29. Необходимые условия дифференцируемости функции. Достаточное условие.
Необходимые условия:
Теорема 1: если
функция
дифференцируема в точке, то она в этой
точке непрерывна.
Теорема 2: если
функция
дифференцируема в точке (x,y),
то в этой точке она имеет частные
производные:
Достаточное
условие: если функция
имеет частные производные в некоторой
окрестности точки и если производные
непрерывны в самой точке, то в этой точке
функция дифференцируема.
30. Полные дифференциалы. Частные дифференциалы.
Если f дифференцируема, то её полный дифференциал:
;
;
;
;
;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Частным дифференциалом по х функции
Z=f(x, y) называется главная часть частного
приращения
,
пропорциональная приращению Δx независимой
переменной х. Аналогично определяется
частный дифференциал по у, т.е.
.
Дифференциалы
независимых переменных х и у просто
равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy.
Частные дифференциалы обозначаются
так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ -
частный дифференциал по у. При этом:
//31. Производные сложных функций.
Если
и
– дифференцируемые функции
своих аргументов, то производная сложной
функции
вычисляется по формуле
(11.8)
Обобщенная таблица производных
где
в частности:
где
в частности,
где
в частности,
Если для функции
y = f(x)
существует обратная функция x = (y),
которая имеет производную
то верна формула
31. Производные сложных функций.(правильное)
32. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции.
Допустим, что
функция
задана неявно уравнением
Пусть
;
(1), функция двух переменных в D.
Если для каждого x
из некоторой окрестности
существует ровно одно значение y
такое, что вместе с x
удовлетворяет (1), то говорят, что
определена функция y=y(x);
и говорят, что уравнение (1) превращается
в тождество:
;
В этом случае уравнение (1) определяет величину y как неявную функцию x.
Теорема о существовании непрерывной функции:
Пусть:
-
Пусть f(x;y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике:
-
В точке
; -
В прямоугольнике D существует и непрерывны:
;
-
;
Тогда для любого
достаточно малого, положительного
найдётся окрестность точки
такая, что в ней существует единственная
функция y=y(x),
которая принимает значения
и обращает уравнение (1) в тождество
;
Эта функция
непрерывно дифференцируема в окрестности
т.
и
Док-во: из
существования тождества
следует
Отсюда следует (2).
33. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть поверхность задана уравнением
Тогда уравнение
касательной плоскости
в точке
имеет вид:
(18.16)
где
Нормалью
к поверхности в точке
называется прямая, проходящая через
точку
перпендикулярно к касательной плоскости
в этой точке.
Уравнение
нормали
к поверхности (18.16) в точке
имеет вид:
(18.17)
Если поверхность задана уравнением
(18.18)
и в точке
этой поверхности существуют частные
производные
не равные нулю одновременно, то уравнение
касательной плоскости к поверхности
(18.18) в точке
имеет вид:
(18.19)
Уравнение нормали
к поверхности (18.18) в точке
имеет вид:
(18.20)
