Grammatische Übungen

1. Setzen Sie folgende Sätze in das Passiv.

Muster: Jörg löst die Aufgabe. → Die Aufgabe wird von Jörg gelöst.

1. Wir fertigen die Zeichnung an. 2. Olaf bringt die Fachzeitschrift. 3. Ich untersuche dieses Problem. 4. Der Lehrer korrigiert unsere Arbeiten. 5. Du beantwortest das Schreiben. 6. Der Professor fragt die Studentin.

2. Bilden Sie Passivsätze im Präteritum.

Muster: Das Problem wird untersucht. → Das Problem wurde untersucht.

1. Das Theorem wird angewandt. 2. Die Zahl 294 wird durch 7 geteilt. 3. Die Grundrechenoperationen werden durchgeführt. 4. Der Flächenin­halt des Rechtecks wird berechnet. 5. Die Winkel werden gemessen. 6. Dieser Satz wird für alle natürlichen Zahlen n bewiesen.

3. Setzen Sie folgende Sätze in das Passiv.

Muster: Man addiert die Zahlen miteinander. → Die Zahlen werden miteinander addiert.

I. Man multipliziert die Zahlen miteinander. 2. Man dividiert die Zah­len. 3. Man bezeichnet diese Rechenart als Potenzieren. 4. Man führt eine neue Rechenart ein. 5. Man unterscheidet gerade und ungerade Potenzen. 6. In der Formel aⁿ = b nennt man a die Basis, n — die Hochzahl.

4. Ersetzen Sie in folgenden Sätzen das Aktiv durch das Passiv.

Muster: Man soll das Problem untersuchen. → Das Problem soll un­tersucht werden.

1. Man soll diese Frage behandeln. 2. Bei einer Multiplikationsaufgabe darf man die Faktoren vertauschen.

3. Hier muss man die Additionsmethode anwenden. 4. Die natürlichen Zahlen kann man durch Punkte auf einem Strahl veranschaulichen. 5. Die Subtraktion kann man als Umkehrung der Addition bezeichnen. 6. Man muss die Summe aus zwei natürlichen Zahlen bilden.

5. Beantworten Sie folgende Fragen:

a) 1. Wird die Zahl 216 durch 5 ohne Rest dividiert? 2. Wird die Divisi­on durch null definiert? 3. Wird die Rechenart aⁿ = b als Potenzieren be­zeichnet? 4. Wird die dritte Wurzel auch Kubikwurzel genannt?

b) 1. Wurde der Satz schon bewiesen? 2. Wurde das Resultat dieser Auf­gabe schon berechnet? 3. Ist die nötige Rechenoperation schon durchgeführt worden? 4. Wird diese Gleichung durch Transformation gelöst werden?

c) 1. Dürfen die Summanden vertauscht werden? 2. Kann dieser Satz für alle natürlichen Zahlen n bewiesen werden? 3. Sollen diese Zahlen dividiert werden?

6. Bestimmen Sie die Zeitform des Prädikats. Übersetzen Sie die fol­genden Sätze ins Russische:

1. Die Zahl n wird mit der Zahl b multipliziert. 2. Das Resultat einer Additionsaufgabe wird Summe genannt. 3. Durch die Addition gleicher Summanden wurde eine neue Rechenart definiert. 4. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist berechnet worden. 5. Hier werden die Rechenoperatio­nen zweiter Stufe durchgeführt werden.

6. Bei einer Divisionsaufgabe sind der Wert des Produktes und ein Faktor gegeben, der andere Faktor soll berechnet werden.

TEXT A. POTENZRECHNUNG. WURZELRECHNUNG

I. Potenzrechnung

Durch die Addition gleicher Summanden wurde eine neue Rechenart definiert: die Multiplikation.

a + a + a...+ a = n • а

Für die Multiplikation gleicher Faktoren wird eine Abkürzung einge­führt: die Potenzrechnung.

Unter der Potenz aⁿ (gelesen: a hoch n, n-te Potenz von a) versteht man das Produkt von n gleichen Faktoren a.

Man nennt hierbei a die Grundzahl oder die Basis, n — die Hochzahl oder den Exponenten und b — die Potenz oder den Potenzwert.

Der Rechenvorgang wird Potenzieren genannt, es ist ein mehrfaches Multiplizieren mit derselben Größe.

Die Potenzrechnung gehört zu den Rechenarten dritter Stufe. Die Grundzahl a darf jeden beliebigen Wert annehmen. Dagegen muss die Hochzahl n auf Grund der Definition ¹ der Potenz immer eine natür­liche Zahl > 1 sein.

Grund- und Hochzahl einer Potenz sind im Allgemeinen nicht mitein­ander vertauschbar: аⁿ ≠ n^a

Für die Potenzrechnung gilt demnach nicht das Kommutativgesetz. Für die Potenzrechnung gelten folgende Potenzgesetze:

1. Potenzen können nur dann addiert (subtrahiert) werden, wenn sie sowohl in ihren Grundzahlen als auch in ihren Hochzahlen überein­stimmen: 3⁴+2⁴ = 81 + 16 = 97.

2. Potenzen mit gleichen Hochzahlen können dadurch multipliziert werden, dass man das Produkt der Grundzahlen mit der Hochzahl potenziert: aⁿ • bⁿ = (a • b)ⁿ.

3. Potenzen mit gleichen Hochzahlen können dividiert werden, wenn man den Quotienten der Grundzahlen mit der gemeinsamen Hoch­zahl potenziert: aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ für b ≠ 0.

II. Wurzelrechnung

Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens

Für die beiden direkten Rechenarten erster und zweiter Stufe, die Addition und die Multiplikation, gilt das Kommutativgesetz: a + b = b + a und a • b = b • a.

Aus diesem Grunde² besitzt jede dieser beiden Rechenarten nur eine Umkehrung. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion, die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Das Kommutativge­setz gilt aber nicht für die Potenzrechnung, denn es ist а^п ≠ п^а. Aus diesem Grunde muss die Potenzrechnung zwei Umkehrungen besitzen. Soll aus der Potenzgleichung aⁿ = b bei bekannten n Nund b ≥ O die Grundzahl a bestimmt werden, so nennt man die zugehörige Rechenart Wurzelrechnung oder Radizieren und schreibt

a = (gelesen: a ist die n-te Wurzel aus b).

In a = nennt man b den Radikanden, n den Wurzelexponenten und a die Wurzel oder den Wurzelwert.

Wenn die Seite eines Quadrates aus dem Flächeninhalt berechnet werden soll, muss man die Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt ziehen. Die dritte Wurzel wird auch Kubikwurzel genannt: mit ihr kann aus dem Rauminhalt die Würfelkante berechnet werden.