zad1_newX

160	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ

6.64.При прохождении тока в индуктивности возникает эдс индукции

U0		R		1 ∂Φ	L ∂J
	T		L	E = − c ∂t	= − c2 ∂t	,
где	J – сила тока в цепи,			Φ – магнитный поток через индуктивность. Используя
второй закон Кирхгофа, получаем для цепи уравнение

JR +

L dJ

= U0

при 0 ≤ t ≤ T .

(1)

c2

dt

Поскольку JR = UR ,

dJ =

1

dUR

, уравнение (1) запишется так:

dt

R dt

UR +

L

dUR

= U0

при 0 ≤ t ≤ T .

(2)

c2R

dt

Решая уравнение (2) с начальным условием UR(0) = 0, находим, что

UR = U0 1 − e−t/τ при 0 ≤ t ≤ T,

где τ = L/c2R. После прохождения импульса уравнение для контура будет иметь вид

UR +	L		dUR	= 0 при t > T .
	c2R		dt

Решая это уравнение с условием, что при t = T

UR(T ) = U0 1 − e−T/τ ,

получаем

UR(t) = U0 e+T/τ − 1 e−t/τ

при

t > T .

Проинтегрируем уравнение (1) по времени от 0 до

t0:

t0

Rc2

t0

R

RJ(t0) +

Z0

J(t) dt =

Z0

U0 dt

при

0 < t0 ≤ T . (3)

τ

L

Если T/τ 1, вторым слагаемым в левой части уравнения (3) можно пренебречь.

Действительно, заменяя под интегралом

J(t) на J(t0), получаем

R

t0

t0

Z

J(t) dt < RJ(t0)

RJ(t0) ,

τ

τ

0

Цепи переменного тока. Трансформаторы. Длинные линии

161

так как

t0/τ 1. Тогда

t0

RJ(t0) = UR(t0) Z0

U0 dt ,

т. е. если длительность импульса T много меньше постоянной цепочки τ, цепочка

интегрирующая.

6.65. mc

2J12

R3

2 dR1

dT , где J – полный ток в системе, измеряе-

ω2R4 C4

R3

+R2

мый прибором А.

6.66.

L

,

τ

R, где C = C0 + C1, R = R0 + R1, а τ – длительность

c2τ 2

C

импульса тока.

6.67. J

= J

L

12 (1

−

e−αt), где α =

Rc2/L2

и L

=

4πN

N

µS

.

1

12

1

2

2

L1

1−L12 /L1L2

ℓ

6.68. ωk = 2ω0 sin 2kπN , где ω0 =

√

c

и k = 1, 2, ..., N – число длин волн

LC

(тока или напряжения), уложившихся на всей длине цепи.

6.69. Ток J и напряжение U удовлетворяют телеграфному уравнению

LC ∂2J

+ RC

∂J

=

∂2J

,

c

2

∂t

2

∂t

2

∂x

где L, C – погонные индуктивность и емкость линии. Связь J c U : C ∂U

=

∂J

и

L ∂J

∂U

∂t

∂x

=

∂x .

c2

∂t

6.70. ω = vk, где v = c.√

и k = πn/ℓ, n = 1, 2, ...

LC

6.71. а) Jx = J0 sin

ωk x

, Ux = U0 cos

ωkx

, где ωk

= kπv

; б) Ux = U0 sin

ωkx

,

v

v

ℓ

v

Jx = J0 cos

ωkx

, где ωk

=

kπv ; в) Jx

= J0 sin

ωkx

, Ux = U0 cos

ωkx

, где

v

ℓ

v

v

ωk =

π(2k+1)v

. Во всех случаях U0 = qCL J0.

2ℓ

6.72.ρ =

468 Ом.

vC1 =	4 ln(d/r)	; для двухпроводной линии ρ [Ом] = 120 ln(d/r)
	v

6.73.ρ [Ом] = 60 ln Rr 970 Ом.

6.74.Zвх = ρ ctg 2λπℓ , где λ = 2nℓ – длина волны в линии, а ρ – ее волновое сопротивление (n = 1, 2, ...). а) Zвх = 130 Ом (индуктивное). б) Zвх = ∞ (параллельный резонанс). в)Zвх = 347 Ом (емкостное). г) Zвх = 0 (последовательный резонанс).

162	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ

6.5.Скин-эффект

6.76.Поскольку плотность токов смещения в проводящей среде мала по сравнению с током проводимости, то уравнения Максвелла, описывающие распределение переменных полей и токов в проводниках, принимают вид

rot E = − 1 ∂B , c ∂t

rot H = 4πσc E ,

div B = 0,

div D = 0,

j = σ E, B = µ H, D = ε E,

(1)

где σ – проводимость среды. Используя эти уравнения, можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только вектор напряженности электрического или магнитного полей:

2E =	4πµσ ∂E	(2)
	c2 ∂t .

