zad1_newX

60								КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
			R1				R2	модуляционным методом используется мост переменного тока, в
								одно из плечей которого вставлен испытываемый образец R1, а
			C4 O È					в другое для уравновешивания амплитуды и фазы – сопротив-
			R4				R3	ление R4 и шунтирующая его емкость C4. Ток, питающий мост,
			R					равен J = J0 + J1 sin ωt, (J0 J1), где постоянная состав-
						A	ÇÃ

ляющая J0 регулируется реостатом R, а переменная – звуковым генератором (ЗГ). При этом сопротивление образца и его температура T изменяются по такому же закону, но со сдвигом ϕ по фазе так, что

mC = 2J0J1R1 sin ϕ, ω T

где m – масса образца, а T – амплитуда колебаний его температуры. Показать, что электрический импеданс образца для переменной составляющей тока равен

Z = R +	J0 dR1			T cos ϕ − i	J0 dR1			T sin ϕ.
	J1 dT				J1		dT

Определить величину mC для образца, если выполнены условия:

J0 dR1	T cos ϕ R1, ω2R12C2 1
J1 dT

и мост находится в равновесии (по амплитуде и фазе).

6.66.

Для

измерения тока

«неконтактным»

способом

с

помощью

пояса

ε ~

A

Роговского

(см. задачу

6.48) собрана

измеритель-

R0

L0

ная схема,

эквивалент

которой

показан

на рисунке

C0

C1

(R0, L0, C0 – параметры собственно пояса, E – эдс,

R1

B

наводимая на концах обмотки пояса). При каком выборе

R1 и C1 напряжение в точках A, B пропорционально измеряемому току. Чему оно

будет равно при C1 = 0?

6.67. На магнитопровод (сечение – S, длина – ℓ, магнитная проницаемость – µ)

надеты две обмотки (числа витков – N1, N2, индуктив-

S

ности – L1, L2), находящиеся в сверхпроводящем со-

L1,R1

N1 N2

L2,R2

стоянии, при этом только во второй из них течет ток J. В

момент t = 0 ее переводят в обычное состояние (сопро-

тивление R). Найти ток в первой обмотке, пренебрегая полями рассеяния.

6.68.

Электрическая

цепь

(искусственная длинная линия)

состоит

из N

Скин-эффект	61

0

C

1

L

n

n+1

1	n-1	L	N	L	n+1

C

C

C

C

L

C

N

N

C

одинаковых звеньев (N 1) разомкнута на концах. Найти частоты собственных колебаний этой системы.

6.69.Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосредоточенными параметрами (задача 6.68) получить путем предельного перехода дифференциальное уравнение для тока в длинной цепи с равномерно распределенными параметрами.

6.70.Идеальная длинная линия с распределенными параметрами длиной ℓ разомкнута на концах. Определить спектр собственных колебаний такой системы. Сравнить его со спектром линии с сосредоточенными параметрами (задача 6.68).

6.71.Найти закон распределения вдоль линии амплитуд токов Jx и напряжений Ux для собственных колебаний в двухпроводной линии длиной ℓ, а также частоты собственных колебаний. Концы линии: а) разомкнуты; б) замкнуты накоротко; в) один конец замкнут, другой разомкнут. Потерями пренебречь.

6.72.Найти волновое сопротивление ρ двухпроводной линии без потерь, провода которой имеют диаметр 2r = 4 мм и расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. (Волновым сопротивлением линии называется отношение амплитуды напряжения волны, бегущей в линии, к амплитуде тока этой волны.)

6.73.Найти волновое сопротивление ρ воздушной коаксиальной линии без потерь, жила которой имеет диаметр 2r = 8 мм, а оплетка 2R = 40 мм. (Определение волнового сопротивления линии см. в задаче 6.72.)

6.74.Найти входное сопротивление двухпроводной линии без потерь на частоте ν = 5 · 107 Гц, если провода линии имеют диаметр 2r = 2 мм и расположены

на расстоянии d = 12 мм. Конец линии разомкнут, а ее длина равна: а) ℓ1 = 2 м; б) ℓ2 = 3 м; в) ℓ3 = 3, 5 м; г) ℓ4 = 7, 5 м. Определить, каков характер входного сопротивления – емкостной или индуктивный (входное сопротивление линии для данной частоты есть отношение между амплитудами напряжения и силы тока, устанавливающимися на входе линии, питаемой переменной эдс данной частоты).

