posobie

Доказательство. Пусть τ есть произвольное разбиение отрезка [a,b]. Если τ содержит точку c, то оно порождает разбиения τ1 и τ2 отрезков [a,c] и [c,b] соответственно. Если τ не содержит точку c, то добавим эту точку к разбиению τ, вследствие чего получим новое разбиение τ , которое уже содержит точку c и тем самым порождает разбиения τ1 и τ2 отрезков [a,c] и [c,b]. Очевидно, что выполняется неравенство

στ ≤ στ,

где τ есть само разбиение τ, если τ содержит точку c, и τ есть построенное разбиение τ , если τ не содержит точку c. Имеем

στ ≤ στ = στ1 + στ2 ≤ supστ1 + supστ2;

τ1 τ2

в последнем неравенстве точные верхние грани берутся по всевозможным разбиениям τ1 и τ2 отрезков [a,c] и [c,b]. Отсюда получаем SΓ ≤ SΓ1 +SΓ2. Покажем, что имеет место и обратное неравенство.

Пусть τ1 и τ2 есть произвольные разбиения отрезков [a,c] и [c,b] соответственно. Эти два разбиения очевидным образом порождают разбиение τ отрезка [a,b]. Поскольку же подобные разбиения (т.е. разбиения, представляющие собой объединение разбиений τ1 и τ2) не исчерпывают все разбиения отрезка [a,b], то очевидным образом получаем неравенство

SΓ1 + SΓ2 ≤ SΓ.

Из доказанных двух неравенств для SΓ и SΓ1 + SΓ2 следует их равенство. Лемма доказана.

Доказанное в лемме 1.1.3 свойство называется свойством аддитивности длины кривой.

Заметим, что в формулировке леммы 1.1.3 и в ее доказательстве не предполагалось, что рассматриваемые кривые спрямляемы.

Пусть Γ есть кривая в Rn с параметризацией Φ(t) = (ϕ1(t),...,ϕn(t)), t [a,b], и пусть функции ϕk(t) непрерывно дифференцируемы на [a,b]. Положим

m	= inf	|	ϕ	(t) ,	M		sup ϕ	(t) ,	k = 1,...,n,
k	[a,b]		k	|	k =		[a,b] | k	|
					1	, M0 = (M1			1
m0 = (m1 + ... + mn)2									+ ... + Mn)2 .

11

Теорема 1.1.1. Пусть Γ есть кривая в Rn с непрерывно дифференцируемой на [a,b] параметризацией Φ(t). Тогда кривая Γ спрямляема и для ее длины SΓ выполняются неравенства

m0(b − a) ≤ SΓ ≤ M0(b − a).

Доказательство. Пусть τ есть произвольное разбиение отрезка [a,b]. Для величины στ справедливо равенство

στ = m [ϕ1(ti) − ϕ1(ti−1)]2 + ... + [ϕn(ti) − ϕn(ti−1)]2 12 .

i=1

Согласно теореме Лагранжа2

ϕk(ti) − ϕk(ti−1) = ϕk(ξk,i)(ti − ti−1), k = 1,...,n, i = 1,...,m

(ξk,i — некоторые точки из отрезков [ti−1,ti]). Учитывая определения чисел mk и Mk, получаем, что имеют место неравенства

m	m
m0 (ti − ti−1) ≤ στ ≤ M0	(ti − ti−1).
i=1	i=1
Поскольку выполняется

m

(ti − ti−1) = b − a,

i=1

и поскольку τ есть произвольное разбиение отрезка [a,b], то из последних неравенств и следует требуемое.

Теорема доказана.

Пусть Γ есть некоторая кривая в Rn с параметризацией Φ(t), t [a,b], начальной точкой A и конечной точкой B. Очевидно, что положение точки на этой кривой можно однозначно определить, задав длину дуги кривой Γ от начальной точки до нее. Поскольку же положение точки на кривой характеризуется параметром t, то, очевидно, что переменная длина дуги S есть функция от t: S = S(t).

Теорема 1.1.2. Пусть Γ есть кривая в Rn с непрерывно дифференцируемой на [a,b] параметризацией Φ(t). Тогда функция s(t) есть монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция от t, и при этом

dsdt = |Φ (t)|.

2Ж.Л. Лагранж (1736–1813) — французский математик, астроном и механик.

