
				2εV
Свободному позитрону соответствует плоская волна
			Ψ−p(x) = N vp eipx , p x = εt − pr ,				(D.7)
где биспинор vp определ¼н соотношением
vp ≡ u(−ε, −p) =			ˆ
		√ε + m χ , χ+χ = 1 , v¯p vp = −2m , v¯p γµvp = +2pµ . (D.8)
			A χ

Так как позитрон является античастицей для электрона, то 9

Ψ−p(x) = CΨp(x) ,

(D.9)

а биспинор vp связан с биспинором up соотношением

vp = C u¯p ,	χ = −σy ϕ .	(D.10)
Биспиноры up è vp взаимно ортогональны:
v¯p up = u¯p vp = 0 .		(D.11)
В нерелятивистском пределе величина	ˆ	1, поэтому волновая
	A ìàëà, |p|/m

функция свободного электрона (позитрона) фактически становится двухкомпонентной, так как ее нижние (верхние) компоненты оказывается |p|/m.

Отметим также особенность, связанную с оператором скорости vˆ = α. Так как vˆx = αx, à αx2 = I, то собственные значения оператора vˆx равны ±1 (или ±c в обычных vˆx не соответствуют определенно-

му знаку энергии, т. е. обычным физическим состояниям. И наоборот, в состоянии с фиксированной энергией

hvxi = u+(±ε, p) αx u(±ε, p) = ±pxε ,

как и должно быть.

9Отметим, что этот результат находится в соответствии с формулами зарядового сопряжения (см. (C.17)): если функция Ψ(x) e−iεt/~ есть решение стационарного уравнения Дирака для частицы

с энергией E = +ε и зарядом e во внешнем поле, то функция CΨ(x) e+iεt/~ отвечает решению уравнения Дирака для частицы с энергией E = −ε и противоположным зарядом (−e) в том же поле.

72

E. Поляризация электрона и позитрона

В этом разделе собраны основные формулы, задающие описание поляризационного состояния свободных электронов и позитронов в двух упомянуòûõ â C.5 подходах.

íà îñü z в системе покоя электрона, равной σ,								p
1. Свободный электрон с импульсом p, энергией ε = +									p2 + m2 и проекцией спина
						описывается волновой функцией
	Ψpσ(x) = N upσ e−ipx , px = εt − pr .									(E.1)
Здесь биспинор upσ удовлетворяет уравнениям
	(γµpµ − m) upσ = 0 ,									(E.2a)
условию нормировки	sˆz upσ = σ upσ ïðè ε → m ,									(E.2b)
	u¯pσupσ0 = 2m δσσ0									(E.3a)
и имеет вид	√
			ε + m		ϕ(σ)			p
	upσ = √			σn ϕ(σ) , n =					.	(E.4)
							|p|
Кроме того,		ε − m
	u¯pσγµupσ0 = 2pµ δσσ0 .									(E.3b)

Двухкомпоненетные спиноры ϕ(σ) удовлетворяют уравнениям

12 σz ϕ(σ) = σ ϕ(σ) , ϕ(σ)+ϕ(σ0) = δσσ0 ;

явный вид этих спиноров может быть выбран как и в нерелятивистском случае:

ϕ(σ=1/2) =	0	; ϕ(σ=−1/2)	=	1 .
	1			0

Множитель N при нормировке на одну частицу во вс¼м объ¼ме V равен

N =	√	1	.	(E.5)
	2εV

Перейд¼м теперь к описанию спинового состояния свободного позитрона. Напомним, что в картине Дирака зона отрицательных энергий заполненна, а отсутствующе-

му электрону с энергией (−ε) и импульсом (−p) соответствует частица-дырка (позитрон) с энергией (+ε) и импульсом (+p). В первом подходе отсутствующему электрону с проекцией спина на ось z, равной (−σ) (в системе покоя электрона), соответствует частица-дырка с проекцией спина на ось z, равной (+σ). Таким образом, в этом слу-

системе покоя позитрона, равной σ,				p
чае позитрон с импульсом p, энергией ε = +					p2 + m2 и проекцией спина на ось z â
			описывается волновой функцией
Ψ−p−σ(x) = C		pσ(x) = N vpσ e+ipx , px = εt − pr .
	ψ						(E.6)
Здесь биспинор

vpσ = Cu¯pσ

удовлетворяет уравнениям

	(−γµpµ − m) vpσ = 0 ,
sˆz vpσ = −σ vpσ ïðè ε → m ,
условию нормировки		v¯pσvpσ0 = −2m δσσ0
и имеет вид
			√			σn χ(−σ)
v		=		ε	− m			,
	pσ		√ε + m χ(−σ)

где двухкомпонентные спиноры

χ(−σ) = −σyϕ(σ) = −2σi ϕ(−σ) .