6.5.Скин-эффект1

6.75.Показать, что на границе с проводником отношение нормальной компоненты магнитного поля к тангенциальной есть величина такого же порядка малости, что и отношение глубины проникновения к длине волны переменного поля.

6.76. Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с проводимостью σ

1Обратите внимание, что во всех ответах к этому параграфу δ = C/√2πσµω и K = (1 − I)/δ.

62	КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

0			E	E-IωT
		x	0
y	1
1

z σ,µ

и магнитной проницаемостью µ. Параллельно плоскости Z = 0 имеется электрическое поле E = E0e−iωt. Найти: а) полеRв полупространстве; б) среднюю за период мощность W = 0∞(jE)dz, выделяющуюся в бесконечном столбике от нуля до ∞ по Z и с единичной площадью сечения (1 ×1).

6.77. Полупространство Z ≥ 0 заполнено проводником с проводимостью σ. Параллельно плоскости Z = 0 включено переменное электрическое поле, представляющее собой сумму двух полей с разными амплитудами E0 и E1. Частоты различаются на порядок ω и 10ω соответственно. Найти среднюю за большой период мощность W , выделяющуюся в бесконечном столбике по Z от нуля до бесконечности с единичной площадью сечения.

	6.78. Покрытая тонким изолирующим покрытием металлическая пластина
		2a	толщины a, ширины b, длины 2ℓ (a b, ℓ) и проводимо-
			стью σ сложена вдвое (см. рисунок). Найти активное со-
b	~		противление пластины переменному току частоты ω в случае
		l	сильного скин-эффекта.

6.79.Найти активное сопротивление тонкого цилиндрического проводника (длина – ℓ, радиус – a, проводимость – σ; µ = 1) в предельных случаях слабого и сильного скин-эффекта.

6.80.Над полупространством с очень низкой проводимостью σ на расстоянии a от него идет линейный переменный ток частоты ω. Оценить сопротивление тока на единицу длины, полагая глубину скин-слоя δ a.

6.81.Широкая плита с проводимостью σ и магнитной проницаемостью µ, ограни-

ченная плоскостями x = ±h, обмотана проводом, по которому течет ток J = J0e−iωt. Провод тонкий, число витков на единицу длины n, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевыми эффектами, определить вещественную амплитуду магнитного поля внутри плиты. Исследовать предельные случаи слабого (δ h) и сильного (δ h) скин-эффекта.

6.82.Металлический шар радиуса a проводимостью σ и магнитной проницаемо-

стью µ помещен в однородное переменное магнитное поле H(t) = H0e−iωt. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю поглощаемую им мощность.

6.83.Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой ω. Найти результирующее поле и среднюю поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шара – a, магнитная проницаемость – µ, проводимость – σ. Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри шара поле

Скин-эффект	63

равно нулю (т. е. пренебречь глубиной проникновения δ по сравнению с радиусом шара a). При определении поля внутри шара, считать его поверхность плоской.

6.84.Металлические шарики равномерно распределены в диэлектрике. Включе-

но однородное магнитное поле H = H0e−iωt. Во сколько раз изменится количество тепла, выделяющееся в единице объема, если имеющиеся шарики измельчены

(R = R0/n) и вновь равномерно размешаны в диэлектрике? Результат найти для случая слабого и сильного скин-эффекта.

6.85.Найти среднюю магнитную проницаемость среды, представляющую собой «газ» из металлических шариков радиуса a, их число в единице объема n. Проводимость металла – σ, магнитная проницаемость – µ. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот ω, когда: а) толщина скин-слоя много меньше a; б) много больше a.

6.86.Два медных шарика радиусами a, проводимостью σ помещены на расстоянии r a друг от друга в переменное однородное магнитное поле H = H0e−iωt,

H		r		Оценить силу их взаимодействия для случаев а)			ω c	2		2	,
(			2).		2	.			/2πσa
б) ω c			/2πσa

6.87.По горизонтально расположенному кольцу радиуса R = 1 см течет пере-

менный ток I = I0e−iωt. Над кольцом на его оси на высоте h = 10R свободно висит маленький медный шарик радиуса a. Найти амплитуду I0 тока в кольце, если

ωc2/(σa2) (плотность меди ρ ≈ 9 г/см3, ее проводимость σ ≈ 5 · 1017 см−1).