12

Доказательство. Пусть s(t) есть длина дуги кривой Γ от начальной точки A до точки Φ(t), t0 есть точка из отрезка [a,b], t настолько малое (и знакоопределенное, если t0 есть одна из точек a или b) приращение, то t0 + t [a,b]. Очевидно, что функция s(t) монотонно возрастающая, и потому выполняется

s

≥ 0.

t

Применяя неравенство теоремы 1.1.1 к отрезку [t0,t0 +

t], если t > 0,

или отрезку [t0 +

t,t0], если

t < 0, получим

m0(Δt) · | t| ≤ | s| ≤ M0(Δt)| t|;

(1.1.2)

m0(Δt) и M0(Δt) есть соответственно числа

1

m0(Δt) =

ϕ12(t) + ... +

ϕn2(t)

2

inf

inf

,

[t0,t0+Δt]

[t0,t0+Δt]

1

ϕ12(t) + ... +

ϕn2(t)

2

M0(Δt) =

sup

sup

,

[t0,t0+Δt]

[t0,t0+Δt]

если

t > 0, или

1

m0(Δt) =

ϕ12(t) + ... +

ϕn2(t)

2

inf

inf

,

[t0+Δt,t0]

[t0+Δt,t0]

1

ϕ12(t) + ... +

ϕn2(t)

2

M0(Δt) =

sup

sup

,

[t0+Δt,t0]

[t0+Δ,t0]

если t < 0. в силу непрерывности функций ϕk(t)

на всем отрезке [a,b]

для каждой из функций ϕk(t), k = 1,...,n, выполняется

inf

ϕ2

t

ϕ2

t

0 +

θ

k,1 ·

t ,

0 ≤

θ

k,1 ≤ 1

,

[t0,t0+Δt] k

( ) =

k

(

)

sup

ϕk2(t) = ϕk2(t0 + θk,2 ·

t), 0 ≤ θk,2 ≤ 1,

[t0,t0+Δt]

при

t > 0, или

inf

ϕ2

t

ϕ2

t

+

θ

t ,

−1 ≤

θ

,

[t0+Δt,t0]

k ( ) =

k (

0

k,1 ·

)

k,1 ≤ 0

sup

ϕk2(t) = ϕk2(t0 + θk,2 ·

t),

−1 ≤ θk,2 ≤ 0,

[t0+Δt,t0]

13

при t < 0. Отсюда следуют равенства

lim m0(Δt) = m0(0) = |Φ (t0)|,

t→0

lim M0(Δt) = M0(0) = |Φ (t0)|.

t→0

Разделив обе части неравенства (1.1.2) на t и перейдя к пределу при t → 0, получим требуемое равенство

ds(t0) = |Φ (t0)|. dt

В силу произвольности точки t0 требуемое равенство будет справедливо всюду на отрезке [a,b].

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть выполняются все условия теоремы 1.1.2, и пусть σ(t) есть длина дуги кривой Γ, отсчитываемая от конечной точки B до точки Φ(t). Тогда выполняется равенство

dσdt = −|Φ (t)|.

Доказательство. Согласно теореме 1.1.1, кривая Γ будет спрямляемой. Очевидно, что выполняется равенство

σ(t) = SΓ − s(t)

(SΓ — длина кривой Γ). Из этого равенства и следует требуемое. Следствие 2. Для любой кривой Γ с непрерывно дифференцируемой на

[a,b] параметризацией Φ(t) без особых точек существует такая ее параметризация Φ0(s), параметром s которой является длина дуги Γ, отсчитываемая от точки A.

Доказательство. Пусть Γ есть кривая в пространстве Rn с непрерывно дифференцируемой параметризацией Φ(t), t [a,b], без особых точек. Тогда функция s(t) будет строго монотонно возрастающей на [a,b] функцией, так как выполняется

ds(t)	≥ k0 > 0, t [a,b].
dt

Следовательно, существует обратная к s(t) функция:

t = g(s), s [0,SΓ],

14

причем функция g(s) также будет строго монотонно возрастать на отрезке [0,SΓ]. Но тогда Φ0(s), определяемая равенством

Φ0(s) = Φ(g(s)),

также будет давать параметризацию кривой Γ, причем сохраняющей ориентацию. Параметризация Φ0(s) и будет искомой.

Следствие доказано.

Параметризация кривой, в которой параметром является длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки (являющейся начальной), называется

натуральной, сама же длина дуги называется натуральным параметром.

Пусть кривая Γ параметризована с помощью натурального параметра. Обозначим через αk, k = 1,...,n, углы, образованные вектором Φ0(s) (или, что то же самое положительным направлением касательной к Γ) с осями Oxk. Поскольку вектор Φ0(s) единичный, то проекции вектора Φ0(s) на оси координат есть числа cosαk. Отсюда очевидным образом получаем, что выполняются равенства

ϕ0k(s) = cosαk, k = 1,...,n.

1.1.4. Нормаль к кривой. Кривизна

Приведем без детального обсуждения некоторые дополнительные сведения о кривых в Rn.

Пусть Γ есть кривая в Rn с параметризацией Φ(t), t [a,b], и пусть t0 есть неособая точка Γ. Тогда в точке Φ(t0) у кривой Γ имеется касательная.

