posobie

и означает, что функция u(x,y) в произвольной точке M области Ω имеет частную производную ux(x,y), равную P(x,y).

Совершенно аналогично, лишь с тем изменением, что вместо отрезка Lh, параллельного оси абсцисс, берется отрезок, параллельный оси ординат и соединяющий точки (x,y) и (x,y + h), показывается, что функция u(x,y) имеет частную производную по y, равную Q(x,y).

Справедливость равенства

du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

вытекает из свойств дифференциала функции двух переменных. Выполнение условия 2 доказано.

Пусть теперь выполняется условие 2 теоремы, и пусть вначале точки M0 и M соединены гладкой кривой ΓM0M без самопересечений, целиком лежащей в Ω и имеющей параметризацию Φ(t), t [a,b]. Тогда

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =

		ΓM0M
		b
		= [P(ϕ1(t),ϕ2(t))ϕ1(t) + Q(ϕ1(t),ϕ2(t))ϕ2(t)] dt =
		a
b	d	[u(ϕ1(t),ϕ2(t))]dt = u(ϕ1(b),ϕ2(b))−u(ϕ1(a),ϕ2(a)) = u(M)−u(M0).
=
	dt
a

Если теперь кривая ΓM0M является кусочно-гладкой, то, используя параметризацию каждого участка и учитывая, что начальная точка каждого следующего участка является конечной точкой предыдущего, вновь получим, что выполняется равенство

P dx + Qdy = u(M) − u(M0).

ΓM0M

Из этого равенства следует, что значение криволинейного интеграла второго рода при выполнении условия 2 определяется лишь функцией u(x,y) и точками M0 и M. Тем самым искомый интеграл не зависит от пути интегрирования.

31

Докажем два последних факта — то, что из свойства независимости криволинейного интеграла второго рода при выполнении условий теоремы следует выполнение условия 3, и что из условия 3 следует, что криволинейный интеграл второго рода имеет свойство независимости от пути интегрирования.

Если имеет место свойство независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, то, согласно доказанному выше, существует функция u(x,y), для которой при (x,y) Ω выполняются равенства

ux(x,y) = P(x,y), uy(x,y) = Q(x,y).

Из условия теоремы следует, что функции ux(x,y) и uy(x,y) имеют частные

производные по переменным y и x соответственно. Поскольку же ∂P(x,y) и

∂y

∂Q(x,y) непрерывны в Ω, то частные производные uxy(x,y) и uyx(x,y) будут

∂x

совпадать всюду в Ω. А это и означает выполнение равенства

∂P(x,y) = ∂Q(x,y) ∂y ∂x

всюду в Ω.

Обратно, пусть выполняется условие 3. Применяя формулу Грина к области, ограниченной произвольной замкнутой кусочно-гладкой кривой без самопересечений, целиком лежащей в Ω, получим, что криволинейный интеграл второго рода по любой такой кривой равен нулю. А это, согласно доказанному выше, и означает, что криволинейный интеграл второго рода обладает свойством независимости от пути интегрирования.

Теорема полностью доказана.

В заключение заметим, что условие односвязности области Ω является

существенным. Действительно, пусть Ω есть "проколотый" круг									{	(x,y) :
0 < x2 + y2 < R2}, P(x,y) и Q(x,y) есть функции
P(x,y) = −		y					x
				, Q(x,y) =				.
		x2 + y2					x2 + y2
Всюду в Ω выполняется равенство
	∂Q(x,y)			=	∂P(x,y)	.
		∂x
					∂y

Непосредственно же вычисляя интеграл

P dx + Qdy

Γ

32

по окружности Γ = {(x,y) : x2 + y2 = R12} в случае 0 < R1 < R, нетрудно убедиться, что он не равен нулю.

1.3.Поверхности в Rn

1.3.1.Параметрически заданные поверхности

Необходимые сведения о поверхностях здесь будут представлены в трехмерном случае — для наших целей этого вполне достаточно. Как и в предыдущем пункте, будем использовать декартовы обозначения x, y, z (а не x1,

x2, x3).

Пусть Ω есть ограниченная область из пространства R2, f(u,v), g(u,v), h(u,v) — определенные при (u,v) Ω и непрерывные на Ω функции. Непрерывной поверхностью S называется множество

S = {(x,y,z) : x = f(u,v), y = g(u, v), z = h(u,v), (u,v) Ω}.

Вектор-функция Φ(u,v) = (f(u,v),g(u,v),h(u,v)) называется представлением, или параметризацией поверхности.

По аналогии с понятием эквивалентных параметризаций кривой определим понятие эквивалентных параметризаций поверхности.

