- •§1 Рівняння прямої лінії у просторі
- •§2 Пряма і площина у просторі
- •Розділ 1. Теоретичні відомості до теми «Пряма у просторі»
- •§1 Рівняння прямої лінії у просторі.
- •1.1 Канонічні рівняння прямої у просторі
- •1.2 Рівняння прямої, яка проходить через дві точки
- •1.3 Параметричні рівняння прямої
- •1.4 Рівняння прямої як лінії перетину двох площин
- •1.5 Взаємне розташування прямих
- •1.6 Кут між двома прямими у просторі
- •§2 Пряма і площина у просторі
- •2.1 Умова належності двох прямих площині
- •2.2 Кут між прямою і площиною
- •2.3 Взаємне розташування прямої і площини
- •Питання для самоперевірки
- •Розділ 2. Аудиторні практичні заняття
- •3. Рівняння прямої як лінії перетину двох площин:
- •Розділ 3.Індивідуальні домашні завдання
Розділ 3.Індивідуальні домашні завдання
Варіант №1.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки: і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Задано пряму і точку . Необхідно
-
скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку ;
-
скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої;
-
зайти проекцію точки на пряму;
-
обчислити відстань від точки до прямої.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №2.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Переконавшись, що прямі , паралельні, знайти відстань між ними.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №3.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. (1077)Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №4
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно осі .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму
перпендикулярно до площини .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №5.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Знайти проекцію точки на площину, яка проходить через паралельні прямі:
, .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №6.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій: .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить паралельно площинам:
та перетинає прямі:
.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №7.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до двох даних прямих:
.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №8.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно площині : .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №9.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій.
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до двох даних прямих:
.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №10.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно площині : .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до двох даних прямих:
.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №11.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій.
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №12.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно осі .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №13.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій.
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Знайти точку , симетричну точці відносно площини, яка проходить через дані точки: , , .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №14.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Знайдемо точку перетину прямої і площини , для цього розв’яжемо систему:
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння спільного перпендикуляра до двох даних прямих:
.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №15.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №16.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно осі .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Задано пряму і точку . Необхідно
-
скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку ;
-
скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої;
-
зайти проекцію точки на пряму;
-
обчислити відстань від точки до прямої.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №17.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій.
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Задано пряму і точку . Необхідно
-
скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку ;
-
скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої;
-
зайти проекцію точки на пряму;
-
обчислити відстань від точки до прямої.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №18.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно осі .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №19.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Задано пряму і точку . Необхідно
-
скласти рівняння площини, що проходить через задану пряму і точку ;
-
скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої;
-
зайти проекцію точки на пряму;
-
обчислити відстань від точки до прямої.
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №20.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно площині : .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Знайти точку , симетричну точці відносно площини, яка проходить через дані точки: , , .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №21.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій.
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Знайти точку , симетричну точці відносно площини, яка проходить через дані точки: , , .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №22.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій: .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №23.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння проекції даної прямої на площину .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №24.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Написати канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Дано три вершини трикутника: , , . Скласти рівняння висоти .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Варіант №25.
1. Скласти рівняння прямої (канонічне, параметричне і рівняння прямої як лінії перетину двох площин), яка проходить через дві точки і .
2. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .
3. Привести рівняння прямої до канонічного вигляду:
.
4. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .
5. Знайти точку , симетричну точці щодо площини .
6. Дано вершини трикутника : , і .Скласти канонічні рівняння бісектриси внутрішнього кута заданого трикутника.
7. Обчислити кут між прямими
і.
8. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій .
9. Знайти відстань між мимобіжними прямими:
.
10. Знайти кут між прямою і площиною
Література
-
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1954.
-
Баран О. I., Вецало Ю. А., Руда А. М. Аналітична геометрія у просторі. – Миколаїв – 2002.
-
Атанасян Л. С., Атанасян В. А. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Просвещение, 1986.
-
Атанасян Л. С. Геометрия, ч. I. - М.: Просвещение 1986.
-
Кравченко В.В., Лубенська Т. В., Олешко Т. І. Вища математика. Модуль 2.Векторна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник. – К.: Книжкове видавництво НАУ, 2005.
-
Федорчук В. В. Курс аналитической геометри и линейной алгебры. – М.: Узд-во Моск. ун-та., 1990.