Лекции Хуторецкий

Теорема 4.14. Для матричной игры G с матрицей A = (aij) Rm n задача линейного про-

граммирования (69) определяет оптимальную смешанную стратегию игрока 1, а двойствен-

ные оценки этой задачи ― оптимальную смешанную стратегию игрока 2. Оптимальные зна-

чения целевых функций этих задач равны значению игры.

Теорема 4.14 дает приемлемый способ решения матричных игр. Нередко удается уменьшить размерность задачи (69), используя следующий результат.

Определение. Вектор (a1, …, ak) слабо (сильно) доминирует вектор (b1, …, bk), если для всех i 1, k справедливо неравенство ai ≥ (>) bi.

Теорема 4.15.(1) Пусть G = (A) ― матричная игра.

(а) Если строка i матрицы A слабо доминируется выпуклой линейной комбинацией других строк, то существует оптимальная смешанная стратегия игрока 1, в которой его чистая стра-

тегия Ai не активна.

(б) Если строка i матрицы A сильно доминируется выпуклой линейной комбинацией дру-

гих строк, то чистая стратегия Ai игрока 1 не активна ни в одной его оптимальной смешанной стратегии.

(в) Если столбец j матрицы A слабо доминирует выпуклую линейную комбинацию других столбцов, то существует оптимальная смешанная стратегия игрока 2, в которой его чистая стратегия Bj не активна.

(г) Если столбец j матрицы A сильно доминирует выпуклую линейную комбинацию дру-

гих столбцов, то чистая стратегия Bj не активна ни в одной его оптимальной смешанной стратегии.

В соответствии с теоремой 4.15 можно исключить из матрицы игры сильно доминируемые строки и сильно доминирующие столбцы, не изменяя множество равновесий в смешанных стратегиях. Исключение слабо доминируемых строк и слабо доминирующих столбцов может сужать множество равновесий, но хотя бы одно решение игры при этом сохранится.

Литература

Бусыгин В.П., Желободько Е.В., Цыплаков А.А. Микроэкономика: третий уровень. В

двух томах. Т. II. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2008 (приложение А).

Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005 (главы I, II).

(1) Доказательство: Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005 (теоремы 4.1 и 4.1' ).

71

Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985 (введение,

глава 1, глава 3).

72