Всякая прямая, проходящая через точку Φ(t0) и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой. Плоскость, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормальной плоскостью к кривой в точке Φ(t0).

Пусть теперь Γ задана в натуральной параметризации Φ0(s), 0 ≤ s ≤ SΓ, и пусть в каждой точке Γ существует касательная. Зафиксируем число s0

из отрезка [0,SΓ], и пусть приращение	s таково, что s0 + s [0,SΓ].
Обозначим через α(s) при s [s0,s0 +	s], если s > 0, s [s0 + s,s0]

при s < 0 угол между касательными к кривой Γ в точках Φ0(s) и Φ0(s0),

15

причем будем считать, что α(s0) = 0, α(s) ≥ 0 при s > 0, α(s) ≤ 0 при s < 0.

Обозначим ψ(s) = Φ0(s). Вектор ψ(s) является единичным вектором, параллельным касательной в этой точке. Поэтому угол α(s) является и

углом между векторами ψ(s0) и ψ(s) при s [s0,s0 + s], если s > 0, s [s0 + s,s0], если s < 0.

Число k = k(s0), определяемое равенством

k(s0) = α (s0),

называется кривизной Γ в точке Φ0(s0). Число

1

R(s0) =

k(s0)

называется радиусом кривизны Γ в точке Φ0(s0).

Заметим, что радиус кривизны может оказаться и бесконечным (таковым он окажется, например, если Γ есть прямая).

Достаточные условия существования кривизны и способ ее вычисления дает следующая теорема.

Теорема 1.1.3. Пусть кривая Γ задается дважды непрерывно дифференцируемой параметризацией Φ(t), t [a,b], и пусть все ее точки являются неособыми. Тогда в каждой точке Γ определена кривизна, и она вычисляется по формуле

k =	|Φ (t) × Φ (t)|	.
	|Φ (t)|2

Доказывать эту теорему мы не будем.

Пусть по-прежнему кривая Γ задается дважды непрерывно дифференцируемой параметризацией Φ(t), t [a,b], без особых точек. Тогда в натуральной параметризации функция Φ0(s) также будет дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функцией при s [0,SΓ]. Вектор ψ (s) (напомним: ψ(s) = Φ0(s), вектор ψ(s) является единичным вектором, параллельным касательной) перпендикулярен вектору ψ(s).

Пусть в точке M0 кривой Γ кривизна не равна 0. Нормаль к кривой Γ, параллельная вектору ψ (s0) (параметр s0 соответствует точке M0), называется главной нормалью в этой точке. Плоскость, проходящая через касательную в точке M0 и через

16

главную нормаль в этой же точке, называется соприкасающейся плоскостью в точке M0.

Если в точке M0 кривизна равна нулю, то соприкасающейся плоскостью называется любая плоскость, проходящая через касательную в этой точке.

1.2. Криволинейные интегралы 1.2.1. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть Γ есть параметризованная кривая в Rn с параметризацией Φ(t), t [a,b], A = Φ(a), B = Φ(b) — начальная и конечная точки Γ, Γ− — кривая Γ с противоположной ориентацией. Далее, пусть кривая Γ спрямляема, SΓ есть ее длина, и пусть на Γ возможен переход к натуральной параметризации Ψ0(s), s [0,SΓ]. Наконец, пусть задана функция F0(x), определенная при x Γ, и пусть F(s) есть суперпозиция, являющаяся

суперпозицией функций F0 и Φ: F(s) = F0(Φ0(s)) = F0(ϕ1(s,...,ϕn(s))).

Криволинейным интегралом первого рода по кривой Γ от функ-

ции F0(x) называется число
	SΓ
I =	F(s)ds
	0
(если I есть конечная величина). Обозначается криволинейный интеграл
следующим образом
I =	F0(x)ds.

Γ

Понятие криволинейного интеграла, с одной стороны, связано с некоторыми геометрическими объектами, с другой же — представляет собой понятие, связанное с обычным определенным интегралом по отрезку.

Очевидно, что если функции F0(x) и Φ0(s) таковы, что функция F(s) непрерывна на отрезке [0,SΓ], то криволинейный интеграл первого рода от функции F по кривой Γ существует. Другие достаточные условия существования криволинейного интеграла первого рода вытекают из условий существования определенного интеграла I.

Приведем некоторые простейшие свойства криволинейных интегралов первого рода.

Свойство 1. Если F(s) ≡ 1, то I = SΓ.

17

Это свойство очевидно.

Свойство 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ори-

ентации кривой:
	F0 ds =	F0 ds.

ΓΓ−

Доказательство. Пусть M = Φ0(s) есть точка кривой Γ, s есть длина дуги Γ между точками A и M. Положим σ = SΓ −s. Очевидно, что σ есть длина дуги Γ между точками B и M. Функция Φ0(SΓ −σ), σ [0,SΓ], дает параметризацию кривой Γ−. Имеют место равенства

	SΓ	SΓ
	F0 ds =	F0(Φ0(s))ds =	F0(Φ(SΓ − σ))dσ = F0 dσ.
Γ	0	0	Γ−

Из этих равенств и следует требуемое.