Пусть E1 и E2 суть области из пространства R2. Непрерывное отображение F1 множества E1 в пространство R3 называется эквивалентным непрерывному отображению F2 множества E2 в пространство R3, если существует взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение F0 из E1 на E2 такое, что при действии F0 внутренние точки E1 переходят во внутренние точки E2, граничные точки E1 переходят в граничные точки E2, и для каждой точки (u,v) из E1 выполняется F1(u,v) = F2(F0(u,v)). Отображение F0 при этом называется отображением, осуществляющим эквивалентность отображений F1 и F2.

Уточним, что термин "взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение" подразумевает, что непрерывными являются как само отображение, так и обратное (взаимно-однозначные и взаимно-непрерывные отображения называются гомеоморфизмами).

Вернемся к понятию поверхности.

Если непрерывная поверхность S задана своей параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω, и если Φ0(u1,v1), (u1,v1) Ω1, есть

33

эквивалентное параметризации Φ(u,v) отображение, то по определению считается, что параметризация Φ0(u1,v1), (u1,v1) Ω1, определяет ту же поверхность S.

Точки непрерывной поверхности S, в которые параметризацией Φ(u,v) отображаются по крайней мере две различные точки множества Ω, называются кратными точками, или точками самопересечения. Все остальные точки S называются простыми.

Пусть S есть непрерывная поверхность с параметризацией Φ(u,v),

(u,v) Ω, и пусть Ω1 есть подобласть Ω. Непрерывная поверхность S1, заданная параметризацией Φ(u,v) при (u,v) Ω1, называется частью поверхности S.

Точка Φ(u0,v0) непрерывной поверхности S называется внутренней, если выполняется (u0,v0) Ω. Если же (u0,v0) ∂Ω, то ее образ называется краевой точкой поверхности. Множество всех краевых точек называется краем поверхности S.

Непрерывная поверхность S, заданная параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω, называется непрерывно-дифференцируемой поверхностью, если выполняется f(u,v) C1(Ω), g(u,v) C1(Ω), h(u,v) C1(Ω).

1.3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентация поверхности

Пусть S есть непрерывно-дифференцируемая поверхность, заданная па-

раметризацией Φ(u,v), (u,v)		Ω	. Далее, пусть (u0,v0) есть точка	Ω	,
lu(u0,v0) и lv(u0,v0) есть	векторы (fu(u0,v0),gu(u0,v0),hu(u0,v0)),

(fv(u0,v0),gv(u0,v0),hv(u0,v0)) соответственно.

Тогда Φ(u0,v0) поверхности S называется неособой, если векторы lu(u0,v0) и lv(u0,v0) линейно независимы. Если же эти векторы линейно зависимы, то точка Φ(u0,v0) называется особой.

Рассмотрим кривую L на поверхности S, проходящую через точку (u0,v0), и пусть эта кривая задана параметризацией Φ(u(t),v(t)), t [a,b].

Плоскость, проходящая через точку Φ(u0,v0) поверхности S, в которой лежат касательные к всевозможным подобным кривым L, проходящим через эту точку, называется касательной плоскостью к S в точке Φ(u0,v0).

Известно, что если поверхность S непрерывно дифференцируема, точка Φ(u0,v0) есть ее неособая точка, то в ней всегда существует, и притом

34

единственная касательная плоскость; уравнение этой плоскости в точке

(x0,y0,z0) S определяется

равенством

x − x0

)

g

y − y0

)

z − z0

f

(u

,v

(u

,v

h (u

,v

) = 0

u

0

0

u

0

0

u

0

0

fv(u0,v0)

gv(u0,v0)

hv(u0,v0)

((x0,y0,z0) = Φ(u0,v0)).

Прямая, проходящая через точку касания поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная этой плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в указанной точке.

Уравнение нормальной прямой в неособой точке Φ(u0,v0) поверхности S имеет вид

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

g

(u

,v

)

h

(u

(u

,v

)

f

(u

(u

,v

)

,v

)

h (u

,v

)

f

,v

)

g

u

0

0

u

0

0

u

0

0

u

0

0

u

0

0

u

0

0

gv(u0,v0)

hv(u0,v0)

hv(u0,v0)

fv(u0,v0)

fv(u0,v0)

gv(u0,v0)

Ненулевой вектор, параллельный нормальной прямой, проходящей через данную точку поверхности S, называется нормалью к S в указанной точке.

Заметим, что в кратных точках поверхности (если они есть) касательная плоскость, нормальная прямая и нормаль могут определяться неоднозначно.

Нормаль n к непрерывно дифференцируемой поверхности S в ее неособой точке Φ(u0,v0) — точнее говоря, одна из нормалей, поскольку нормаль определяется с точностью до поворота на угол π — может быть вычислена

с помощью формулы
	i	j	k
					;	(1.3.1)
n =	fu(u0,v0) gu(u0,v0) hu(u0,v0)
	fv(u0,v0) gv(u0,v0) hv(u0,v0)

в этой формуле i, j, k — единичные координатные векторы осей Ox, Oy, Oz соответственно.

