5. Учебная деятельность

В каждом семестре студенты выполняют по одному расчетно - графическому заданию (РГЗ) и пишут по три контрольные работы. РГЗ сдается на проверку и защищается в установленные контрольные сроки частями после изучения материала соответствующего модуля.

Цели ргз №1 (по частям):

1. Приобретение практических навыков вычисления определителей и их применение для решения крамеровских систем линейных алгебраических уравнений.

2. Ознакомление с понятиями линейной зависимости системы векторов, базой, базисом, суммой и пересечением подпространств, приобретение практических навыков решения и исследования на совместность СЛАУ.

3. Ознакомление с понятиями ортогонального дополнения, проекции вектора на подпространство, орта вектора к подпространству, ортогональной системы векторов и процедурой ортогонализации Грама – Шмидта.

   Образец РГЗ №1 (по частям):

1. a) Вычислите определитель матрицы размера 4х4, воспользовавшись его определением и свойствами.

б) Вычислите определитель матрицы из п. а), разложив его по элементам какой-либо строки и какого-либо столбца.

в) Вычислите определитель матрицы из п. а), разложив его по двум и трем каким-либо строкам (столбцам).

г) Решите крамеровскую СЛАУ методом обратных матриц и проверьте по формуле Крамера одну из компонент решения.

2. а) Найдите все базы каждой из двух систем векторов. Определите, эквивалентны ли эти системы. Для каждой из систем векторов найдите такую базу, чтобы линейно – зависимые векторы системы выражались через векторы базы в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами. Запишите соответствующие выражения.

б) Найдите базисы суммы и пересечения подпространств и , натянутых на заданные системы векторов.

в) Исследуйте совместность и запишите общее решение неоднородной СЛАУ в виде суммы частного решения этой системы и линейной комбинации базисных решений соответствующей однородной системы.

3. а) Спроектируйте заданный вектор x на заданное подпространство L. Найдите длину наклонной, перпендикуляра и проекции, а также угол между наклонной и подпространством.

б) Выполните ортогонализацию базиса двумерного подпространства L и дополните его до ортогонального базиса пространства .

Цели ргз №2 (по частям):

1. Приобретение практических навыков приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

2. Приобретение практических навыков построения жордановой нормальной формы линейного оператора, заданного своей матрицей.

Образец ргз №2 (по частям):

1. Поверхность задана уравнением в исходной декартовой прямоугольной системе координат. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности. Найдите каноническую систему координат. Сделайте проверку. Выполните рисунок поверхности в канонической системе координат. Проверьте правильность нахождения канонического уравнения по инвариантам.

2. Линейный оператор задан матрицей размера 4x4 в некотором базисе. Постройте жорданову нормальную форму матрицы и укажите соответствующий канонический базис. Сделайте проверку.

Требования к выполнению ргз и оформлению пояснительной записки:

1. Решение каждой задачи начинается с нового листа.

2. Условие каждой задачи записывается полностью.

3. Не допускаются сокращения выкладок при записи решений.

4. Решение задач сопровождается краткими пояснениями.

5. Отчет оформляется на стандартных листах бумаги формата А4 (210х297 мм) или на листах школьной тетради.

6. Титульный лист оформляется по образцу, приведенному на рис.1.

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

Расчетно – графическое задание №1 (ч.1)

по дисциплине «ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА»

на тему: «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА»

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-61

Студент: Иванов И.И.

Вариант: 1

Преподаватель: Чубич В.М.

Новосибирск

2006

Рис.1. Образец титульного листа

Таблица 6

Содержание контрольной работы №1

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Перемножить матрицы.	5	14
2. Вычислить определитель матрицы 4-го порядка по свойствам.	5	15
3. Вычислить определитель 4-го порядка, пользуясь разложением по минорам второго порядка.	5	15
4. Решить матричное уравнение.	5	14, 15
5. Решить систему уравнений по формулам Крамера.	5, 7	15, 28

Таблица 7

Содержание контрольной работы №2

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного однородной системой линейных алгебраических уравнений.	7	25, 26, 28
2. Для заданной системы векторов выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы.	6	18, 21, 28
3. Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на заданные системы векторов.	6	18, 20, 23, 28
4. Доказать, что линейные подпространства, натянутые на заданные системы векторов, в прямой сумме составляют 4-мерное арифметическое пространство. Найти разложение некоторого вектора по этим подпространствам.	6	18, 20, 24, 28
5. Доказать, что заданная совокупность векторов образует линейное подпространство и найти его размерность и базис.	6	16, 20

Таблица 8

Содержание контрольной работы №3

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из заданного вектора на подпространство.	8	29
2. Найти базис ортогонального дополнения некоторого подпространства.	8	31
3. Найти ортонормированную фундаментальную систему решений заданной однородной системы линейных алгебраических уравнений.	7, 8	25, 28, 30
4. Проверить, является ли данное выражение скалярным произведением в некотором линейном пространстве. При положительном ответе вычислить скалярное произведение двух данных векторов этого пространства.	8

Таблица 9

Содержание контрольной работы №4

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Пересчитать матрицу линейного оператора при изменении базиса линейного пространства.	10	37
2. Найти ядро и образ линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей.	10	36
3. Проверить заданный оператор на линейность и построить его матрицу в указанных базисах линейных пространств.	10	34,35
4. Выяснить, является ли данный оператор оператором простой структуры. При положительном ответе построить каноническое разложение матрицы оператора.	10	38, 39, 40

Таблица 10

Содержание контрольной работы №5

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Привести заданное уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и каноническую систему координат.	12	48

2. Найти расстояние от некоторой точки до заданной прямой (плоскости).

11

43, 44, 46, 47

Таблица 11

Содержание контрольной работы №6

Постановка задачи	Номер проверяемой цели
	Знать	Уметь
1. Вычислить значение функции от матрицы, применяя жорданову нормальную форму, основную формулу, интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра.	5, 10	51, 55
2. При помощи инвариантных множителей выяснить, являются ли подобными данные матрицы.	5	52, 54