Кроме того,

v¯pσγµvpσ0 = 2pµ δσσ0 .

Конечно, биспиноры u è v взаимно ортогональны: v¯pσ upσ0 = u¯pσ vpσ0 = 0 .

Отметим полезные формулы:

γ0u−pσ = +upσ , γ0v−pσ = −vpσ .

73

(E.7a) (E.7b)

(E.8a)

(E.9)

(E.10)

(E.8b)

(E.11)

(E.12)

2. Во втором подходе свободному электрону соответствует плоская волна

Ψpλ(x) = N upλ e−ipx , px = εt − pr ,

где биспинор upλ удовлетворяет уравнениям

µ	ˆ
(γ	pµ − m) upλ = 0 , Λ upλ = λ upλ ,

условию нормировки

u¯pλupλ0 = 2m δλλ0

и имеет вид	√			w(λ)(n)
		ε + m
	upλ = 2λ√				w(λ)(n) .
			ε − m
Двухкомпоненетные спиноры w(λ)(n) удовлетворяют уравнениям
	21 (σn) w(λ)(n) = λ w(λ)(n) , w(λ)+(n) w(λ0)(n) = δλ0λ ;

(E.13)

(E.14)

(E.15)

явный вид этих спиноров таков (см. 3.3)

	e−iϕ/2 cos θ				e−iϕ/2 sin		θ
	eiϕ/2 sin 2			eiϕ/2 cos		2
w(λ=1/2)(n) =	θ2	; w(λ=−1/2)(n) =		−		θ	2 .

Во втором способе описания спиновых состояний отсутствующему электрону со спиральностью λ (проекцией спина на направление импульса электрона (−p)) сответствует

частица-дырка с той же спиральностью λ (проекцией спина на направление импульса

74

дырки (+p)). Таким образом, позитрон является зарядово-сопряж¼нной к электорону частицей и потому описывается волновой функцией

Ψ−pλ(x) = N vpλ e+ipx , px = εt − pr ,

где биспинор vpλ = Cu¯pλ удовлетворяет уравнениям

(−γµpµ − m) vpλ = 0 , Λˆ0 vpλ = λ vpλ , Λˆ0 = ˆs ·	(−p)	,
	p
	| |

условию нормировки

v¯pλ vpλ0 = −2m δλ0λ ,

и имеет вид			√
						w	(−λ)(n) .
v		= i		ε − m
	pλ		−2λ√ε + m w(−λ)(n)

Конечно, биспиноры upλ è vpλ взаимно ортогональны: v¯pλ upλ0 = u¯pλ vpλ0 = 0 .

(E.16)

(E.17)

(E.18)

(E.19)

F. Свойства уравнения Дирака

При рассмотрении нерелятивистского и ультрарелятивистского пределов уравнения Дирака удобно использовать это уравнение в гамильтоновой форме (C.20) с опреде-

ленной релятивистской энергией ε,

Hψˆ (r) = εψ(r) , ψ(r) =	χ(r)	,	(F.1)
	ϕ(r)

и переписать его в виде системы связанных уравнений для двухкомпонентные спиноры

ϕ(r) è χ(r):

(ε − mc2

(ε + mc2

	e
− eA0) ϕ(r) = cσ pˆ −				A χ(r) ,	(F.2a)
		c
e
− eA0) χ(r) = cσ pˆ −			A ϕ(r) .		(F.2b)
	c

F.1. Нерелятивистский предел уравнения Дирака

Проведем разложение уравнения Дирака по степеням v/c до первого порядка включи- тельно. Для этого введем нерелятивистскую энергию Eíåð = ε − mc2 и будем предпола- ãàòü, ÷òî |Eíåð| mc2 è |eA0| mc2. Тогда из (2b) в первом порядке по v/c находим

	1			e
χ(r) =		σ pˆ	−		A ϕ(r) .
	2mc			c

Подставляя это выражение в (2a), получаем

	1			e			2
(Eíåð − eA0) ϕ(r) =		hσ	pˆ	−		Ai	ϕ(r) .
	2m				c

75

С учетом (A.2) это уравнение принимает вид уравнения Паули

	1		e		2
Hˆ íåð ϕ(r) = Eíåð ϕ(r) , Hˆ íåð =		pˆ −		A	+ eA0 − µˆe B ,
	2m		c

в котором значение магнитного момента электрона

e~

µˆe = 2mc σ

получено как простое следствие уравнения Дирака.