Перейдем к понятию ориентации поверхности. Уточним, что всюду в настоящем пособии предполагается, что система координат в R3 ориентирована правосторонним образом (по "правилу штопора" ) — если смотреть из конца вектора k на плоскость Oxy, то переход от вектора i к вектору j совершается поворотом на угол π2 против часовой стрелки.

35

Пусть S есть параметризованная поверхность с параметризацией Φ(u,v),

(u,v) Ω. Поверхность S называется гладкой, если вектор-функ- ция Φ(u,v) непрерывно-дифференцируема на Ω, и если поверхность S не имеет особых точек.

Вкаждой точке гладкой поверхности S однозначно определена нормаль, вычисляемая по формуле (1.3.1). Если на поверхности S эта нормаль меняется непрерывно, то поверхность S называется ориентированной. При задании ориентации поверхности считается, что поверхность S является двусторонней, и та сторона поверхности, которая прилегает к нормали (1.3.1), называется положительной стороной и обозначается S+, противоположная же сторона называется отрицательной и обозначается S−.

Вслучае, когда поверхность S является границей некоторой трехмерной области Ω, иногда поверхность представляют двусторонней иным образом

—именно, выделяют внутреннюю сторону поверхности и внешнюю. Перейдем к понятию кусочно-гладкой поверхности и к понятию ориен-

тации на такой поверхности.

Пусть S1, . . . , Sm суть гладкие поверхности с параметризациями Φi(u,v), (u,v) Ωi, i = 1,...,m, и пусть границы γi областей Ωi есть замкнутые кусочно-гладкие кривые без самопересечений с параметризациями

(ui(t),vi(t)), ai ≤ t ≤ bi, i = 1,...,m. Обозначим

Γi = {Φi(ui(t),vi(t)), ai ≤ t ≤ bi}, i = 1,...,m.

Две поверхности Si и Sj называются соседними, если кривые Γi и Γj имеют одну или несколько общих дуг (общих участков, не вырождающихся в точку).

В дальнейшем будем предполагать, что любые два контура Γi и Γj имеют конечное число общих участков, и что любая дуга, являющаяся частью кривой Γi, может быть дугой не более чем одной другой кривой Γj.

Поверхность S, состоящая из конечного числа гладких поверхностей S1,...,Sm, называется кусочно-гладкой поверхностью, если для любых двух ее частей Si и Sj существуют поверхности Si1,...,Sip, входящие в S и такие, что Si1 является соседней с Si,

Si2 является соседней с Si3,...,Sip является соседней с Sj. Совокупность всех тех дуг кривых Γi, каждая из которых при-

надлежит только самому контуру Γi, называется краем кусочногладкой поверхности S.

36

Кусочно-гладкая поверхность S, состоящая из m частей S1,...,Sm, называется ориентируемой, если существует такая ориентация кривых Γ1, . . . , Γm (границ поверхностей S1,...,Sm), что части (дуги) этих кривых, принадлежащие двум различным кривым Γi и Γj, получают от них противоположную ориентацию. Если поверхность S ориентируема, то указанная ориентация кривых Γ1,...,Γm

называется согласованной.

Напомним, что ориентация кривых определяется их параметризацией. Пусть S есть ориентируемая кусочно-гладкая поверхность, состоящая из гладких поверхностей S1, . . . , Sm. Далее, пусть на каждой гладкой поверхности Sj задана такая ее ориентация — те есть задана либо нормаль, вычисляемая по формуле (1.3.1), либо противоположная ей нормаль — что она согласуется с определенной выше ориентацией кривой Γj по "правилу штопора" : обход кривой Γj соответствует движению ручки штопора, которая расположена в конечной точке нормали, против движения часовой стрелки. В этом случае будем говорить, что ориентации поверхно-

стей S1,...,Sm согласованы.

Совокупность согласованно ориентированных кривых Γ1, . . . , Γm и согласованных ориентаций поверхностей S1, . . . , Sm называется ориентацией кусочно-гладкой поверхности S.

Пусть S есть ориентируемая кусочно-гладкая поверхность. Выберем согласованные ориентации на поверхностях S1,...,Sm и обозначим их S1+,

. . . , Sm+, соответственно всю поверхность S обозначим S+. Далее, обозначим через S1−,...,Sm− поверхности, ориентированные противоположно по отношению к поверхностям S1+,...,Sm+; всю поверхность S в этом случае будем обозначать S−.

1.3.3. Первая квадратичная форма поверхности

Важную роль в теории поверхностей играют некоторые специальные квадратичные формы.