Свойство 3. Пусть Γ есть кривая в Rn с непрерывно дифференцируемой на отрезке [a,b] параметризацией Φ(t) без особых точек. тогда справедливо равенство

b

	F0(Φ(t))[ϕ12	(t) + ... + ϕn2	1
F0 ds =			(t)]2	dt.	(1.1.2)
Γ	a

Доказательство. Согласно теореме 1.1.2 и следствию 2 к ней на кривой Γ возможен переход к натуральной параметризации, причем параметр s можно выразить через параметр t с помощью некоторой непрерывнодифференцируемой на [a,b] функции: s = h(t). Выполняя в криволинейном интеграле первого рода замену s = h(t) и учитывая равенство

dsdt = |Φ (t)|

(см. теорему 1.1.2), получим требуемое. Свойство 3 доказано.

Формула (1.1.2) представляет собой рабочую формулу для практических вычислений криволинейных интегралов первого рода.

Свойство 4. Пусть τ = {si}mi=0 есть разбиение отрезка [0,SΓ], ξi есть точки из отрезков [si−1,si], i = 1,...,m, si = si − si−1 — длина дуги

18

кривой Γ от точки Φ0(si−1) до точки Φ0(si), στ — интегральная сумма функции F(s) по отрезку [0,SΓ]

m

στ = F0(Φ0(ξi))Δsi.

i=1

Тогда, если криволинейный интеграл I первого рода существует, то

lim στ = I.

maxΔsi→0

Это свойство очевидно, так как στ есть обычная интегральная сумма для определенного интеграла от функции F(s) по отрезку [0,SΓ].

Свойство 5. Если функция F0(x) представляет собой комбинацию αF1(x) + βF2(x), α, β — фиксированные числа, криволинейные интегралы по кривой Γ от функций F1(x) и F2(x) существуют, то выполняется

равенство
	F ds = α	F1 ds + β	F2 ds.
	Γ	Γ	Γ

Это свойство также очевидно.

Определим теперь криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой. Пусть Γ есть кусочно-гладкая кривая, состоящая из двух гладких частей Γ1 и Γ2 таких, что общими точками Γ1 и Γ2 могут быть лишь их начальные и конечные точки. Далее, пусть функция F(s) определена на кривых Γ1 и Γ2.

Криволинейным интегралом по кусочно-гладкой кривой Γ на-

зывается число
	F0(x)ds +	F0(x)ds,
	Γ1	Γ2

если каждый из криволинейных интегралов по Γ1 и Γ2 существуют.

Замечание. Поскольку понятие определенного интеграла

SΓ

F ds

0

по отрезку можно расширить — например, до несобственного интеграла от неограниченных функций или по неограниченному промежутку — то и понятие криволинейного интеграла первого рода можно расширить, определив несобственный криволинейный интеграл первого рода, или же перейти

19

к какой-либо иной конструкции, расширяющей понятие обычного определенного интеграла.

1.2.2. Криволинейные интегралы второго рода

Следующим объектом, связанным с интегрированием на кривых в Rn, являются криволинейные интегралы второго рода, или криволинейные интегралы по координатам.

Пусть Γ есть кривая, параметризованная непрерывно-дифференцируемой на отрезке [a,b] вектор-функцией Φ(t), и пусть эта кривая не имеет особых точек. Тогда, во-первых, в каждой точке Φ(t) определена касательная к Γ, и, во-вторых, от параметризации Φ(t) можно перейти к эквивалентной ей натуральной параметризации Φ0(s). Обозначим через cosαk, k = 1,...,n, направляющие косинусы единичного вектора l = l(t) касательной к Γ в текущей точке (другими словами, искомый вектор l задается равенством

l = (cosα1,...,cosαn) и αk, k = 1,...,n, есть углы между вектором l и положительным направлением соответствующей оси Oxk). Далее, пусть

вновь задана функция F0(x), определенная при x Γ, и пусть F(s) вновь есть суперпозиция функций F0 и Φ: F(s) = F0(Φ0(s)).

Криволинейным интегралом второго рода по кривой Γ от функции F0(x) по координате xk, k = 1,...,n, называется интеграл

I = F cosαk ds,

Γ

если последний существует.

Обозначают криволинейный интеграл второго рода так

I = F dxk.

Γ

Важнейшими свойствами криволинейного интеграла второго рода являются следующие.

1. При изменении ориентации на кривой Γ криволинейный интеграл второго рода меняет знак:

F dxk = − F dxk, k = 1,...,n.

ΓΓ−

20