Из симметрии рассматриваемой задачи ясно, что E может зависеть только от координаты z и времени. Граничное условие для электрического поля на поверхности проводника очевидно из первого уравнения системы (1): E1τ = E2τ . В силу этого условия электрическое поле в проводнике у его поверхности равно E = E0 exp(−iω t). В переменном поле с частотой ω зависимость всех величин от времени описывается множителем exp(−iω t). Тогда уравнение (2) для напряженности электрического поля, зависящей только от координат, примет вид

∂2E

+ k2E = 0 ,

∂z2

где

√

1 − i

c

4πµσω i

.

k =

=

±

2πµσω

(1

−

i) =

±

,

δ =

r−

c2

c

δ

√2πµσω

Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при

z

→ ∞, пропорционально

Учитывая граничное условие

при

zz= 0

, получаем

exp − (1 − i)z/δ . z

z

z

E = E0 e− δ e−i(ω t − δ ),

j = σ E0 e−

δ e−i(ω t −

δ ).

Скин-эффект	163

Таким образом, по мере проникновения вглубь проводника амплитуда напряженности электрического поля, а с ней и амплитуда тока убывает по экспоненциальному закону. При этом основная часть тока сосредоточена в поверхностном слое толщиной δ. Величина скин-слоя δ уменьшается с частотой δ 1/√ω . Условие применимости макроскопических уравнений поля, о которых говорилось выше, требует, чтобы δ было велико по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости. При увеличении частоты это условие в металлах нарушается первым.

Средняя по времени энергия dW , диссипируемая в элементе объема dv проводника в единицу времени, равна

dW = (j E) dv = σ E2 dv ,

где черта означает усреднение по времени. Здесь j и E вещественные.

Энергия, выделяемая в бесконечном столбике с единичной площадью сечения:

Z∞

W = σ E2 dz .

0

Если j и E взять в комплексном виде, то среднее по времени значение их произведения можно вычислить так:

1

∞

σ E2

∞

E2σ δ

W =

Z0

Re (j E ) dz =

0

Z0

e−2z/δ dz =

0

.

2

2

4

6.77. W¯ = 14 σ

E02δ0 + E12δ1

, где δi = c/√

, ω0 = ω и ω1 = 0, 1ω0.

2πσµωi

6.78.R σbδ2ℓ . Как распределен ток по сечению пластины?

6.79.Внутри провода ввиду его осевой симметрии в цилиндрической системе координат с осью Z вдоль оси провода поле E имеет лишь z-компоненту и зависит только от координаты r. Для периодического поля с частотой ω получаем уравнение (см. задачу 6.76) Бесселя

∂2E

+

1

∂E

+ k2E = 0 ,

∂r2

r

∂r

где

1 − i

c

k =

,

δ =

,

E = E .

±

δ

√2πµσω

z

Общим решением этого уравнения будет выражение

Ez = A1 I0(kr) + A2 Y0(kr) ,

164 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ

где I0(kr) , Y0(kr) — цилиндрические функции нулевого порядка соответствен-

но первого и второго рода. Так как

E не может обратиться в бесконечность на оси

провода, то A2 следует положить равным нулю: A2 = 0, поскольку Y0(0) = ∞.

Таким образом, Ez = A1 I0(kr).

kr 1, что соответствует пре-

Используя разложение функции Бесселя при

дельному случаю малых частот ( a/δ 1),

(kr/2)2

(kr/2)4

I0(kr) = 1 −

+

− . . .

(1!)2

(2!)2

для напряженности электрического поля получаем

Ez A1"1 −

i

r

2

1

r

4

# e−iω t .

−

2

δ

16

δ

По такому же закону распределена плотность тока jz = σEz . Сопротивление проводника переменному току силы J найдем как отношение среднего количества энергии W , выделяемой в проводнике за единицу времени, к среднему за период значению квадрата силы тока J2 :

R= W , J2

a

2

2

4

σ ℓ

πa ℓ σ A1

1

a

!.

W =

Z0

Re (Ez · Ez ) 2πr dr

1 +

2

2

24

δ

Найдем полный ток, текущий по проводнику:

a

jz 2πr dr = πa2 σ A1"1 −

i

a

2

1

a

4

# e−iω t.

J = Z0

−

4

δ

48

δ

Тогда средний квадрат тока:

1

π2a4 σ2 A2

1 +

1 a4

J2

=

Re (JJ ) =

1

2

2

48

δ4

и сопротивление:

ℓ

1 a4

1

σ ω a2

2

R =

1

+

=

ℓ

1 +

π

!при δ a.