Пусть S есть гладкая поверхность, Φ(u,v) = (f(u,v),g(u,v),h(u,v)), (u,v) Ω — ее параметризация. Обозначим E(u,v) = (Φu(u,v),Φu(u,v)),

F(u,v) = (Φu(u,v),Φv(u,v)), G(u,v) = (Φv(u,v),Φv(u,v)) (внешние скобки в правых частях означают скалярное произведение векторов в простран-

стве R3).

37

EG − F2 12 dudv.5

Квадратичная форма

E du2 + 2F dudv + Gdv2

(1.3.2)

относительно переменных du и dv называется первой квадратичной формой поверхности S (в точке (u,v), так как E = E(u,v),

F= F(u,v), G = G(u,v)).

Тот факт, что квадратичная форма (1.3.2) названа первой, подразуме-

вает, что с поверхностями можно связать и другие квадратичные формы. Однако их определение не является необходимым для изложения дальнейшего материала.

Через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности можно вычислять некоторые количественные характеристики — находить длины кривых, лежащих на поверхности, площадь поверхности или ее части и т. д.

Пусть S есть гладкая поверхность, и пусть Γ есть кривая на поверхности S, задаваемая параметризацией Φ(u(t),v(t)), a ≤ t ≤ b. Длина L этой кривой вычисляется по формуле

b

2

1

du

du

dv

dv

2

2

L =

E

+ 2F

·

+ G

dt.

dt

dt

dt

dt

a

Приведем теперь формулу для площади гладкой поверхности.

Площадь гладкой поверхности S, определяемой параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω, вычисляется по формуле

mesS =

Ω

Уточним, что количественные значения длины кривой на поверхности, площади поверхности и т.п., не зависят от выбора параметризации поверхности S. Строгое доказательство этих фактов, а также строгое представление о площади поверхности в настоящем пособии приводить не будем.6

1.4. Поверхностные интегралы 1.4.1. Поверхностные интегралы первого рода

5mesS (measure) — мера, или площадь поверхности.

6Все необходимые доказательства можно найти в учебниках по дифференциальной геометрии.

38

Пусть S есть гладкая поверхность, заданная параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω. Далее, пусть задана функция F(u,v), представляющая собой суперпозицию некоторой функции F0(x,y,z) и функции Φ:

F(u,v) = F0(f(u,v),g(u,v),h(u,v)).

Поверхностным интегралом первого рода от функции F0(x,y,z) по поверхности S называется интеграл

I =	Ω	F(u, v) EG − F2 dudv,

если указанный двойной интеграл существует и конечен. Обозначается поверхностный интеграл первого рода следующим образом

I = F0 ds;

S

как синоним понятия поверхностный интеграл первого рода, употребляется также термин "поверхностный интеграл по площади".

Как следует из определения, поверхностный интеграл первого рода существует, если существует двойной интеграл I.

Если поверхность S кусочно-гладкая и состоит из гладких поверхностей S1,...,Sm, то поверхностный интеграл первого рода определяется естественным образом как сумма соответствующих интегралов по S1,...,Sm.

Очевидно, что поверхностный интеграл первого рода обладает свой-

ством линейности:
(αF1 + βF2)ds = α	F1 ds + β	F2 ds.
S	S	S

Далее, очевидно, что выполняется равенство

dS = mesS.

S

Наконец, заметим, что численное значение поверхностного интеграла первого рода не зависит от выбора параметризации.

39

1.4.2. Поверхностные интегралы второго рода

Вновь рассмотрим вначале случай гладкой поверхности.

Пусть на гладкой поверхности S с параметризацией Φ(u,v), (u,v) Ω, зафиксирована нормаль n (вычисляемая с помощью формулы (1.3.1)). Определим единичную нормаль

nν = |n|.

Единичная нормаль ν, как и просто нормаль n, задает ориентацию поверхности и определяет поверхности S+ и S−. Обозначим через α, β, γ углы между вектором ν и положительным направлением осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Пусть вновь задана функция F(u,v), представляющая собой суперпозицию некоторой функции F0(x,y,z) и функции Φ(u,v).

Поверхностным интегралом второго рода от функции F0(x,y,z)

по поверхности S+ и по координатам x и y называется интеграл

I = F0 cosγ ds,

S

если последний интеграл существует. Обозначается поверхностный интеграл второго рода так

I = F0 dxdy.

S+

Вполне аналогично — с заменой множителя cosγ на множитель cosα или же cosβ — определяются интегралы от функции F0(x,y,z) по поверхности S+ по координатам y, z и z, x соответственно.

Поверхностные интегралы второго рода от функции F0(x,y,z) по поверхности S− по координатам x, y, или y, z, или z, x определяются изменением знака у соответствующего интеграла по поверхности S+ на противоположный (например,

F0 dxdy = − F0 dxdy).

S− S+

Свойство линейности для поверхностного интеграла второго рода очевидным образом сохраняется.

40