Можно показать, что во втором порядке по v/c получается следующее выражение для релятивистского возмущения в кулоновской задаче U(r) = −e2/r:

ˆ	(pˆ2)2		e2~2	ˆ	πe2~2
V = −	8m3c2	+	4m2c2r3	lσ +	2m2c2	δ(r) .

Используя это возмущение, получим поправку к энергии, соответствующую экспериментально наблюдаемой тонкой структуре спектра атома водорода,

		me4 α2				1			3		.
	Enj = −							−
		2~2 n3				j + 1/2				4n
							3p3/25,/3d3/2 n = 3
							3d		2
							3s1/2, 3p1/2
							2s1/23,		/2p1/2 n = 2
							2p		2		} n = 1
							2s1/2

Тонкая структура уровней атома водорода согласно уравнению Дирака

Видно, что сохраняется вырождение уровней с одинаковыми n è j, но разными l.

F.2. Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака

Рассмотрим ультрарелятивистский предел уравнения Дирака (1), (2), когда при ε m

в гамильтониане можно пренебречь слагаемым, пропорциональным массе электрона, т. е. когда

ˆ	− eA) + eA0 .	(F.3)
H = α(pˆ

В этом случае решения уравнения Дирака обладают дополнительной симметрией. Чтобы увидеть это, перепишем (2), пренебрегая массой электрона,

(ε − eA0) ϕ(r) = σ (pˆ − eA) χ(r) ,

(ε − eA0) χ(r) = σ (pˆ − eA) ϕ(r) .

76

Складывая и вычитая эти два уравнения, получим систему несвязанных уравнений

σ(pˆ − eA) ξ(x) = +(ε − eA0) ξ(x) ,

σ(pˆ − eA) η(x) = −(ε − eA0) η(x) ,

где новые двухкомпонентные спиноры ξ è η выражаются линейно через старые:

ξ = 12 (ϕ + χ) , η = 12 (ϕ − χ) .

Видно, что новые спиноры ξ è η являются собственными функциями оператора

ˆ	−1	σ(pˆ	− eA)
K = (ε − eA0)

с собственными значениями +1 è −1, соответственно. Таким образом, спиноры ξ è η описывают два разных квантовых состояния, которые являются решениями уравнения Дирака с одной и той же энергий ε. Состояние, описываемое спинором ξ(x), называется

киральным состоянием с положительной (или правой, R) киральностью, а состояние, описываемое спинором η(x), называется киральным состоянием с отрицательной (или левой, L) киральностью.

		ˆ
При свободном движении дираковской частицы, когда Aµ = 0, оператор K = σ pˆ/ε
ˆ	1	σ pˆ/|p|, òàê êàê â
лишь множителем 2 отличается от оператора спиральности Λ =	2

ультрарелятивистском пределе |p| = ε. Поэтому правым или левым киральным состо-

яниям соответствуют определенные значения спиральности λ = +1/2 èëè λ = −1/2. Â,
квазиклассическом приближении оператору						pˆ − eA соответствует вектор mv/√		1 − v2
а оператору	ε − eA0	величина	m/	√	1 − v	2	, так что оператору ˆ и в этом случае
							K

соответствует определенная проекция спина на направление движения частицы.

В обычном формализме четырехкомпонентных спиноров ψ(r) дополнительная симметрия уравнения Дирака при m = 0 связана с наличием дополнительного интеграла движения. Соответствующим ему оператором является величина (5.19)

−		−I	0
γ5 = iγ0	γxγyγz =	0	−I

со свойствами

(γ5)2 = 1 , γ5γµ + γµγ5 = 0 , γ5α − αγ5 = 0 .

Из первого уравнения следует, что собственные значения γ5 равны ±1, а из второго

ˆ

и третьего уравнений следует, что γ5 не коммутирует с полным гамильтонианом H = α(pˆ − eA) + eA0 + mγ0, содержащим слагаемое mγ0, но коммутирует с гамильтонианом

(3), в котором это слагаемое отсутствует. Поэтому мы можем ставить задачу на поиск совместных собственных функций операторов ˆ

H (3) è γ5. Пусть ψ(r) есть некоторое

решение уравнения			ˆ
			H ψ(r) = ε ψ(r). Легко проверить, что функции								−η(r)
	R		2		ξ(r)	L	2
ψ		(r) =	1 − γ5	ψ(r) =	ξ(r)	, ψ	(r) =	1 + γ5	ψ(r) =		η(r)

являются собственными функциями γ5:

γ5 ψR,L(r) = ψR,L(r) .

Из эксперимента следует, что масса нейтрино очень мала, и что обычно нейтрино можно считать с хорошей точностью левым, а антинейтрино правым. Во взаимодействиях нейтрино четность не сохраняется.