КР №3 Вариант 97 Цимбалист
.docxЗадание на контрольную работу №3 Вариант 97
Задание №1(227)
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.
. Решение задачи
Задание №2(247)
Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Записать частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
, , .
Решение:
Общее решение данного уравнения имеет вид: .
Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .
Теперь найдём . Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .
Применяя эту теорему при , имеем:
.
Дифференцируем последнее равенство, находим :
.
Подставив в данное уравнение и , получим:
,
откуда .
Следовательно, и
.
Найдем :
.
Используя начальные условия, получим систему
откуда .
Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Задание №3(267)
В ящике лежат 10 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Вынули наугад 6 шаров. Какова вероятность того, что четыре из них белые?
Всего |
Белых шаров |
Красных шаров |
15 |
10 |
5 |
6 |
4 |
2 |
А - вынули 4 белых и 2 красных шара
Вероятность события А расчитывается по формуле:
Найдем число всевозможных событий по формуле:
Найдем число благоприятных событий по формуле:
= 0,419
Ответ: Вероятность события А равна 0,419
Задание №4(287)
Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из восьми посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее шести.
По условию задачи
А – Семя взойдет
p
q
n=8 – число испытаний
а)
б) Пусть µ8 число взошедших семян из n=8 посаженых. Надо найти вероятность
Так как события { µ8 = 6} и { µ8 = 8} несовместны, то
Найдем
Тогда:
Задание №5(307)
При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% стандартных. Определите: а) наивероятнейшее число и вероятность наивероятнейшего числа стандартных клемм в партии из 900 клемм; б) вероятность наличия от 790 до 820 годных клемм в этой партии.
Дано:
p = 0,90
k1 = 790
k2 = 820
n = 900
Найти: 1) = ? 2) k0 = ? 3)
Решение:
1. Вероятность того, что клемма, полученная при штамповке, будет нестандартной, определяется как
q = 1 – p = 0,1.
Общее число клемм в партии составляет n, следовательно, можно говорить о n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что клемма будет признана стандартной, составляет p. Тогда в соответствии с интегральной теоремой Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
где – функция Лапласа,
В нашем случае:
Используя табулированные значения функции Лапласа, получаем
Следовательно,
2. Наивероятнейшее число k0 стандартных клемм высчитывается из следующего неравенства:
,
где в нашем случае n = 900; p = 0,9; q = 0,1:
Учитывая, что k0 – целое число, k0 = 810.
3. Поскольку k0 велико, вероятность наивероятнейшего числа попаданий высчитывается при помощи локальной теоремы Лапласа:
где
Подставляя исходные данные, вычисляем аргумент функции Лапласа
далее воспользуемся табличным значением функции φ(x):
Тогда
Ответ: 1) 0,8533; 2) 810; 3) 0,0443.
Задание №6(327)
Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Вычислить: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины X числа появлений события А в i независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна pi, равно
Дисперсия дискретной случайной величины X равна
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно
Ответ: 1) М(Х) = 126; 2) D(Х) = 144; 3) σ = 12.