- •1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.
- •3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и s – минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы а. Тогда число Фробениуса λА матрицы а удовлетворяет неравенству s
- •5. Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности
- •6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1
- •7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.
- •9. Приведите примеры задач лп на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов)
- •10. Приведите общую постановку злп. Дайте определения следующим терминам: целевая ф-ия, допустимое мн-во задачи, оптимальное решение, оптимальное мн-во.
- •26.Приведите пример двух взаимно двойственных задач лп. Сформулируйте правило построения двойственной задачи.
- •27. Сформулируйте и докажите основное неравенство для взаимно двойственных задач лп. Сформулируйте достаточный признак оптимальности.
- •28. Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности. Докажите вторую теорему двойственности (теорему равновесия)
- •29. Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план перевозок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий разрешимости транспортной задачи.
- •30. Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи (метод северо-западного угла, метод минимального тарифа.
- •38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Запишите уравнение Хикса. В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?
- •39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.
1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.
Для любой неотрицательной матрицы А=>0 существует собственное значение λА=>0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λА=>|λ| для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор А=>0, соответствующий собственному значению λА и называемый вектором Фробениуса. Причём, если А>0, то λА>0 и А>0
2. Докажите следующее утверждение: если >0 – собственный вектор неотрицательной матрицы, то он является ее вектором Фробениуса.
Обозначим через α собственное значение, которому принадлежит вектор , следовательно, выполнено равенство A=α Умножая его слева на TA и учитывая, что TAA=ATA, имеем: TAA=ATA так что, TA=ATA. Поскольку по условию>0, то TA 0, так что α= λА, ч.т.д.
3. Докажите следующее утверждение. Пусть s и s – минимальная и максимальная суммы элементов столбцов матрицы а. Тогда число Фробениуса λА матрицы а удовлетворяет неравенству s
Док-во: выберем в качестве вектора Фробениуса вектор, сумма координат которого равна 1, т.е. TA = 1
По определению имеем AA=λAA Умножая это равенство слева на T и учитывая, что =TA, получим A = λА(TA), поэтому λА =A = s1x1+s2x2+…+snxn отсюда следует, что s(x1+…+xn)AS(x1+…xn). Учитывая, что сумма координат вектора xA равна 1, из неравенства получаем s
4. Запишите структурную таблицу и уравнение межотраслевого баланса Леонтьева для трехотраслевой модели экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Л. Через известные эл-ты струт. Табл. Межотр. Баланса.
Произв. Потребление |
Конечное потребление |
Валовой выпуск |
X11 X12 … X1n |
Y1 |
X1 |
X21 X22 … X2n |
Y2 |
X2 |
… |
… |
… |
X1n Xn2 ... Xnn |
Yn |
Xn |
– уравнение межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева). Межотраслевой баланс — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта . Зная матрицу А и вектор остаётся решить уравнение .
5. Сформулируйте и докажите первый критерий продуктивности
Матрица А=>0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна. Пусть существует =>0, тогда x=(E-A)-1y, где оба множителя >0, следовательно, x=>0, значит матрица продуктивна. Пусть А продуктивна. (E-A)x=e1, значит с1=>0, (E-A)x=e2, значит с2=>0, следовательно, (с1,с2,cn)=C=>0. (E-A)C=E=>C=(E-A)-1=>0
6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1
Матрица А≥0 называется продуктивной, если для любого вектора ≥0 существует решение ≥0 уравнения
Пусть матрица А – неотрицательна и продуктивна.
Тогда для любого неотрицательного вектора существует решение ≥0 уравнения
Пусть >0, тогда, очевидно, >0. Умножив слева еа левый вектор Фробениуса и учитывая, что
A=, то получим
>0, >0, то >0, >0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что <1.