6.88.Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус – a, толщина

стенки – h(h a), находится в однородном продольном магнитном поле H(t) = H0e−iωt. Найти амплитуду магнитного поля в полости и ее зависимость от ω. Указание. Так как h a, то при определении поля в толще оболочки можно считать ее плоской.

6.89. Полый медный цилиндр помещен в однородное магнитное поле, параллельное его оси. Поле быстро выключают. Описать изменение поля во времени внутри цилиндра. Что значит быстро?

6.90. Тонкий

h

	R

бесконечный цилиндр с толщиной стенки h, радиусом R (h R) находится в продольном внешнем магнитном поле H = H0 sin ωt. Внутри цилиндра – феррит с магнитной проницаемостью µ. Найти амплитуду в феррите.

6.91.В однородном магнитном поле H = H0e−iωt находится бесконечная труба

срадиусами стенок R и r (R − r r), изготовленная из материала с проводимостью σ (µ = 1). Внутри нее – сверхпроводник. Ось трубы параллельна полю. Найти магнитное поле внутри металла трубы.

64	КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

6.92.Бесконечный проводящий цилиндр с проводимостью σ внесли во внешнее

однородное переменное магнитное поле H = H0 e−iωt так, что его ось перпендикулярна магнитному полю. Найти поле во всем пространстве в случаях: а) слабого; б) сильного скин-эффекта. Магнитная проницаемость цилиндра µ = 1.

6.93.Бесконечный полый цилиндр внесли во внешнее однородное переменное

магнитное поле H = H0e−iωt, ось которого перпендикулярна магнитному полю. Найти поле внутри цилиндра (проводимость – σ, магнитная проницаемость µ = 1) при сильном скин-эффекте.

6.94.Металлический сплошной цилиндр помещают в переменное магнитное поле

H = H0e−iωt первый раз так, что ось цилиндра перпендикулярна полю, второй раз так, что ось параллельна полю. В случае сильного скин-эфекта найти отношение мощностей выделяющихся в цилиндре (магнитная проницаемость µ = 1).

6.95.Проводящий диск радиуса a и толщины h внесли в переменное однородное магнитное поле так, что ось диска параллельна магнитному полю. Оценить поле на поверхности диска вблизи его оси в случае слабого скин-эффекта (h δ).

6.96.По двум бесконечно длинным и тонким проводникам, расположенным над

проводящей плоскостью с проводимостью σ, текут равные и противоположно направленные токи J1 = −J2 = J0 cos ωt. В случае сильного скин-эффекта найти распределение плотности индуцированного тока j(x).

6.97. Сферический тонкостенный проводящий экран (радиус – a, толщина стенок – h a, проводимость – σ) помещен в переменное однородное магнитное поле H = H0e−iωt. Оценить магнитное поле внутри экрана в случае слабого скинэффекта (h δ).

6.98. Найти суммарный момент сил, действующих на неподвижный

тонкостенный шар радиуса a (толщина стенки равна ,

проводимость материала – σ, (µ = 1)), во вращающемся

с угловой скоростью ω однородном магнитном поле. Вра-

щающееся поле можно представить в виде суперпозиции H = H0(ex − iey)eiωt. Задачу решить в приближении слабого скин-эффекта.

6.99. В случае сильного и слабого скин-эффекта оценить индуктивность на еди-

ницу длины бесконечной линии, сечение которой показано на ри-

сунке. (Толщиной проводников пренебречь.) Ширина проводника 10 см, δ1 = 1 мм, δ2 = 2 мм, δ3 = 3 мм.

Поток энергии. Ток смещения	65

6.100. В однородное переменное магнитное поле H = H0e−iωt внесли короткозамкнутый виток (проводимость σ), в форме прямоугольного короба (толщина стенки – d, поперечное сечение – a × b, высота – h; h, b a > 2d). Найти поле внутри витка, если H параллельно его высоте. Краевыми эффектами пренебречь.

6.101. Многослойный с полной толщиной слоя d короткозамкнутый тороидальный соленоид со средним малым радиусом сечения a изготовлен из проволоки с удельным сопротивлением ρ. Найти параметры, при которых ток в соленоиде пропорционален переменному (с характерным временем τ) току в витке, расположенном по оси тороидального соленоида.