πa2 σ

48 δ4

πa2 σ

12

c

При больших частотах ( δ a) можно считать поверхность плоской. Поэтому (см. 6.76)

Ez = A1 e− a−δ r e−i(ω t − a−δ r ).

Скин-эффект

165

Поступая далее так же, как и в случае малых частот, находим

πal σ δA2

W =

1

,

J2 = π2a2 σ2 δ2 A2 .

2

1

И значит,

R =

W

=

ℓ

при

δ a .

2πa σ δ

J2

6.80. R

1

.

aδσ

sh2 xδ + cos2

6.81. H (x) = H0

xδ sh2 hδ

+ cos2 hδ , где H0 = 4πJ0n/c.

При слабом скин-

эффекте

(δ

h) H (x)

H0

; при сильном скин-эффекте

(δ

h)

q

H(x) H0e−(h−|x|)/δ.

6.82.Если частота ω изменения поля мала, т. е. глубина проникновения δ велика по сравнению с размерами тела, тогда распределение магнитного поля в каждый момент времени будет таким, каким оно было бы в статическом случае при заданном значении внешнего поля вдали от тела. Действительно, в этом случае правую часть уравнения

Z						4πiµσ ω
					2H = −		H
	θ					c2
		H0	можно заменить нулем. Используя решение задачи 5.7,
	UR
	R		получаем, что поле внутри шара в нулевом (по частоте)
O
			приближении равно
μ,σ	a
			H =	3	H0 e−iω t .
				µ + 2

Выберем сферическую систему координат (R, θ, α) с началом в центре шара. Угол θ будем отсчитывать от оси Z, направленной вдоль H0. Из свойств симметрии системы ясно, что вихревое электрическое поле, согласно уравнению

1			∂B		(1)
rot E = −				,
	c		∂t

будет лежать в плоскостях, перпендикулярных H0, и направлено по касательным к окружностям с центром на оси Z. Оно зависит только от величины радиусов этих окружностей. Так же будут направлены и токи: jα = σEα. Нужно заметить, что в нулевом по частоте приближении поле E отсутствует, что следует из уравнения

rot H = 4πσc E = 0 .

166	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Воспользуемся интегральным аналогом уравнения (1)
I	1			∂Φ
	El dl = −				,
		c		∂t

где Φ — поток вектора магнитной индукции через поверхность, натянутую на контур, по которому берется циркуляция вектора E в левой стороне уравнения. Взяв интеграл по окружности радиуса R sin θ, найдем

Eα =			3µ i				H0Rω sin θ		e−iω t
	2 (µ + 2)						c
и, значит,
jα =	3µ				H0R σ ω sin θ			e−i(ω t−π/2) .
	2 (µ + 2)						c

Отбрасывая мнимую часть, получаем

jα = 3µ σ ω H0R sin θ sin ωt .

2 (µ + 2) c

Количество тепла, выделяемое в единицу времени в элементе объема dv = 2πR2 sin θ dθ dR, равно

dW = j2 2πR2 sin θ dθ dR .

σ

Интегрируя это выражение по объему шара, получаем

6π

2

µ ω H0

W (t) =

σ a5 sin2 ω t .

5

(µ + 2) c

Тогда среднее количестно тепла, выделяемое в единицу времени, будет

1

T

3π µ2ω2 σH2a5

при δ a .

W =

T Z0 W (t) dt = 5 c2(µ + 2)2

0

Поглощаемая мощность энергии при малых частотах пропорциональна ω2.

6.83. При

больших

частотах магнитное поле

проникает лишь в тонкий

Скин-эффект			167
Z	UR		поверхностный слой проводника. Глубина проникновения
	R		δ a. Для вычисления поля вне проводника можно
	θ
a			пренебречь толщиной этого слоя, т. е. считать, что внутрь
		UUUR	тела магнитное поле не проникает. По шару будут течь
O	μ,σ	H0
			поверхностные токи. Эти токи создадут магнитный мо-
			мент шара m = bH0, так что поле вне шара согласно

результатам задачи 6.9 можно записать как

H = H0 −	m	+	3R(m R)		при R > a .
	R3		R5

Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индук-
ции на поверхности шара BR R=a = 0 получим
	bH0 cos θ		3bH0 cos θ
H0 cos θ −		+		= 0 ,
	a3		a3

откуда m = −H0a3/2 , b = −a3/2— магнитная поляризуемость шара при сильном скин-эффекте. Значит,

