![](/user_photo/24029_nhNVn.png)
247 задача
.docxЗадача №247
Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Записать частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
,
,
.
Решение:
Общее решение
данного уравнения имеет вид:
.
Найдём
.
Для этого решим соответствующее
однородное уравнение
.
Составляем характеристическое уравнение:
.
Корнями этого уравнения являются
и
.
Т.к. решения действительные различные
числа (первый случай), то
или
.
Теперь
найдём
.
Для
нахождения частного решения
неоднородного дифференциального
уравнения воспользуемся следующей
теоремой: если правая часть неоднородного
уравнения есть функция
и числа
не являются корнями характеристического
уравнения, то существует частное решение
.
Если же числа
являются корнями характеристического
уравнения, то существует частное решение
.
Применяя эту
теорему при
,
имеем:
.
Дифференцируем
последнее равенство, находим
:
.
Подставив в данное
уравнение
и
,
получим:
,
откуда
.
Следовательно,
и
.
Найдем
:
.
Используя начальные условия, получим систему
откуда
.
Следовательно,
есть искомое частное решение данного
дифференциального уравнения.