6.6.Поток энергии. Ток смещения

6.102. По цилиндрическому проводнику радиуса a и длины ℓ a течет равномерно распределенный по сечению ток J. Показать, что выделяющееся в проводнике джоулево тепло равно энергии электромагнитного поля, которая поступает в проводник извне.

6.103. Найти энергию, которую несет с собой электромагнитное поле, распространяющееся вдоль воздушного коаксиального кабеля без потерь. Показать, что энергия, протекающая за единицу времени через сечение кабеля, равна мощности, которую отдает источник, питающий кабель.

6.104. По двум плоским параллельным шинам с конечной проводимостью мощность источника передается в нагрузку. Описать картину полей и потока энергии, пренебрегая рассеянными полями на

краях; E = const.

6.105. По двухпроводной линии постоянного тока передается мощность P при напряжении U и токе J. Пренебрегая сопротивлением про- водов, найти распределение вектора Пойнтинга на прямой, со-

единяющей оси проводов.

6.106. Показать, что при разрядке плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов на их обкладках ток проводимости совпадает с током смещения.

6.107. Найти плотность тока смещения jсм в плоском конденсаторе, пластины которого раздвигаются со скоростью u, оставаясь параллельными друг другу, если: а) заряды Q на пластинах остаются постоянными; б) разность потенциалов U между пластинами остается постоянной, расстояние d между пластинами конденсатора остается все время малым по сравнению с линейными размерами пластин; в) что изменится, если пластины конденсатора будут сближаться, а не раздвигаться?

66	ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

6.108. По цилиндрическому прямолинейному проводнику радиуса a с проводимостью σ и магнитной проницаемостью µ = 1 течет переменный ток J = J0exp(−iωt). В случае сильного скин-эффекта найти долю времени, в течение которого поток энергии направлен от провода в окружающее пространство. Найти на единицу длины проводника среднюю поглощаемую проводником мощность.

7.ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

Уравнение движения и сила Лоренца F = dP/dt = qE + qc [vB].

P= γm0v, E = γm0c2, P/E = v/c2, т. е. v = PEc2 = ddtr .

Впостоянном однородном электрическом поле

q

P = qEt, E = E02 + (cqEt)2.

В постоянном однородном магнитном поле

˙ q E dv q qB

P = c [vB] , или c2 dt = c [vB] , ларморовская частота ω = mc

Для тонкой электростатической линзы в параксиальном приближении

b

U′′

1

1

Za

= −

4√

√

dz,

F

U0

U

а для такой же магнитной линзы

b

1

=

q

Za

Hz2dz.

F

8mc2U

7.1.Движение частиц в электрическом и магнитном полях. Дрейф. Магнитная ловушка

7.1.Найти траекторию релятивистской частицы с зарядом q, начальной кинетиче-

ской энергией E0 и начальным импульсом P0 = (0, P0, 0) в постоянном однородном электрическом поле E = (E, 0, 0).

Движение частиц в полях. Дрейф. Магнитная ловушка	67

7.2.Релятивистская частица с зарядом q движется в постоянном однородном магнитном поле H. Найти зависимость ее координат от времени, а также радиус и частоту вращения.

7.3.Найти частоты колебаний заряженного пространственного нерелятивистского осциллятора, находящегося в постоянном однородном магнитном поле. Собственная частота колебаний осциллятора равна ω0.

7.4.К зазору размером d = 10 см между параллельными проводящими пластинами приложено напряжение U = 100 кВ. Параллельно плоскостям пластин направлено постоянное однородное магнитное поле H. При какой величине поля H электрон (масса – m, заряд – e), вылетающий из пластины с отрицательным потенциалом с нулевой начальной скоростью, не достигает другой пластины (условие магнитной изоляции)?

7.5.Частица массы m, имеющая заряд q, движется в постоянных однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. Найти ее координаты

взависимости от времени в нерелятивистском случае, а также скорость ее дрейфа.

7.6.При какой скорости заряженной частицы ее траектория прямолинейна при движении в ортогональных электрическом и магнитном полях?

7.7.Найти скорость дрейфа частицы в задаче 7.5, если вместо электрического поля на частицу действует сила F того же направления.

