5.1.Числовой ряд и его сходимость.
Пусть
задана бесконечная последовательность
чисел
…
Тогда
+
+…
+…=
(1) называется числовым рядом, а числа
-члены ряда,
-общий
член ряда.
2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
Сумма
вида
=
=
+
=
+
=
+
+…
=
+
Называется частичными суммами ряда 1,
а
последовательность
(2) называется последовательность
частичных сумм ряда (1)
Ряд (1) называется сходящимся,если сходится последовательность его частичных сумм(2)
Т.е
если
=S
При этом число S называется суммой ряда (1)
А
если
=
или не существует то ряд (1) назыв-ся
расходящимся
Примеры рядов:
•
расходится
•
сходится
•
=
сходится только если /q/<1
=>S=
,q≠0
Доказательство расходимости гармонического ряда по Коши: f(x)=1/x
=
=
(lnx)
=
(lnB*0),где
lnB→
Свойства сходящихся рядов
Пусть
задан ряд
(1)
и если в ряде 1 отбросить первые n
членов ,
то
получим ряд (3)
=
+
+…+
…
который называется остатком ряда (1)
ТЕОРЕМА:
Ряд 1 и его остаток-ряд 3 сходятся или расходятся одновременно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть
-частичная
сумма ряда 1 ,а
-частичная сумма ряда 3. ТО
=
+
=
(
+
)
и последний предел существует,если
существует предел
.
СЛЕДСТВИЕ:
Если в ряде 1 отбросить конечное число членов,то это не влияет на сходимость ряда.
Теорема:
Для того чтобы ряд 1 сходился необходимо и достаточно!
=0
Где
=
+
+…+
Сходящиеся ряды можно:
-умножать на одно и тоже число
-почленно складывать и вычитать
Необходимый признак сходимости ряда (док-во).
Теорема:
Еслди
ряд 1 сходится,то его ый член стремится
к нулю,т.е
=0
Доказательство.
Пусть
ряд S-
сумма ряда 1(т.к по условию ряд сходится).т.е
=S
=
-
=
-
Следствие:
если
не
стремится к 0 ,при n→
, ряд 1 расходится
6.2.Теорема Абеля.
1)
Если степенной ряд 
anxn
сходится при x=x0,
то он сходится причем абсолютно для
всех x
, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|
2)
Если же ряд
anxn
расходится при x=x1
,
то он расходится при всех x
, удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Док-во (основано на свойствах последовательностей).
1)Так
как числовой ряд
anx0n
сходится,
то
anx0n
=0. Это означает, что числовая
последовательность {anx0n}
ограничена.Тогда перепишем степенной
ряд в виде
a0
+
a1x0
(x/x0)
+ a2x02(x2/x02)
+…+…=
anx0n
(x/x0)2
Рассмотрим ряд из абсолютных величин.
|a0| + |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…)
Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.
2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x*, | x*|> x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x* . В том числе должен сходится
и при x= x0, так как | x |< | x*| . Но это противоречит
предположению теоремы. Теорема доказана.