3

H(R = a) = − 2 H0 sin θ nθ ,

где nθ — единичный вектор, соответствующий углу θ в сферической системе координат (R, θ, α). Нахождение истинного распределения поля в поверхностном слое шара можно упростить, рассматривая небольшие участки поверхности как плоские с известным значением поля на поверхности. Тогда (см. 6.76)

H = − 32 H0 sin θ e− hδ e−i(ω t − hδ ) nθ ,

HR = Hα = 0 ,

где δ = c/√2πµσω, a h отсчитывается от поверхности по нормали вглубь шара. Среднюю поглощаемую шаром энергию можно найти как среднее количество энергии поля, втекающей извне внутрь проводника в единицу времени, т. е. интеграл от среднего по времени вектора Пойнтинга S, взятый по поверхности шара:

	= Z	(		ds) =	c	Z
W			S					[E × H] · ds .
					4π

Из уравнения rot H = 4πσ E/c найдем

E = c (1 − i) [H × n],

4π σ δ

168	ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ

где n – единичный вектор, перпендикулярный поверхности и направленный внутрь шара.

Найдем средний вектор Пойнтинга на поверхности шара:

c

c

e [E

H ] =

S =

[E

H] =

4π

×

8π R

×

c

!

9

c2 H02 sin2 θ

=

32π2 σ δ

Re (1 − i)

[H × n] × H

=

128

π2 σ δ

n .

Интегрируя S по поверхности, окончательно получаем

		π
					3	H02a2c r		µ ω
	W = Z0		S 2π a2 sin θ dθ =							при δ a .
					8			2π σ

Таким образом, диссипация энергии при больших частотах пропорциональна √ω.

6.84.При слабом скин-эффекте количество тепла уменьшится в n2 раз, а при сильном – возрастет в n раз.

6.85.а) При сильном скин-эффекте µ¯ 1−2πna3; б) при слабом скин-эффекте

µ¯ 1 + 4πn µµ−+21 a3.

6.86.Сила, действующая между шариками, определеяется энергией их взаимодействия, возникающего вследствие приобретаемого каждым из них магнитного дипольного момента m. Таким образом, эта энергия равна (r – радиус-вектор между шариками):

U = mHm = m −

m

mm)2

m2

mr

+

3(

= −

+ 3

,

r3

r5

r3

r5

так что сила взаимодействия есть

F = − U = −3

m2r

− 6

(mr)m

+ 15

(mr)2r

.

r5

r5

r7

Осталось найти магнитный дипольный момент m в интересующих нас случаях.

а) Слабый скин-эффект (ω c2/2πσa2). Ранее было найдено (см. решение задачи 6.82), что в этом случае в шарике наводятся переменные по направлению азимутальные токи с амплитудой

σω

jα = 2c H0r sin θ,

Скин-эффект	169

магнитный дипольный момент которых равен (dS = rdrdθ)

dm = 1c πρ2dI = 1c πr2 sin3 θjαdS = πσω2c2 H0r4 sin3 θdrdθ,

так что полный магнитный дипольный момент шарика есть

πσω

a

π

2 πσω

1

a

2

Z0

r4dr Z0

sin3 θdθ =

m =

H0

H0a5 =

H0a3,

2c2

15 c2

15

δ

и он направлен вдоль внешнего поля и перпендикулярен прямой, соединяющей шарики. Следовательно, они расталкиваются с силой

1			a		4 H2a6
F =					0		.
	75		δ			r4

б) Сильный скин-эффект (ω c2/2πσa2). В этой ситуации приобретаемый момент есть просто (см. решение задачи 6.83) m = − a23 H0, так что

3 H2a6 F = − 0 .

4 r4

Видно, что при этом сила не зависит от частоты внешнего поля и во много раз больше, чем при слабом скин-эффекте.

6.87. Нетрудно видеть, что условие ω c2/σa2 означает, что глубина скинслоя δ a, то есть скин-эффект сильный. Кроме того, так как h R, а шарик маленький (a R), то будем считать, что магнитное поле кольца с током в месте расположения шарика практически постоянно и равно полю магнитного момента кольца mz = 1c πR2I, где ось z направлена перпендикулярно плоскости кольца в сторону центра шарика. Тогда шарик находится в поле

Hz = −	mz		3mz		2πR2I
		+		=		.
	h3		h3		ch3

В случае сильного скин-эффекта шарик приобретает магнитный момент

mш ≈ − 12 a3Hz.

Энергия взаимодействия U этого момента с полем Hz, его индуцирующим, есть (следует обратить на множитель 12 , всегда появляющийся в таких случаях)

	1		1			πR2I		2
U =		mzHz =		a3Hz2 =				a3,
	2		4			ch3