7.8.Показать, что для заряженной частицы, движущейся в магнитном поле H,

с учетом выражения ее обобщенного импульса P = p + + ec A существует адиабатический инвариант

	1	I	2
I =			P dr = 3cP	/ (2eH) .
	2π

7.9.Между областями 1, 2 однородности статического магнитного поля H нахо-

дится область 3, где аксиальное поле усилено до максимального значения Hm (магнитная пробка). Угол между импульсом P и H в области I в некоторый момент равен

θ. При каком соотношении между θ, H и Hm частица отразится от области 3 с сильным полем, если изменение поля медленное?

7.10.В среднюю часть ловушки с аксиальной симметрией инжектирована

порция частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля R частиц удержится в ловушке достаточно долго?

68	ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ

7.2.Фокусировка продольным и поперечным полями. Квадрупольные электростатические и магнитные линзы

7.11.Показать, что слабо расходящийся пучок заряженных частиц, испущенных

под углом π + α по направлению к вектору E, фокусируется

2

в точке с координатами x = g ctg α, y = g 1 − 12 sin2 α ,

где g = mveE02 .

7.12. Показать, что узкий параллельный пучок заряженных частиц, входящий по касательной в цилиндрический конденсатор, находящийся

под напряжением U, будет сфокусирован после поворота на

√

угол π/2 2 = 63, 6o. Соответственно слабо расходящийся пучок сфокусируется после поворота на угол, вдвое больший.

Энергия пучка удовлетворяет условию mv02/2 = αq, где

α= U/2 ln(r2/r1).

7.13.На каком расстоянии от точки вылета сфокусируется слабо расходящийся пучок заряженных частиц движущийся вдоль однородного магнитного поля H. Скорость частиц – v, заряд – q, масса – m.

7.14.На каком расстоянии от точки вылета сфокусируется слабо расходящийся пучок заряженных частиц, движущийся вначале перпендикулярно магнитному полю H? Скорость частиц v, заряд q, масса m.

7.15. Используя теорему Гаусса, показать, что в неоднородном аксиально-симметричном поле ER ≈ − R2 ∂E∂zz .

7.16. Показать, что для тонкой электростатической линзы в параксиальном приближении в аксиально симметричном поле уравнение траектории заряженной частицы

имеет вид

R U′′

d

dR

√U

=

√

,

dz

dz

4

U

причем

dz

= v cos α ≈ v = r

2qU

vz =

.

dt

m

7.17. Показать, что фокусное расстояние F для линзы из задачи 7.16 удовлетворяет соотношению

				Za	b		′′
1		1			U
	= −	4√			√			dz,
F
			U0			U

Фокусировка. Квадрупольные линзы

69

где U0 – потенциал вне линзы, а интеграл берется по области поля.

7.18. Показать, что фокусное расстояние

F для

пучка заряженных частиц

в параксиальном приближении для тонкой электростатической

квадрупольной линзы с потенциалом U = U0(x2 −y2)/h2 удо-

влетворяет соотношениям

Fx−1

= p sin pℓ ≈ p2ℓ,

F −1

=

−

p sh pℓ

≈ −

p2ℓ,

y

p

где p = qU/mv02/h.

7.19.Показать, что для системы двух последовательных квадрупольных линз, расположенных на расстоянии d, имеющих фокусные расстояния Fx = F , Fy = −F

иповернутых в плоскостяхXY друг относительно друга на 90o, результирующие фокусные расстояния по осям X и Y одинаковы и равны F 2/d при d F .

7.20.Показать, используя проекции уравнения движения в аксиально симметричном магнитном поле и результат задачи 7.15, что для частиц с зарядом e и массой m, разогнанных предварительно напряжением U, фокусное расстояние тонкой магнитной

линзы равно
	e		−1
F =		Z	Hz2dz .
	8mc2U

7.21. Показать, что для пучка заряженных частиц фокусные расстояния в параксиальном приближении для магнитной квадрупольной линзы с магнитным скалярным

потенциалом ϕm = −bxy равны Fx = (p sin pℓ)−1, Fy = −(p sh pℓ)−1, где q

p = qb . mv0 c

7.22. Параллельно оси сплошного проводящего (литиевого) цилиндра, по которому течет ток J = 0, 5 МА, пролетает ультрарелятивистский протон с энергией E = 300 ГэВ. Длина цилиндра ℓ = 10 см, радиус R = 1 см. Найти фокусное расстояние такой линзы. Показать, что при указанных условиях линза тонкая. Энергия покоя протона E0 = mpc2 = 1 ГэВ.