6.2. Арифметическое среднее

Если выполнен ряд равноточных измерений одной и той же величины (/ь /2,..., /„) и нет оснований для того, чтобы отдавать предпочтение одному из них, то, согласно последнему свойству случайных погрешностей, за окончательное значение измеренной величины следует принять среднее арифметическое результатов всех измерений:

В формуле (6.3) сумма в числителе обозначена квадратными скобка-ми, как это принято в теории погрешностей по Гауссу.

Сложив правые и левые части уравнений (6.4), получим

Поскольку X есть истинное значение измеряемой величины, можно вычислить ряд соответствующих абсолютных погрешностей измерений:

3

откуда

Как следует из формулы (6.5), с увеличением числа измерений

будет стремиться к нулю и, следователыю, при бесконечно большом числе измерений средняя арифметическая величина будет равна истинному значению X.

Поскольку на практике число измерений все же ограничено, то сред-нее арифметическое х будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины X, однако при всяком п арифметическое среднее х считают более надежным значением измеряемой величины.

6.3. Средняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величи-

ны недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измере-

ний, которое не является исчерпывающим показателем качества измери-

тельных работ. Это связано прежде всего с тем, что при определении

арифметического среднего в ряде измерений может быть не отражено на-

личие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку

последние взаимно компенсируются.

В связи с этим Гаусс предложил критерий оценки точности измере-

йий, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погреш-

ностей ряда — среднюю квадратическую погрешность измерений. Сред-

няя квадратическая погрешностъ измерений—это корень квадратный из

арифметического среднего квадратов истинных погрешностей:

Поскольку истинное значение измеряемой величины X не известно, то среднюю квадратическую погрешность т вычисляют по уклонениям _i, отдельных результатов измерений /_i,- от арифметического среднего x :

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

4

Этой формулой и пользуются на практике для вычисления величины средней квадратической погрешности измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса (см. рис. 6.1) по-казывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

больше средней квадратической т в 32 случаях из 100;

бол ьше удвоенной средней квадратической 2т в 5 случаях из 100;

больше утроенной средней квадратической Зт в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную сред-нюю квадратическую погрешностъ считают пределъной:

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную _пр = 2,5m, с вероятностью ошибки, равной порядка 1%.