λn =	2n +1		π, n = 0, 1, 2, ......	(3.51)
	2

Подставляя (3.51) в фундаментальное решение (3.48) получаем собственные функции задачи:

zn (ξ, t) = Bn exp[−θ	2 (2n		+1)2	π	2	t]cos(	2n +1		πξ)	(3.52)
			4				2

Каждая из собственных функций (3.52) удовлетворяет граничным условиям задачи.

Решение задачи должно быть найдено в виде суммы собственных

функций (3.52):			2
z(ξ, t) = ∑Bn exp[−θ	2	(2n +1)		π	2	t]cos(	2n +1		πξ)	(3.52)
		4					2
n

Коэффициенты Bn должны быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворять начальному условию (3.39). Оно принимает вид:

∑Bn cos(	2n +1		πξ) = −C0	(3.53)
	2
n

Фактически для нахождения коэффициентов Bn необходимо разложить функцию (z = −C0, при −1 < ξ <1; z = 0, ξ ≥ 1, ξ ≤ −1) в ряд Фурье по

косинусам. Коэффициенты разложения имеют вид:
Bn	= −	4C0		(−1)	n	(3.54)
		(2n	+1)π

Подставив их в решение (3.52) и вернувшись к естественным координатам, получим решение задачи:

n

4

D (2n

+1)

2

2

2n

+1

x

− ∑(−1)

C = C0

1

exp[−

π

t]cos(

π

)

(2n +1)π

2

4

2

x

n

0

x0

(3.55)

Полученное решение (3.55) выражено в виде бесконечного ряда. Это обстоятельство, конечно, затрудняет качественный анализ решения. Тем не менее, оно позволяет произвести проверку размерностей величин, входящих в решение. Графическое представление полученного решения (3.55) приходится получать с помощью численного расчета.

Задачи.

1. Оцените продолжительность нестационарной части кинетической кривой диффузионно-контролируемой реакции. Определите, какая часть исходных веществ прореагирует в ходе нестационарной кинетики.

52

2.Получите решение (3.17) в стационарном приближении задачи Смолуховского для условия "серой сферы".

3.Оцените, используя выражения (3.15) и (3.18), значение бимолекулярной константы скорости диффузионно-контролируемой реакции в водном растворе.

4.Решите нестационарную задачу об окислении в полимерной среде

(задача 2.3) для n = 1.

5.Рассчитайте кинетику десорбции газа из сферической гранулы адсорбента, считая, что концентрация газа вне адсорбента всегда равна нулю.

53